Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Н ай ти r o t v для поля ск о р о стей в д в и ж у щ ем ся тв ер д о м тел е v == vo + \ш, г], где vo и и» — п о сто ян н ы е в екто р ы , r = a:i + j/ j + z k .5 . П усть р — непреры вн о д и ф ф ер ен ц и р у ем о е ск ал яр н о е поле. П о казать,что для лю бой области fi, ограни чен н ой кусочн о гладкой гр ан и ц ей дП, вы полнено равенсгвоJ J pndS = J J J Vpdxdydz.дПQ6 . П у сть v , w , F — в ек то р н ы е поля ск о р о стей , у ск о р ен и й и массовы хсил дв и ж у щ ей ся ж и д к о ст и . В си лу п р ин ц ип а Д’А лам бера с у м м а всех сил,в к л ю ч а я силы и нерц и и, дей ств у ю щ и х на ж и д к и е ч ас ти ц ы , зак л ю ч ен н ы ев н у т р и произвольной односвязной области G с кусочн о гладкой гран и ц ей ,долж на р а в н я т ь с я нулю . В н евязк о й ж и д к о с ти си ла давлени я на п лощ адкун аправлена по норм али к площ адке.
П оэтом у получаемИ .Ь {¥ ^ w )dG+ J J рп dS = 0 .GdGВ оспользовавш ись р е зу л ь т а т а м и упр. 2 и 5 и п р о и зв о л ьн о стью ж и д ко гообъ ем а G, в ы в ест и у р ав н ен и е Э йлера, оп исы ваю щ ее дви ж ен и е н евязкойж идкости^at+ ( v V ) v = F - - Vp.р7. Пусть функции и и v дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой области пространства Я3, Д — оператор Лапласа Дм =Нд 2иП о казать, чтоv Д м — м Дм = d iv (n У м — м Ум).+§ 57. Формула Стокса5538 . П у сть ф у н к ц и и и и v д важ ды н епреры вн о д и ф ф ер ен ц и р уем ы в зам к н у т о й области G с кусочн о гладкой гран и ц ей .
Д о к азать ф о р м у л у Г рин ав Я3jjj(vA u ^u A v)d xd yd z = j jG(v—udS.dGduЗ д ес ь — — п р о и зво дн ая по н аправлени ю внеш ней норм али к гр ан и ц е обдпласти.9 . П усть v — д важ ды н епреры вн о д и ф ф ер ен ц и р у ем ое в ек то р н о е полев н екоторой одн освязн ой области п р о с т р а н с тв а Я 3, П = r o t v ф 0. К ривая,в к аж д о й т о ч к е которой к а с а т е л ь н ая п араллельн а в е к т о р у в и х р я в этойто ч к е, н азы в ает ся вихревой л инией. П у сть Г — гл ад к и й к о н ту р , п ри ч ем нив одной его т о ч к е к асат ел ь н а я не параллельн а в е к то р у в и х р я в этой точк е.П роводя ч ер е з все т о ч к и к о н т у р а Г в и х р евы е лин и и , п о лу ч и м п оверхн ость,к о то р ая н азы в ает ся вихревой трубкой. П о казать, что поток в и х р я чер езлю бое сечени е вих р ево й т р у б к и не за в и с и т от сечени я.
Э то т п оток в и х р ян а зы в а е т с я интенс ив ность ю вихревой трубки.1 0 . П р и м ен яя ф о р м у л у С токса, в ы ч и сл и ть к р и во л и н ей н ы й и н тегр алj ydx + zdy + xdz,ггде р — о к р у ж н о сть х 2 + у 2 + г 2 = а 2, х + у + z = 0, о р и ен ти р о ван н ая поп рави л у п равого в и н та, если с м о т р ет ь с п олож ительной сторон ы оси О х.1 1 . П усть {г, tp, г) — ц и л и н д р и ч еск и е ко о р д и н аты , е г , е ^ , е г — един и ч н ы е в е к то р ы , к асател ь н ы е к к о о р д и н атн ы м л и н и ям , п роходящ им чер езт о ч к у M { r , i f , z ) .
