Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 102
Текст из файла (страница 102)
X IV . Ряды Фурье596Рядск егкх, где коэффициенты ск определяются формулак=—ооми (6), будем называть рядом Фурье функции f ( x) в комплексной форме и будем писать^/(* )-£ ck eikx.(7)k=—ооЕсли существует предел последовательности Sn(x), определеннойравенством (5), то будем говорить, что ряд (7) сходится, и записывать это в следующем виде:+ ооУ " ck eikx = lim Sn(x).П —¥ ООк=—ооЕсли, в частности, lim Sn(x) = f (x) , то пишутп^оо+0оf(x)=§68.Y , C^ e ikx.к=—оо(8)(9)Суммирование ряда Фурье методомсредних арифметическихПусть f ( x ) есть непрерывная и 2-7г-периодическая функция.Рассмотрим последовательность S n(x) частичных сумм ряда Фурьефункции f(x).
Определим суммы Фейера как средние арифметическиесумм So(x), S1(x),...,Sn(x):= S0(x) + . . . +Sn(x)'(1)п+1Т е о р е м а (Фейера). Последовательность {ст„(ж)} сумм Фейера2п-периодической непрерывной функции f ( x) равномерно сходится кфункции f (x).О Воспользуемся выражением для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле (§ 63, (4), (2)):Sn(x) = ^ J f ( x + t) D n(t) dt,(2 )гдеsin (^n + - ) tDn(t) = f• cos t ■cos nt =2 sin |(3)Подставляя выражение (2) в формулу (1) для суммы Фейера, получаем, чтоа п (х ) = \ J f ( x + t) Fn (t ) dt,(4)§68.
Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических597гдеF n (t) =( 5)D o { t ) +n '+ ^ D n ( t ) -Функцию Fn(t) назовем ядром Фейера. Для доказательства теоремы существенны следующие свойства ядра Фейера:1) Fn(t) — четная, 2я-периодическая и непрерывная функция;7Г2) - / Fn(t)dt = 1;ТТ J—7Г3) Fn(t) > 0;4) lim max Fn(t) = 0 при любом 6 G (0,я).n -> o oСвойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (5) и соответствующих свойств ядра Дирихле. Докажем свойство 3).Подставляя в формулу (5) для ядра Фейера выражение (3) для ядерДирихле, получаем.п sin ( к + }- ) х(п + 1)Fn(t) = D0(t) + ... + D n(t) = £)=Zbill —k= 02n1v^o■*■/7,1Л1- cos(n+ 1>)*0.
n(o) .„4=7ГЧГ > 2 s m —sm i k + - )x = -------——4sin § ^2V2 /4sin ^^V;2 k= 02Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что21sup Fn(x) ^Тже[<5,тг]4 sin2 1 п +1—¥ 0прип —¥ оо,0 < 6 < я.Оценим теперь сгп(х) —f (x). Воспользовавшись свойствами 2) и3) ядра Фейера, получаем, что7Г°п(х) - f ( x) = ~ [ (f ( x + t ) ~ f ( x )) Fn(t) dt,TT J(7)Wn(x) - f ( x )I ^ - f If ( x + t ) ~ f ( x )I Fn(t) dt.Я J—жНепрерывная на Я и 2я-периодическая функция равномерно непрерывна на R.
В самом деле, в силу теоремы Кантора функция f (x)равномерно непрерывна на отрезке [—2я, 2я]. Поэтому для любогое > 0 существует 6 > 0 такое, что для любых x , t G [—2я, 2я] таких,что \х —t\ < 6, выполнено неравенство \f ( x) —f ( t )| < е.Пусть £ и т) — произвольные числа такие, что |£ —i)\ < 6 < я. Тогда для любого £ € R найдется целое число к такое, что £ —2ктт= х G€ [—я,я].
Так как по условию |£ —т)\ < 6 < я, то t = rj —2ктт G€ [—2я,2я], и поэтому1/(0 - /(0 1 = 1/(0 - 2Ьг) - /(jj - 2кп)\ = |/(ж) - f ( t )I < е,что доказывает равномерную непрерывность функции f ( x) на R.Гл. X IV . Ряды Фурье598Воспользуемся равномерной непрерывностью функции f ( x ) на Rи для любого е > 0 найдем 6 > 0 такое, что для любого х € R и прилюбом |£| < 6 выполнено равенствоIf ( x + t) - f ( x) I <Разобьем отрезок интегрирования в формуле (7) на три отрезка:[—7Г, —<5], [—$,$] и [<5,7г]. Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядраФейера, получаем, что6i6ТТJ \f(x + t ) - f ( x ) \ F n( t ) d t ^ ± / f-5/-5Fn( t ) dt =8( )-тгТак как функция f ( x) непрерывна на Я и имеет период 27т, то онаограничена на R.
