Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Это доказывается так же, как и для интеграла (6), § 53,задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла (1) относительно поверхности следует из аддитивности двойного интегралапо области интегрирования.Если функция F ( x ,y ,z )0, то ее можно интерпретировать какплотность материальной поверхности. В этом случае интеграл (1) равен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению области П на области fij, i = 1,п, соответствует разбиение поверхности Е на простые поверхности Е* i = 1,п. Применяя интегральнуютеорему о среднем, получаем, чтоS( Si) = J J \[ru, r v]\dudv = |[ги,г„]|*т(П*)fiiСимвол |[ru,r„]|j означает, что значение функции |[ru,r„]| вычислено в некоторой точке («,,«,) € П.
Масса поверхности приближенноравна следующей сумме:ПП2 2 F (x iFJi,i= 1= '2 2 F ( x (u i, V i) , у ( щ , Vi), г ( щ , v*))|[r u, г «]|»i= 1Точное значение массы есть по определению предел этой суммыпри мелкости разбиения, стремящейся к нулю, т. е. равняется интегралу (1).В § 53 было дано выражение величины |[ru,r„]| через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода:J j F d S = J J F( x(u,v),y(u,v),Efiz(u,v))-\/EG —F 2 dudv.(2)Гл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралы528П р и м е р 1. Найдем положение центра тяжести однородной полусферы х 2 + у2 + z 2 = R 2, z ^ 0.Д Без ограничения общности считаем, что плотность р = 1. Параметризуем полусферух = R cos ср cos Ф,у = R sin ср cos т/>,z — R sin т/>,0 ^ р ^ 27г,В примере 2, § 53 было вычислено, что \JEG —F 2 = R 2 cos ip. Массаполусферы равна числу2тгтг/22тгт г/2М = f f d S = j dp j \JE G - F 2 dip = J dV J R 2 cos ip dip = 27tR 2.ЕОО00Координата zc центра тяжести есть27Г=i I J zdS =^тг / 22_______________I ' I E G - F 2 z dip =002 тг7г / 2= 2 ^ f d^ f R3 cos Ф sin Ф0= j-0В силу симметрии полусферы х с = ус = 0. АДля поверхности Е, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции z = /(ж ,у), (х,у) G П, формула (2) принимает следующий вид:I I F d S = / f F (x ’V>z (x ’y ) ) \ l l + z l + z2v d x dyE(3 )QДля функции F ( x,y,z ), непрерывной на кусочно гладкой поверхности Е, поверхностный интеграл определяется как сумма поверхностных интегралов по всемгладким кускам.П р и м е р 2.
Вычислить поверхностный интеграл/ / ( i + f b 5 = 7Е<4)по кусочно гладкой поверхности Е,являющейся границей симплексаРис. 54.1Т = {(x,y,z) : х ^ 0, у ^ 0, 2 ^^ 0, х + у + z ^ 1} (рис. 54.1).Д Граница Е симплекса Т состоит из четырех треугольных граней:§ 54■ Поверхностные интегралы529грань Di лежит в плоскости z = О, граньлежит в плоскостиу = О, грань D 3 лежит в плоскости х = 0 , а грань D 4 — в плоскостих + у + z = 1. Обозначим поверхностные интегралы по соответствующим граням через R , I2, I 3 и / 4.Воспользовавшись формулой (3), получаемh = [ [ 7— dxdV= f fa ГJjL—J J (1 + x + y)JJ (1 + ® + y)Di0= Г f —I------- i'jd x = ln 2 - - .J \ 1+x2J200В силу симметрии подынтегрального выражения в формуле (4) относительно х и у получаем, что1Do1 -уОО1.ОУравнение грани D 4 можно записать в виде г = 1 —х —у, (х, у) €€ D 1 .
Применяя формулу (3), получаемТ 4ГГJJdS-Г Г(1 + х + у У -DiJJV3dS _( 1 + х + уУ-RVt4-DiСкладывая интегралы, находим значение интеграла (4):I = h + 12+ 13+ h =(1 + V s ) h + 2 1 2 ==(1 + У з ) ( i n 2 ^+ 2 ( 1 - I n 2).▲2.П о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы в т о р о г о р о д а . Пусть в некоторой окрестности простой поверхности £ задано непрерывное векторное поле, т. е.
