Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Будем писатьдС = ( Ц уг) Ur Пусть непрерывно дифференцируемое поле (Р(ж, у), Q(x, у)) задано в двусвязной области G, ограниченной кусочно гладкими простыми контурами:внешним Г и внутренним 7 (рис. 51.4).При помощи гладких перегородок 73 и 74 (рис. 51.5) разделимдвусвязную область G на две односвязных, G\ и G2. Как видно изрис. 51.5,г= Tiи г 2,7 = 71и 72.Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы504Применяя к Gi и Ga формулу Грина для односвязной области,получаем (рис. 51.5)//(dyjGir t e + Qd y =9G\J + j +5J J ( T b - %d y) ' b d » =73J + j ' ) ( P d x + Qdy),7-74J P ‘h + Q '‘« =G29G\J + J + J + J ) { P d x + Qdy).-747,73где в правой части употреблено сокращенное обозначение для суммычетырех криволинейных интегралов по соответствующим кривым.Складывая эти равенства и учитывая, что криволинейные интегралыпо противоположно ориентированным кривым взаимно уничтожаются, получаемff~ - ^ - j d x d y = j Р dx + Qdy + J P d x + Q dy = J P d x + Qdy.GГ7—dGФормально формула Грина для двусвязной области имеет тот жевид, что и для односвязной, если J Р dx + Q dy понимать как суммуд вкриволинейных интегралов по Г и 7 “ .Индукцией эта формула Грина обобщается и на те-связную область:dxG') d xd y= ( Р dx + Q dy =dy Iаa)n_ 1dG= JI P d x + QQdy+ ^ 2 J P d x + Q dy.dy+i= 14.7,-П р и м ен ен и е ф ор м у л ы Г р ин а к в ы ч и сл ен и ю п л ощ адей .Полагая в формуле Грина (1) Q = х, Р = —у, получаем формулу длявычисления площади, ограниченной гладким контуром,m(G) = |jx dy - у dx.(4)aoИногда при практическом применении формулы (4) полезно воспользоваться тем,Мчтоi хwx d y —у dx = (х2 + у2) d ^' arctg I^ ' .Xj§51.
Формула Грина на плоскости505П р и м е р 1. Найти площадь, ограниченную кривой (рис. 51.6)3at3atк ^ ^ ,Ж=у = ТТТ’ 0 ^ < + ° ° Д Эта кривая (декартов лист), как нетрудно показать, симметрична относительно прямой у — х.Поэтому можно ограничиться вычислением площади половинки листа, для которой 0 ^ t ^ 1. Получаемх dy — у dx =(ж2=+ у2) d ^ arctg —^ =9aV (l + *2)( 1 + t 3)2, .чd(arctgt) =^Q 2 ,(9a2t23F d t= - 3 a1 АПо формуле (4) площадь половинки листа Декарта равнаm{G) = \ j x d y - y d x = а искомая площадь равнаЗа\ 1jd [ Y ^ )=ЗаА5.У сл о в и я н е з а в и с и м о с т и к р и в о л и н е й н о г о и н т е г р а л а в т о р о г о р о д а о т п у т и и н т е г р и р о в а н и я ( п л о с к и й с л у ч а й ) .
Пусть вобласти G С R2 задано непрерывное векторное поле (Р (ж , у), Q(x, у)).Например, это может быть силовое поле. Возьмем в области G двепроизвольные точки, А(хо,уо) и В(х,у). Соединим эти две точкикусочно гладкой кривой Г ^ , лежащей в G. Вычислим интегралJ Р dx + Q dy. Этот интеграл можно интерпретировать как работуГ АВгсилы при движении точки по кривой Г ^ . Вообще говоря,/ Р dx +г АВ+ Qdy зависит как от точек А и В, так и от пути, по которому мыиз точки А приходим в точку В. Наша цель — выяснить условиянезависимости величины этого интеграла (работы силы) от пути интегрирования.Т е о р е м а 1. Следующие три условия эквивалентны:а) для любой замкнутой ломаной L С GJ p dx + Q dy = 0;(5)ьб) J P dx + Q dy не зависит от ломаной Lab С G, соединяющейl a bточки А и В]в) поле ( P(x,y),Q( x,y)) потенциально, т.
е. существует такаянепрерывно дифференцируемая функция U(x,y) (потенциал поля), чтоР(ж, у) d x + Q (x , у) d y = d U ,Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы506О Доказательство проведем по круговой схеме: а)=>б)=>в)=>а).1)Докажем, что а)=>б). Пусть выполнено условие а). Возьмем двепроизвольных точки, А и В, в области G.
Соединим их ломаной L a b •Пусть Ь'АВ — любая другая ломаная, соединяющая точки А и В.Тогда L = L a b + L'BA есть замкнутая ломаная. В силу условия а)имеем0 = J Р dx + Q dy = J Р dx + Q dy + J P dx + Q dy =LL a bl 'b a=J P dx P Q dy — J P d x P Q d y ,l'a bl a bJ P d x P Q d y — J P d x + Qdy,l'a bl a bт.
