Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 99
Текст из файла (страница 99)
▲У п р а ж н е н и е 1. П о к а за ть , ч то тр и го н о м е тр и ч е с к а я с и стем а (3) ортогональн а на лю бом о т р е зк е [а, а + 21], а £ R.У к а з а н и е . См. § 36, п рим ер 6.Гл. X IV . Ряды Фурье574Уп р а жн е н и е 2. Показать, что система функций1cos®,2cos пх, ...ортогональна на отрезке [0,7г].У п р а жн е н и е 3. Показать, что система синусов1 , ..., sin , ..sin—I ’ ’I ’.тх.пжхортгональна на любом отрезке вида [a,a + l], а € R.Уп р а жн е н и е 4. Показать, что тригонометрическая система12’cos2жхb-a.2жх, smb-a, ..., cos2ж пхb-a., sm2ж пхb-a, ...ортогональна на отрезке [а,Ь].2.Р яд Ф урье по ортогональной систем е. Пусть функция /(.г)непрерывна на отрезке [а,Ь], а {^(ж )} — ортогональная на [а, Ь] система непрерывных функций, причем ни одна из функций р>и{х) необращается тождественно в нуль на отрезке [а,Ь].
Говорят, что функция f ( x ) разложена на отрезке [а, Ь] в сходящийся ряд по ортогональной системе функций {</?*.(ж)}, если найдется такая числовая послеСЮдовательность {ар}, что функциональный ряд ’^ ^ау(р)1(х) сходится иего сумма равна f (x), т. е.k=1СЮf(x) = Лa kipk {x),х£[а,Ь\.(8)к=1Л е м м а 1. Если функциональный ряд (8) сходится равномерно наотрезке [а, Ь], то справедливы следующие выражения для коэффициентов этого ряда:j f ( x ) (pn(x)dxап = — ь-------------- ,п £ N.(9)j <fn(x)dxаО Так как функция ip„(x) непрерывна на отрезке [а,Ь], то она ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса).
Если равномерносходящийся ряд умножить на ограниченную функцию, то получимравномерно сходящийся ряд (это непосредственно следует из определения равномерной сходимости функционального ряда). Поэтому,умножая ряд (8) на функцию ipn (x), получаемСЮп £ N,(10)к=1причем ряд в правой части равенства (10) сходится равномерно наотрезке [а,Ь]./(ж)<рп(ж)=^ 2 ak ipk(ж) ipn(x),§61.
Ортогональные системы функций575Воспользовавшись теоремой о законности почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда и ортогональностью функций(рк(х ) на отрезке [а,Ь], получаемЬЪооJ f ( x ) <Pn(x)dx = j { ^ 2 ак (рк (х)^(рп (х) dx =к=1аbb= ^ 2 ак <рк(х) <рп(х) dx = ап tp2n (x)dx.к=1а(11)аТак как функция ip„(x) не равна тождественно нулю на отрезке [а, Ь]ьи непрерывна, то J (Рп(х ) dx > 0. Поэтому из равенства (11) следуетаформула (9) для коэффициентов ап.
•Числа ап называются коэффициентами Фурье, а ряд (8) — рядом Фурье функции f ( x ) по ортогональной на [а, Ь] системе функций {ipk (x)}.Ряд Фурье функции f ( x) по тригонометрической системе на отрезке [—М] будем записывать в видеСЮf(x) = у +к =1( а *=cos ~Т~ + bk sin ~Т~ )и называть тригонометрическим рядом Фурье функции f ( x) на отрезке [—/,/].Коэффициенты ак и Ък можно вычислить, если подставить в формулы (9) выражения для тригонометрических функций и воспользоваться формулами (4):IIао = j f f ( x) dx, an = j j f ( x) cos ^ dx,-1-1(13)ibn = j j f ( x) sin ^dx, riG N.-1В частности, при I = n получаемao = — J f ( x ) d x ,—7Г7Гan = — j f ( x) cos nxdx,—7Гbn = — J f (x) sin nx dx,(14)n € N.3.Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции.
Коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы (9) длялюбой абсолютно интегрируемой на отрезке [а, Ь] функции f(x), еслифункции (рк(х) непрерывны и не обращаются тождественно в нуль наотрезке [а,Ь].Гл. X IV . Ряды Фурье576В самом деле, пусть j \ f ( x ) \ d x сходится как несобственный интеграл. Тогда°\f(x)ipn(x)\ ^ kn\f(x)\,кп = sup \фп(х)\х£[а,Ь]ЬПо признаку сравнения интеграл J f ( x ) (рп(х) dx сходится абсоалютно. Следовательно, все коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы (9).СЮРядап (рп(х), где ап — коэффициенты Фурье абсолютно интегТЪ—рируемой на [а, Ь] функции f(x), будем называть рядом Фурье функции f ( x ) по ортогональной системе функций {(рп(х)}. Так как этотряд может оказаться расходящимся, то будем писать1СЮf ( x ) ~ ^ 2 a n ipn(x).(15)п= 1В частности, для тригонометрической системы (3) формула (15) имеет следующий вид:сюр(чао,ПТТХ, ,f ( x ) ~ у + Х и ап cos ~ r.пттхп sm ~ Г '('71=1Запись (15) означает, что У У ап (рп(х) есть ряд Фурье функ71=1ции f ( x ) по ортогональной системе { f n(x)}.§ 62.