определена вектор-функцияа(ж, у, z) = (Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z)),(5)компоненты Р , Q, R которой есть непрерывные функции в некоторойобласти, содержащей поверхность £.Ориентируем поверхность £ единичными нормалямиN11 = ] N [ ’N = [r “ ’ r «]-(6 )Противоположная ориентация поверхности £ возникает при замене в формуле (6 ) вектора N на вектор —N. Заметим еще, что дляпростой поверхности |N| ф 0.Спроектируем в каждой точке поверхности £ вектор а на нормальный вектор. Тогда на поверхности £ будет определена непрерывнаяфункция F ( x ,y ,z ) = (а, п), знак которой зависит от ориентации поверхности.530Гл.
X I. Криволинейные и поверхностные интегралыПотоком вектор-функции а(ж, у, z ) через ориентированную поверхность Е назовем следующий поверхностный интеграл первого рода:(a.,n)dS.(7)ЕПодчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации напротивоположную интеграл (7) меняет знак. Интеграл (7) называюттакже поверхностным интегралом второго рода.Для поверхностного интеграла второго рода используют еще и следующие обозначения:(a.,n)dS = J J a n dS = J J ( Р cosnx + Q cosny + Rcosnz) dS =EEE= J J ( P dy dz + Q dz dx + R d x dy).(8)EЕсли a ( x,y,z) есть векторное поле скоростей движущейсяжидкости, то абсолютная величина интеграла (7) равна массе жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность за единицувремени.
Отсюда и происходит слово “поток” .Воспользовавшись формулой (1) для вычисления интеграла (7),выразим поток векторного поля а через простую поверхность Е,ориентированную нормалями (6), при помощи двойного интегралапо плоской области П от смешанного произведения трех векторов (а,г„,г„):a , n ) dS = J J - J J J j \ [ r u, r v]\ dudv =£fi= JJ(a.,N) dudv = JJ(sL,ru, r v)dudv.nfiПри выводе формулы (9) была использована формула (6).Запишем формулу (9) в координатной форме:Р Q RJ J Р dy dz + Q dz dx + R d x dy = J J •&U Уиdudv =Уи %v(9)J f \p{x{u, v), y(u, v), z(u, v))v)+ Q(x(u,v), y(u,v), z ( u , v ) ) j J J J | ++ R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))du dv.(10)При выводе формулы (10) было применено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки; определители второго порядка записаны через соответствующие якобианы.§ 54 • Поверхностные интегралы531Формула (10), несмотря на ее громоздкий вид, удобна для запоминания.
При переходе от левой части к правой нужно произвестиследующие замены символов:dy dz —>•yz ) du dvd(u,v)’dz dx _)>x^ du dv ,d(u,v)’dx dyyd(u,v)du dv,’но при этом важно помнить, что левую часть нужно записывать в томвиде, как в формуле (10), не допуская в символах типа dxdy перестановок. В левой части формулы (10) достаточно запомнить написаниеслагаемого R d x d y , так как остальные слагаемые получаются при помощи круговой перестановки символов.PdxПолагая в формуле (10) P — Q — 0, получаемEQАналогичноJ J P d y d z = J J p ( x ( u , v ) , y(u, v), z ( u , v ))Edudv,QОсобенно просто вычисляется поверхностный интеграл (11), еслиповерхность Е задается как график непрерывно дифференцируемойфункции z = /(ж , у), (х,у) G О.
В этом случае(12)JJ Rdxdy = JjR(x,y,f(x,y))dxdy.EЯсно, что в формуле (12) выбрана такая ориентация поверхности Е, при которой нормаль п составляет острый угол с осью O z , таккакЗаметим, что формула (12) может иметь смысл и в том случае,когда частные производные f x(x,y) и f y (x,y) не определены на П. Вэтом случае будем под поверхностным интеграломпониЕмать двойной интеграл в правой части формулы (12).532Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралыП р и м е р 3. Вычислить поверхностный интегралJ J z 2 dx dyЕпо внешней стороне полусферы х 2 + у2 + z2 = 1, г ^ 0 (внешняя сторона определяется нормалями, направленными от центра).Д Полусферу Е можно задать как график функции z = л/ l — ж2 —у 2,(х,у) G 1), О = {(ж,у) : х 2 + у2 ^ 1} (рис.
54.2). Внешняя сторонаполусферы в данном случае определяется нормалями, составляющимиострый угол с осью Oz. Воспользовавшись формулой (12), получаемJ J z 2 dx dy = J J (1 —х 2 —у2) dx dy =^^27Г1= I d<pI ^ ~ r ^ r dr = 2ж(1 ~ i ) = f • A00П р и м е р 4. Вычислить поверхностный интегралJ J z dx dyEпо внешней стороне конической поверхности z 2 = х 2 + у 2, 0 ^ z ^ 1,считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющими с осью Oz тупой угол (рис.