е. интегралJ P d x + Q dy не зависит от ломанойLa b, соединя-l a bющей точки А и В.2 ) Докажем, что б)=>в). ПустьJ Р dx + Q dyне зависит от ло-l a bманой L a b , соединяющей точки А и В. Фиксируем точку А(хо,уо),а точку В( х,у) будем считать переменной. Тогда J P d x P Q d yl a bзависит только от точки Б , и, следовательно, в области G определена функцияU(x,y) =J P d x + Qdy.l a bПокажем, что функция U(x,y) — потенциал поля. Соединим точки В( х,у ) иС(х + А х, у) отрезком В С , лежащим вобласти G (рис. 51.7). Это всегда можно сделать при достаточно малом Аж, так как G — открытое множество.
Тогда^(и(х + Аж, у) - и ( х , у)) =1АжJР dx + Qdy — J Р dx + Q dyl a bl a b cж+Аж=s/ВСp i t e*=sx7«§51. Формула Грина на плоскости507Применяя при фиксированном у к непрерывной функции Р(£,у)интегральную теорему о среднем, получаем(U(x + Ах, у) - U(x, у)) = Р (х + 9Ах, у),где0 < 9 < 1.Воспользовавшись непрерывностью функции Р(х,у) и переходя кпределу при Аж —^ 0, получаемИтU(x + A x , y ) - U ( x , y ) = р {Дж-s-oАжАналогично доказывается, что=Шдх= Q(x,y).Так как Р( х,у) и Q(x,y) — непрерывные в области G функции,то функция U(x,y) непрерывно дифференцируема в области G.3)Докажем, что в)=^-а).
Это следует из более общего утверждения:если Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = dU, то для любого кусочно гладкого контура у справедливо равенство J Р dx + Q dy = 0. Действительно, если7ж = ж(t), у = y(t), а ^ t ^ /3, есть уравнение кривой у, то/зJ P d x + Qdy = J [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)j dt =a70= J [ ^ ( x ( t ) , y ( t ) ) x'(t) + J^( x( t ) , y ( t ) ) y ' ( t j \ dt =aa= f ^[U(x( t),y(t))]dt = U(x(/3),y((3)) - U ( x ( a ) , y ( a ) ) = 0 ,так как начало и конец замкнутой кривой совпадают. •С л е д с т в и е . Если j Р dx + Q dy равен нулю по любой замкнутой7ломаной, то этот интеграл равен нулю и по любому кусочно гладкомуконтуру у.ОПустьJР dx+Q dy= 0для любой замкнутой ломаной L.
ТогдаLсуществует потенциал U(x,y) иP d x + Qdy = ^ ( х ,у) dx +Следовательно, J P dx + Q dy = 0.dy-508Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралыТеорема 1 не дает практического способа для выяснения вопроса о потенциальности поля (P,Q).
Для односвязной области G докажем эффективный критерий, основанный на использовании формулыГрина.Т е о р е м а 2. Для того чтобы дифференцируемое в области G полебыло потенциальным, необходимо, а в случае односвязной области идостаточно, чтобы выполнялось условиедР(х, у) _ dQ(x, у)дудх ’( ,WО Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть поле (Р(х, у), Q(x, у)) непрерывно дифференцируемо и потенциально. Тогда<?<*,»)откуда9Q(x,y) _ д2Ц(х,у)дР(х,у) _ д2Ц(х, у)дхдх ду ’дуду дх ’Так как производные дР/ду и 8Q/ дх непрерывны, то смешанныепроизводные Uxy, Uyx также непрерывны, а следовательно, равны.Условие (6 ) выполнено в области G.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть поле (Р, Q) задано в односвязной области G С R2 и выполнено условие (6).Возьмем произвольную простую замкнутую ломаную L С G.
Таккак область G односвязна, то ограничиваемая ломаной L область П СС G и к ней применима формула ГринаJ p d x + Qdy = J J ( ^ - ^ j d x d y = 0 .L(7)QТаким образом, интеграл (7) равен нулю для любой простойзамкнутой ломаной L.Теперь нетрудно показать, что интеграл (7) равен нулю для любойзамкнутой ломаной (даже имеющей точки самопересечения).Для трехзвенной ломаной интеграл (7) всегда равен нулю, если эта ломаная замкнута. Если три ее вершины не лежат на однойпрямой, то трехзвенная ломанаябудет простой и по доказанномуинтеграл (7) равен нулю. Если же] все три вершины лежат на одной^ прямой, то и в этом случае, каклегко видеть, интеграл равен нулю(рис.
51.8).То, что интеграл (7) равен нулю для любой n-звенной замкнутойломаной, докажем индукцией по числу звеньев ломаной.§51. Формула Грина на плоскости509Пусть выполнено условие (6) и интеграл (7) равен нулю по любойзамкнутой ломаной, число звеньев которой меньше, чем п. Покажемтогда, что криволинейный интеграл (7) равен нулю и по любой замкнутой n-звенной ломаной.