Лемма РиманаВ теории тригонометрических рядов и теории интеграла Фурье(которая будет изложена в § 74) фундаментальную роль играет следующая лемма Римана.Л е м м а 1 (Римана). Пусть функция f ( x) абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале (а,Ь).
Тогдаььf ( x ) s m u j x d x = lim f ( x) cosuj xdx = 0.Ш—>СЮ JШ—¥ 0 0 Jааlim(1)О а) Пусть сначала функция f ( x ) интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь]. В силу критерия интегрируемости для любого е > 0 найдетсятакое разбиение Т = {ж*,г = 0, те} отрезка [а,Ь], что разность S t — St§ 62. Лемма Римана577верхней и нижней сумм Дарбу будет меньше е/2, т. е.S t — st = ^ ^ (M j —то,) Дж* <.i= 1где Mi =sup/(ж), to, =X ( z [ x i- l,X i]inf/(ж).X<z:\xi — l,X i\Тогда для любого i = l ,n и для любого х €неравенство 0 ^ / ( ж ) — тщ ^ М* — то, иьпsin ссж ДжI S /1[ ж , _ ,ж, ]выполняетсяXii s //(ж) sin wx dx( / ( ж ) - irij) sinш ж d r + ^i= l x j _ i*=1irij J sinw xdxXj _in^>I\ J { X ) — Ш*| • |8ШШЖСОвССЖ,— COSUOTj_i|^i—1i=lxf_in^ Y ( Mi -i—1Шm г)&Xi +i—1lm*l ^ | + 0[-■где Co = 2n sup |/(x )|.x&[a,b]При фиксированном n найдется loq > О такое, что при |сс| > и>овыполнено неравенство С о/со < е/2.
Таким образом, при |сс| > loq выполнено неравенствоьж) sin l o x dx/'< ■т. е.ьf ( x ) sin l o x dx = 0.Ш—>00 Jaб)Пусть теперь функция /(ж) абсолютно интегрируема на (а,Ь).Без ограничения общности считаем, что единственная особая точкаьинтеграла J \ f ( x ) \ d x есть Ь.
Напомним, что рассматриваются толькоанесобственные интегралы с конечным числом особых точек.Тогда для любого е > 0 существует Ъ' < Ъ такое, что на отрезке [а, Ъ'] функция /(ж) интегрируема по Риману, а несобственный иньтеграл J \ f ( x ) \ d x < | .limVГл. X IV . Ряды Фурье578Так как для интегрируемых по Риману функций лемма доказана в п. а), то найдется ссо > 0 такое, что при |сс| > loq выполнено неравенствоь'J /(ж) sineoxdx< тПоэтому при |сс| > ссо имеемъъ'ьsin шх dxJ /(ж) sineoxdx + J /(ж) sinшхдхs'иUx) sin шх dxj \ f { x ) \ d x < £- + £-= e ./'< ■ьИтак,limШ—¥СЮJsin ш хдх -X 0 при ш ^ oo.
Аналогично доказывается, чтоftf(x)cosuxdx = 0.*С л е д с т в и е . Если /(ж) — абсолютно интегрируемая на отрезке [—1,1] функция, то ее коэффициенты Фурье, определенные формулами (13), стремятся к нулю при ri -X оо.§ 63. Формула для частичных сум мтригонометрического ряда Фурье1.Периодические функции. Периодическая функция былаопределена в § 9.
Под периодом Т функции /(ж) будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции sin ж и cos ж имеют период 2п,а функция tgж имеет период п.Если функция /(ж) имеет период 21, то будем называть ее21-периодической. Функцию, определенную на [—/,/), можно периодически продолжить на (—оо, +оо), сдвигая последовательно графикфункции на промежутке [—1,1) параллельно оси ж на 2nd, где п =О, ± 1,... Если существуют односторонние пределы / ( —1 + 0) и /(I —0), то, в силу периодичности выполняются равенства/(1 + 0 ) =lim / ( ж) = lim /(! + « ) = lim / ( - ! + «) =х—^/-f-Ои—^Н~0и—= lim /(ж) = / ( —1 + 0).Х—¥—1+0Если / ( —1 + 0) ф / ( 1 —0), то продолженная функция в точкахl(2ri + 1), ri € Z, будет иметь разрывы первого рода со скачком / ( —I ++ 0) —/(1 —0) даже в том случае, когда функция /(ж) была непре-§ 63.