П о казать, чтод1ддV=е г —or+-е ^ ,-гdtpb е г —.ozУ к а з а н и е . В о спользоваться и н в ар и ан тн о й ф орм улой (6), § 55.1 2 . П усть (г, tp, ф) — сф ер и ч еск и е ко о р д и н аты т о ч к и М , е г , е ^ , е р —ед и н и ч н ы е к асател ь н ы е в екто р ы к со о т в е тст в у ю щ и м к о о р д и н атн ы м ли н и я м . П о казать, чтодгг sin ф д ргдфГ Л А В А XIIIЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 58. Формула Тейлора для функций многих переменных1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранж а. В дальнейшем будет удобно наделить метрическое пространство Rn еще и структурой линейного пространства [7], полагая для любых ж = (х1,...,х п), у = (у1,...,у п) и a G R, чтох + у = (х 1 + У !,...,хп + уп),а х = (ах1,...,а х п).Легко проверяется, что для введенных подобным образом операцийсложения элементов и умножения элементов на вещественные числавыполняются все аксиомы линейного пространства [7].
Роль нулевогоэлемента выполняет 0 = (0,0,...,0) € Rn. Если х = (xi, ...,х п), х° == (х®,..., х„), то по определениюАж = dx = х —ж0 = (xi —ж^, ...,х п —х^) = (dxi, ...,dxn),|Дж| = y j Дж| + ... + Д ж | = р(х,х°).Т е о р е м а 1. Пусть функция /(ж) имеет в шаре Ss(x°) С Rn непрерывные частные производные всех порядков до гп включительно.Тогда для любой точки х° + Аж € Ss(x°) найдется число в € (0,1) такое, что справедливо следующее равенство (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа):п2 1/ ( Ж° + Дж) = /(ж °) + ^ 2fc|+ Гт(х)(1)k=1гдегт(ж) =dmf(x ° + в Дж),(2 )a dkf(£) есть дифференциал k -го порядка функции /(ж), вычисленныйв точке £ и являющийся однородной формой k -го порядка относительно дифференциалов независимых переменных d x d x ndkf ( 0 = ( д х г ^ - + ...
+ dxn- £ r ) /(£)(3)§ 58. Формула Тейлора для функций многих переменных555О Если точка х° + А х € Ss(x°), то в силу симметрии шара и точках° —А х € Ss(x°). Так как шар есть выпуклое множество, то х° ++ t А х € Ss(x°) при любом t € [—1,1]. Поэтому на [—1,1] определенафункция одной переменной:<p(t) = f ( x ° + tA t) = f(x ° + t A x i, ...,x°n + t A x n).Функция tp(t) дифференцируема на отрезке [—1,1].
Действительно,применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем*>'(«) = £*=1+*А х, = ■№» + «Ах) ==( d X l^ k ++А ХП Ъ Ь ) ^ Х0 + f А Х ^^Аналогично,ПП9,,(t) = y y d~f{> У Ах) A x t A x j = d2f(x ° + t А х) =O XiO XjJ*=1 3=1г 3=( d x \ - ^ — + ... + d x n - ^ — \ f ( x ° + t A x ) .\dx idxn )По индукции получаем, что для к = 1,т справедливы формулы*1= 1ik=1dxh ...dxik^ik= dkf(x ° + tA x ) = ( d x \- ^ - + ...
+ dxn - ^ ~ j f(x ° + tA x ) .(5)Применим к функции ip(t) формулу Тейлора с остаточным членомв форме Лагранжа. Существует число в € (0,1) такое, чтоf m —lip(t) = i p( 0 )+t i p ' (0 ) + . . . + (m _yM(0) + r m(«),ft \rm(t) = —t ip ^ ( 0 t) .mlПолагая t = 1, получаем^ (l) —^(0) + ^ (0 ) + ••• + ^m _T 'm 1}(0) + rm(l),Гт(1) = ± <! рт(в).(к) IПодставляя в эту формулу выражения (5) для производных ip^k'{t)при t = 0, получаем формулу (1). •Гл. X III. Экстремумы функций многих переменных556З а м е ч а н и е .