Пусть |/(ж)| < М. Воспользуемся свойством 4) ядраФейера и найдем такое N, что для всех ri > N выполнено неравенствот а x F„(() <ЬЕ[5,тт]оМТогда для всех ri > N справедливо неравенство7Г7Г1 j If ( x + t ) ~ f ( x ) | Fn(t) d t ^ ^ j (| f ( x + t) | + |/(ж )|) Fn(t) dt ^7Г^~ s ) £E[<5,7t]it< 2МШolvl= 74(9)Аналогично для всех n > N-5\ j \ f { x + t ) - f { x ) \ F n{t ) dt <(10 )— 7ГИз неравенств (7)-(10) следует, что для любого х € R и для всехri > N выполнено неравенствоК (ж ) - f(x)\ < £,которое означает, что последовательность сумм Фейера сгп(х) равномерно на R сходится к функции f(x).
•§ 69. Теоремы Вейерштрассао равномерных приближениях непрерывных функциймногочленами1. Тригонометрические многочлены. Пусть . 1,,. .1 1 ....... 1„.B i,...,B n — некоторые вещественные числа. ВыражениеТп{х) =АП^ Ay cos кх + Bp sin кхк=1§ 69. Теоремы Вейерштрасса о равномерных приближениях599называют тригонометрическим многочленом степени п.
Очевидно,что Тп(х) — бесконечно дифференцируемая и 27г-периодическаяфункция. Множество всех тригонометрических многочленов образуетлинейное пространство.Т е о р е м а 1 (Вейерштрасса). Любую непрерывную 2тт-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, т. е. для любого г > Онайдется такой тригонометрический многочлен Тп(ж), чтоmax\ f ( x ) - T n( x ) \ <e .—00<Ж<+ 00О Частичные суммы ряда Фурье функции /(ж) — тригонометрические многочлены.
Сумма Фейера сгп(ж), являющаяся средним арифметическим So(x) , ..., Sn (x), также будет тригонометрическиммногочленом. В силу теоремы Фейера для любого г > 0 найдется сумма Фейера сгп (х) такая, что max |/(ж) —а п (ж)| < г. •x£RЗа ме ч а ние . Если функция /(ж) задана на отрезке [—7Г, 7г] и непрерывна, то ее можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда / ( 7г) = / ( —7г).2.Равномерное приближение непрерывной на отрезкефункции многочленом.Т е о р е м а 2 (Вейерштрасса). Непрерывную на отрезке [а,Ь\ функцию можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, т.
е. для любого £ > 0 найдется многочлен Рп (ж) = ао ++ а 1 Ж+ ... + апх п такощ чтоmax |f (x) - Рп{х)| < е.а^х^ЬО Рассмотрим сначала случай, когда [а, Ь] = [0,7г]. Продолжим функцию /(ж) на отрезок [—тт, 0] четным образом, а затем с периодом 2тгна всю вещественную ось. Получим четную, 27г-периодическуюу11to11111ч1ч ч ,_О\Г “1—111111тг2т г__"ТсР и с. 69.1и непрерывную функцию, совпадающую с /(ж) на отрезке [0,7г](рис.
69.1).Гл. X IV . Ряды Фурье600В силу теоремы Фейера для любого е > 0 найдется тригонометрический многочлен Тт(х) такой, чтоmaxоо<ж<+оо><Ж<+ 0О|/(ж) - Т то(ж)| < | .(1)IЗаметим, что sin кх и cos кх раскладываются в степенные ряды,сходящиеся для всех вещественных х (радиус сходимости этих степенных рядов равен +оо). Так как Тт(х) есть конечная линейнаякомбинация функций sin кх и cos кх, то Тт(х) также раскладываетсяв степенной ряд, сходящийся для всех вещественных х,Тт {х)=С0 +С\Х +...
+Сп Х П +...Известно, что на любом отрезке [а,(3\, лежащем внутри интерваласходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, длялюбого е > 0 существует п такое, чтоmax |Тт(х) - (с0 + с \х + ... + спх п)| < |(2 )Если положить Рп(х) = Со + С\Х + ... + спх п, то в силу (1) и (2) получаем|/(ж) - Рп(х)I ^ |/(ж) - тт(х)I + IТт(х) - Рп(х)I ^^max|/(ж) - Тт(х)\ + max |Тт(х) - Рп(х)| < § +—оо<ж<+оосю<ж<+сюIСледовательно,max |/(ж) —Рп(х)\ < е.0< х<пПусть теперь функция f ( x) непрерывна на произвольном отрезке [а,Ь].