Формула для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье 579-31Р и с. 63.1рывной на промежутке [—1,1) (см. рис. 63.1). Функция /(ж), непрерывная на промежутке [—/,/), будучи периодически продолженнойна (—оо,+оо), останется непрерывной в том и только том случае,когда / ( - / + 0) = / ( / - 0).Уп р а жн е н и е 1. Показать, что для нечетной на отрезке [—1,1], абсолютно интегрируемой функции все коэффициенты ап в формуле (12) равнынулю, а для четной абсолютно интегрируемой на [—1, I] функции все коэффициенты Ьп в формуле (12) равны нулю.Л е м м а 1.
Если функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке [—1,1] и 21-периодическая, то для любого вещественного числа авыполнено равенствоа— 1-IО Это утверждение доказано в § 36 (пример 6). •2.Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции. В дальнейшем считаем, что полупериод I = 7г Такоепредположение не ограничивает общности, поскольку от периода 21 кпериоду 2 7г м о ж н о перейти при помощи простой замены независимойпеременной.Запишем для 27г-периодической абсолютно интегрируемой функции ее тригонометрический ряд Фурье при помощи формулы (12) в§ 61 и построим последовательность частичных сумм этого ряда$п(х ) —2 Е ak cos кх + bk sin кх.к(1)= 1Заметим, что функция Sn (x) бесконечно дифференцируема и 27г-периодична.Найдем формулу для Sn(x) (формулу Дирихле).
При и ф 2ктт,к G Z, справедливо тождествоD n (u) = i + cos и + ... + cos п и =Гл. X IV . Ряды Фурье580О Достаточно заметить, что2D n(u) sin ^ = sin ^ + 2cos«sin ^ + ... + 2cosn«sin ^ =■ и. Зи-и , . ■ ( . 1\= sm - + sm —— sin - + ... + sin In + - Iu —— sin—i j u = sin ^'n +•Функция D n(u), определяемая формулой (2), называется ядромДирихле.JI е м м а 2.
Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четнаяи 2п-периодическая функция, причемТТ- [ DJu)du=l.(3)7Г J—ТТО Четность, 27г-периодичность и бесконечная дифференцируемостьядра Дирихле следуют из формулы (2), так как теми же свойствамиобладает функция cosku. Формула (3) также следует из формулы (2),посколькуЖТТ— j D n( u ) d u = — J+ cosU + ... + cosnuj du =-ТГ-ТГп ж= 1-1—J cos kudu = 1. •k=1—ТТВыведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм рядаФурье.
Подставляя в формулу (1) для частичной суммы выражения (14) из § 61 для коэффициентов Фурье и используя формулу (2)для ядра Дирихле, получаемТТSn(x) = ^ j f ( t ) d t +—ТТпТТТТ+^ cos кх • — J f( t ) cos kt dt + sin kx • — J f( t ) sin kt dtk=11 1Дcos kx cos kt + sinfcarsinfc^ dt =2k= 11П- + УУ cos k(x —t)^ dt =k7Г=1JT + TT1 J f ( t ) D n(x - t ) d t = ^ J f ( x - u ) D n(u)du.7Г— 7ГX — TT§ 64■ Сходимость ряда Фурье в точке581Так как подынтегральная функция 2я-периодическая, аинтегралпо отрезку длины 2я в силу леммы 1 не зависит от того, в какомместе вещественной оси этот отрезок расположен, то7ГSn(x) = ^ j f ( x - u ) D n(u)du.(4)—7ГВыражение (4) для частичной суммы ряда Фурье называют формулой Дирихле.
Если разбить отрезок интегрирования на два симметричных отрезка, сделать во втором интеграле замену переменнойи = —v и воспользоваться четностью ядра Дирихле, то эту формулуможно еще преобразовать к виду7ГSn(x) = —j ( f ( x + и) + f ( x —uj) Dn(u) du.(5)о§ 64. Сходимость ряда Фурье в точке1.Теорема о локализации.
Сходимость ряда Фурье в точке ж0сводится к исследованию сходимости последовательности частичныхсумм S n(xо), определенных формулой Дирихле (5).Т е о р е м а 1 (принцип локализации). Пусть функция f ( x ) 2тт-периодическая и абсолютно интегрируемая на отрезке [—7Г, 7г]. Тогдасходимость ряда Фурье функции f ( x) в точке X q € R и сумма рядаФурье функции f ( x ) в точке X q ( если этот ряд сходится) зависяттолько от поведения функции f ( x) в произвольно малом интервале(х0 — 6,xq + S), 6 > 0.О Используя формулы (5) и (2) из § 63, запишем частичную суммуряда Фурье в следующем виде:S n(xо) = - f ^ X° + ^ + { ^ °— — sin ( n + ^ - ) u d u .7т J2 sm —Ч2/О2(1)Так как функция f ( x о + и) + f ( x о —и) абсолютно интегрируемана отрезке [—я , 7г], а для 6 G (0, я) и всех и G [фя] выполнено неравенствоf ( x о + и) + f ( x о - и)^ — Ц г \f(xo + u) + f { x о - и)\,2 sin ^2* sin2ми £2то по признаку сравнения функция= f i x О+ и) + f i x 0 - и)Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