Для ф у н к ц и и дву х п ер ем ен н ы х f ( x ,ра ( 1 ) п р и н и м ает более п р о сто й виду)ф ор м у л а Т ейлоПХ—1f ( x ,у)=f ( xо,Уо)fcj d * / ( * 0,+ ЕУо) +Гт ,k= 1гдекd k f ( x 0,yo)=( ( х\-хо)-^ - +ох( у -У о ) ^ - )f(x o ,y o )оу/кр= 0Гт=^7ml(lm f { x+в (х-Хо),у +0 (у-Уо)).С л е д с т в и е . Если выполнены условия теоремы 1, то для функции f(x ) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в формеПеанотpk .f(x ) = f(x ° ) + Y j i dkf ( x °) + о(\Ах\т)(6)k= 1k\при |Дж| -X 0, где |Дж| = \ / А х \ + ...
+ Дж |.О Рассмотрим остаточный член в формуле (1):, ч 1 im t! О I л д 7dmf(x°+ 0 Ах) ддГт(х)= —:d mf ( х ° + в А х ) = — > ... > —^A x h ... A x im.mlml'd x i 1...dxiii =l Zm=1(7)Так как по условию все производные порядка то функции f( x ) непрерывны в точке х°, тодт/(х ° + в А х )яOXi1 . . . OXjmdmf(x°) ,= OXi1я .
. . OXiя m, ,+ a h - i m(x),8)где функции a i1...im(x) бесконечно малые при |Дж| —^ 0.Так как |Дж,| ^ |Дж|, то [Дж^... Дж*т | ^ |Дж|та. Следовательно,ППY - Еa h...im( x ) A x h . . . A x i m = о(|Дж|та)(9)1г=1 im=1при |Дж| —¥ 0.Подставляя выражения (8) и (9) в формулу (7), получаемГУ 4 dmf(x°) ддr ™ w - m ! 2 ^ - 2 ^ d x h ...dxim+ii=l Zm=1ПП+ ^ т Е - Е а«1...«т (*)Аж41...Дж4т = ^ ( Г п/ ( а:0) + о ( |Д а:Г )1г=1 im=1(10)§59.
Экстремумы функций многих переменных557при |Дж| -¥ 0.Подставляя выражение (10) для гт(х) в формулу (1), получаемформулу (6). •У п р а ж н е н и е 1. П усть Fie(x) — однородны е ф орм ы степ ени к в п р о стр ан ст в е R'1 при к = I .
т. г. е.ПП2 _.Ъ 1-Л кХ п-х1кУ к = 1.ш.*1=1 *fe=1Fk{ x ) = Y , -и п у сть ф у н к ц и я f(x) у д о в л е тво р я е т у сл о ви ям тео р ем ы 1. П о казать, чтоп редставлен и е ф у н к ц и и f(x) в видетf(x) = f(x°) + ^ 2 Fk(Ax) + о(\Ах\т)к=1еди н ствен н о , а п о это м уД х) = — dkf(x°),к\при|Да?|0к = 1,т.У к а з а н и е . И спользовать д о к а за те л ь с тв о с о о тве тств у ю щ ей тео р ем ыдля ф у н к ц и и одной п ерем ен ной в § 18.У п р а ж н е н и е 2. И спользуя р е зу л ь т а т уп р.
1, п о к азать, ч то напи сан н ая н иж е ф о р м у л а я в л я е т с я ф орм улой Тейлора:X■У3Х?уг, •>‘>\3/‘>j\е sm у = у + х у — — Н— - — I- о ( ( х - + у")при‘>‘>пх~ + у~ —¥ 0.§ 59. Экстремумы функций многих переменных1.Н еобходимые условия экстремума. Пусть функция f(x )определена в области G С Rn и пусть х° = (х®,..., ж°) € G. Назовем х° точкой (локального) минимума функции f(x ) , если найдетсятакой шар Ss(x°) С G, что для всех х G Ss(x°) выполнено неравенствоf(x )f(x °).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