ПоложимF(t) = / [а + “ (& —а ) ] > 0 ^ t ^ я.Тогда функция F(t) непрерывна на [0, я] и ее можно равномерно приблизить на [0,я] многочленом Qn(t), т. е.< е.Полагаяполучаем из неравенства (3), чтоmax |/(ж) —Рп (х)| < е.•(3)§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного601§ 70. Сходимость ряда Фурьев смысле среднего квадратичного1.Унитарное пространство. При дальнейшем изложении удобно будет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейнойалгебры [7] известны определения комплексного линейного и унитарного пространства.
Напомним, что в линейном пространстве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения элементов на комплексные числа, причем эти операции удовлетворяютследующим аксиомам линейного пространства Е:1) х + у = у + х для любых х ,у £ Е;2) х + (у + х) = (х + у) + z для любых x , y , z £ Е;3) существует элемент 0 £ Е такой, что для любого х £ Е справедливо равенство х + 0 = х;4) для любого х £ Е существует элемент —х £ Е такой, что х ++ (-х) = 0;5) для любого х £ Е и для любых Л, р, £ С справедливо равенство Х(ц:х) = (Хр)х;6) (Л + р)х = Хх + рх для любых х £ Е, X, р, £ С;7) Х(х + у) = Хх + Ху для любых х , у £ Е, X £ С;8) 1 • х = х для любого х £ Е.Греческими буквами обозначались комплексные числа, латинскими — элементы линейного пространства Е.Унитарным называется комплексное линейное пространство Е,для каждой пары элементов которого определено комплексное число(х , у ) — их скалярное произведение.Аксиомы скалярного произведения:1) (х , у ) = (у , х ) для любых х , у £ Е;2) (х + y,z) = (х, z) + (у, z) для любых x , y , z £ Е;3) (Ах,у) = X(х,у) для любых х , у £ Е, X £ С;4) (х , х ) ^ 0 для любого х £ Е, причем (х , х ) = 0 тогда и толькотогда, когда х = 0.Здесь через у обозначается число, комплексно сопряженное комплексному числу у.Неотрицательное число ||ж|| =(х, х) называется нормой элемента х.
Из аксиом 1-4 унитарного пространства выводятся следующиесвойства.а) ||ж|| = 0 эквивалентно х = 0.б) (ж, Ау) = А(х,у).°(х, Ху)=(Ху, х) = X(у, х) = X(у, х) = Х(х, у). •в) Для любых х ,у £ Е справедливо неравенство КошиБуняковского|( ж ,у Ж 11*11 • IMI(1)О Так какдля любыхх ,у £ Е и X £ С справедливонеравенств(х + Ху, х + Ху) (У 0, то, пользуясь свойствами скалярного произведеГл. X IV . Ряды Фурье602ния, получаем0 ^ (ж, ж) + Х(у, х ) + А(ж, у) + АА(у, у).(2)Если ||у|| = 0,то у = 0 и неравенство Коши-Буняковского становитсятривиальным.
Пусть ||у|| ф 0. Положим в (2) А = —0< HP -(»■*) - Ц( .,» ) +■ ПолучаемIMP.откуда сразу следует неравенство Коши-Буняковского. •г) Для любых х ,у € Е справедливо неравенство для нормы\\х + у\\ ^ IMI + 1Ы1.О Неравенство для нормы следует из неравенства Коши-Буняковского. В самом деле,||ж + у\\2 =(х+ у, х + у) = (х, х) + (у , ж) + (х, у) + (у, у) фIMI2 + 2 IMIIMI + IMI 2 = (||ж|| + ||у||)2.•д) Положительная однородность нормы: ||Аж|| = |А| • ||ж||.||Аж||2 = (Аж,Аж) = АА(ж,ж) = |А|2 ||ж||2.
•Из курса линейной алгебры известно унитарное пространство Е п,элементами которого являются упорядоченные наборы п комплексных чисело7 = (7 ь -,7 п ),Ъ € С,i = T~n.Естественным образом определяется в Е п сложение элементов(векторов) и умножение их на комплексные числа. Скалярное произведение двух векторов 7 = (7 i ,..., 7 n) и 6 = (Si,...,Sn) есть комплексное число, определенное формулой(у ,6) = 7i<5i + ... + 7„<5п.По аналогии с вещественным пространством Ьф (а, Ь), рассмотренным в § 66 , введем комплексное пространство Ь(ф{а,Ь), элементамикоторого являются комплекснозначные функции, для каждой из которых найдется такое разбиение отрезка [а, Ь] точками {ж,}, г = 0 ,п, чтона любом из интервалов (ж,_1 ,ж,) функция непрерывна, а интегралот квадрата ее модуля по отрезку [а, Ь] сходится как несобственный.Л е м м а 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