54.3).Д Уравнение поверхности Е можно задать в виде2 = л Д 2 + у2,(х, у) e f t ,ft = {(ж, у): 0 < ж2 + у 2 ^ 1}.Воспользуемся формулой (12), но теперь двойной интеграл в этойформуле нужно взять со знаком минус, так как поверхность Е ориентирована нормалями, составляющими с осью Oz тупой угол. Сводяповерхностный интеграл к двойному, а затем переходя к полярным§ 54■ Поверхностные интегралы533координатам, получаем2ж\Jx2 + у 2 dx dy =£хЧу'Ч100Заметим, что для почти простой поверхности £ интеграл в формуле (9) существует как несобственный или как интеграл Римана.По определению будем считать, что этот интеграл есть поток черезпочти простую поверхность.П р и м е р 5.
Вычислить поток вектора а = (x 3, y 3, z 3) через внутреннюю сторону конической поверхности z2 = х 2 + у2, 0 ^ г ^ 1 (см.рис. 54.3).А Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:JJzdxdy = —JJг = г cos tpi + г sin у?j + r k ,(r,tp) £ Л,Л = {{г,ip): O ^ r ^ l ,(13)2ж}.Воспользовавшись формулой (10), получаемr 3 cos3 ip r 3 sin3 ipa, n) dS =Q2tvCOS ipsin y j-rsinyjГ COSip„3dr dip =r 4(cos2 ip + sin2 ip —cos4 ip —sin4 ip) dr =2n2it7Г= - J cos2 ip sin2 ip dip = — J sin2 2ip dip ■10'Заметим еще, что при параметризации (13) для проекции векторанормали N на ось Oz справедливо неравенствоNz =д(х,у)д(г,<р)cos ipsm ip-r sinr cos у? = г > 0.Поэтому вектор нормали n = N /|N | составляет с осью Oz острыйугол и вектор п определяет внутреннюю сторону конической поверхности.
▲П р и м е р 6. Поле скоростей точечного источника массы, помещенного в начале координат, задается формулами»Q г,.Г=(х,у,г)г = |г| = ^Уz “.Найти поток вектора а через внешнюю сторону сферы радиуса Rс центром в начале координат.А Имеемг ,Q ( г г\Qп = —, (a, n) = -j- —, - = - - ,г4747Г \ГГ/47ГГ2Гл. X I. Криволинейные и поверхностные интегралы534<a' ” >tis = / / i SЕd5 = i SЕ/ / d5 = « ’*ЕПоток через кусочно гладкую ориентированную поверхность равен по определению сумме потоков через все гладкие куски.П р и м е р 7. Вычислить поверхностный интегралJ = JJxydxdyЕчерез внешнюю сторону поверхности £ , являющейся границейсимплекса Т = {(x , y , z ): х ^ О, у ^ 0, z ^ 0, ж + у + г ^ 1 } (см.рис.
54.1).А Как и в примере 2, обозначим через J 4, J 2 , J3, J 4 соответствующие поверхностные интегралы по граням симплекса. Получаем1 XJ\ — J J ху dx dy = —J dx J x y dy = —Л = J J xy dx dy = 0 ,Di00D ‘>1Jz = J J x y d x d y = 0,D3xJ4 = JJxydxdy = J d x j x y d y = ~ .D400Следовательно,J = J\ 4" J 2 4" ^3 4" Ja — 0.При вычислении поверхностных интегралов было использовано тообстоятельство, что внешняя нормаль к грани D 4 составляет тупойугол с осью Oz, а поэтому поток через эту грань равен двойномуинтегралу по плоской области D4, взятому со знаком минус. На грани D 4 внешняя нормаль составляет с осью Oz острый угол, и поток равен соответствующему двойному интегралу, взятому со знакомплюс.
▲УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI1.Вычислить криволинейный интеграл первого рода J х 1 ds, где криГвал Г есть окружность, получающ аяся при пересечении сферы х 2 + у2 ++ z~ = а~ плоскостью х + у + z = 0.У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что в силу симметрииJi хx 2 ds = j у2 ds = j z2ds.2.гггВычислить криволинейный интеграл второго родах dx + у dyJX- +ух2+ у21 АВгде Г д в — гладкая кривая, не проходящая через то ч ку ( 0 , 0 ).§ 54■ Поверхностные интегралы5353. При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную астроидойx = acos3t,y = asin3t,О2тт.t4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