Если ломаная L(Ai, А 2 ,..., А п , А \ ) простая,то это уже доказано. Пусть у L есть точки самопересечения. Предположим, что два звена, A i A 2 и AkAk+i, пересекаются. Тогда либо онипересекаются в единственной точке В (рис. 51.8), либо эти два звена^5абвРис. 51.9пересекаются по целому отрезку. В этом случае точки А 1 , А 2, Ak,Ak+i лежат на одной прямой (рис. 51.9).Рассмотрим первый случай. За последующими рассуждениямипроще следить по рис. 51.9.
В случаях а и б ломаная L будет объединением замкнутых ломаных Ь\(В, А ь + \ , ..., А п , А \, В) и Ь2(В, А 2, .... . . , A k , B ) . Количество звеньев L\ и Ь2 меньше п. По предположениюиндукции интеграл (7) по каждой из этих ломаных равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по их объединению — ломаной L.Аналогично рассматривается и второй случай, когда точки А 1 ,Л 2, Ak, Ak+i лежат на одной прямой и отрезки A i A 2 и A k Ak +i пересекаются. Без ограничения общности можно считать, что точка Akлежит на отрезке A i A 2.
Тогда L есть объединение замкнутых ломаных L 1(Ak,Ak+i,...,An, A 1,Ak) и L 2(Ak, A 2,...,Ak- i , A k), имеющихменьше, чем п звеньев. Интеграл (7) по L\ и Ь2 равен нулю. Следовательно, он равен нулю и по ломаной L.Так как интеграл (7) равен нулю по любой замкнутой ломаной L СС G, то в силу теоремы 1 поле (Р, Q) будет потенциальным.
•Заметим, что условие односвязности области существенно длясправедливости теоремы 2. Подтвердим это следующим примером.П р и м е р 2. Показать, что непрерывно дифференцируемое прих 2 + у2 > 0 плоское векторное полеР(х,у) =у,Q(x, y) = ^ -х27г х + у2тг х + уудовлетворяет условию (6 ), но не является потенциальным приД Условие (6 ) выполняется, так какдР _ uj у2 — х2 _ dQду2тг (у 2 + ж2)2 дх '(8)ujф 0.Гл. X I.
Криволинейные и поверхностные интегралы510Рассмотрим окружность Cr , заданную уравнениями х = R cost,у = P s in £, 0 ^ t ^ 27г. Тогда/,> * +« * = £ / £ $ 3 * = £ / * =»С'яС'я0и в силу теоремы 1 поле (Р, Q) не может быть потенциальным.Теорема 2 неприменима, поскольку поле определено в неодносвязной области G = {(ж,у): х 2 + у2 > 0}. АЗ а м е ч а н и е . В гидродинамике поле ( 8 ) интерпретируется как поле скоростей точечного вихря,расположенного в точке ( 0 , 0 ) и имеющего интенсивность ш. Если перейти к полярным координатам Г, (р, тоv = (Р, Q) =(—sin 9?, cos 9?).27Г гЖ идкие частицы вращ аю тся по концентрическим окруж ностям с постоянными скоростями, обратно пропорциональными расстоянию от точечного вихря (рис. 51.10).У п р а ж н е н и е 3. Пусть в точке (0, 0) помещенРис.
51.10точечный вихрь. П оказать, чтогР dx + Q dy равеннулю, если простой гладкий контур 7 не содержит вихрь7 внутри и /ГР dx ++ Qdy = щ, если вихрь леж ит внутри контура.7У п р а ж н е н и е 4. Пусть двусвязная область G С R ограничена гладкими контурами: внешним Г и внутренним 7 “ , и пусть в (7 задано непрерывно дифференцируемое поле (Р, Q) такое, что dQ/dx = дР/ду. Показать,что для любого простого гладкого контура (7, содержащего 7 внутри, выполнено равенствоJ P d x + Qdy = J Р dx + Q dy.С7У п р а ж н е н и е 5.
Пусть выполнены условия упр. 4. П оказать, что вн утри контура 7 можно поместить точечный вихрь такой, что поле (Р, Q) будет суммой поля точечного вихря и потенциального поля.У п р а ж н е н и е 6 . Обобщить результаты упр. 4 и упр. 5 на п-связныеобласти.§ 52. П овер хн остиП р о с т ы е п о в е р х н о с т и . Будем говорить, что функция f( u,v)непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве Е С /?2, ес1.ли она определена и имеет непрерывные частные производные d f /дии d f /dv на открытом множестве G, содержащем замкнутое множество Е.§ 52. Поверхности511Пусть П — ограниченная область в Я2, а функции tp(u,v), ip(u,v)и x(u,v) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве П == П U (30, где (ЗП — граница области П.
Тогда отображение F: П —1 Я3,определяемое формуламиx = ip(u,v),y = tp(u,v),z = x(u,v),(и, v) € П,(1 )называется непрерывно дифференцируемым. Если при этом в каждойточке (u,v) € П ранг функциональной матрицы(pu(u,v)1pu(u,v)Xu(u,v)ipv (U , V )lpv ( u , v )X v(u,v)(2 )равен двум, то отображение F: П —1 Я3 называется гладким.Уп р а жн е н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
