Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Ясно, что производная кусочно гладкой функции, определенная во всех точках отрезка [а,Ь],кроме конечного числа точек, есть кусочно непрерывная функция.Ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится в каждой точке непрерывности функции к значению функции в этой точке, а в каждойточке разрыва — к полусумме предельных значений функции в этойточке.Для непрерывной и кусочно гладкой функции справедливы формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям.§ 65. Почленное дифференцирование и интегрированиеряда Фурье1.
Почленное дифференцирование ряда Фурье.Т е о р е м а 1. Если /(ж) — кусочно гладкая 2п-периодическая и непрерывная функция, то ряд Фурье производной /'(ж ) получается припомощи формального почленного дифференцирования ряда Фурье функции /(ж).О Пусть ап и Ъп — коэффициенты Фурье функции /(ж), а а'п иЬ'п — коэффициенты Фурье производной /'(ж ). Воспользовавшись непрерывностью и периодичностью функции и интегрируя по частям,получаем, чтоТТа'о = -7Г J[ f ( X) d x = -7Г ( /( тг) - / ( —тг)) = 0— 7ГТТТТтта'п = / / ' (ж) cos пх dx = n f ( x ) s m n x d x = mrbn,—ТТ—ТТТТ/'(ж ) sin n x d x—ТТТТ—ТТГл. X IV .
Ряды Фурье590ПоэтомуСЮ/'(* ) ~Е а'п cos пх + Ь'п sin пх =ТЪ— 1СЮСЮ= ^ пЪп cos пх —пап sin пх = ^ (ап cos пх + Ъп sin п х )'. •П=1П=1С л е д с т в и е 1. Если 2п-периодическая функция f ( x) имеет непрерывные производные до порядка к — 1 и / ^ _1^(ж) — кусочно гладкая функция, то ряд Фурье функции(х) получается к-кратнымпочленным дифференцированием ряда Фурье функции f(x).С л е д с т в и е 2. Если выполнены условия следствия 1, то длякоэффициентов Фурье справедливы следующие асимптотическиеравенства:ап = o(n~k), bn = о(п~к), поо.О В силу следствия 1 ряд Фурье функции / ^ ( ж ) получается при помощи fc-кратного почленного дифференцирования ряда Фурье функции /(ж), т.
е.(ж) ~ ^п кап cos (хп,х + к ^ + п кЪп sin (хп,х + k ^ j .ТЪ— 1С точностью до знака числа п кап и п кЪп являются коэффициентами Фурье абсолютно интегрируемой на [—7Г, 7г] функции f ( k\ x ) . Таккак в силу следствия из леммы Римана коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при п -X оо, тоlim п кап = 0,п—»ооlim п кЪп = О,п—»оочто и требовалось доказать. •2. Почленное интегрирование ряда Фурье.Т е о р е м а 2. Для кусочно непрерывной и 2п-периодической функции /(ж) справедливо равенствоXfr/,\СЮ1,аох,V—vJ f (t) dt = — + 2_^ ay0sin k x^, ,b by1 —cos k x^----- ,( 1)k = 1где ряд в правой части получен формальным почленным интегрированием ряда Фурье функции f(x).О Рассмотрим функциюФ(x) = j № d t - ? f .(2)ОФункция Ф(ж) +в точках непрерывности /(ж) имеет непрерывную производную, равную /(ж), в точках разрыва первого рода§66.
Равномерная сходимость ряда Фурье591функции /(ж) функция Ф(ж) +имеет обе односторонние производные, равные f ( x + 0) и f ( x —0). Поэтому непрерывная и кусочно гладкая функция Ф(ж) удовлетворяет условию2тх+ хФ(ж + 27г) —Ф(ж) =7ГJ f ( t ) d t — aoir = j f (i ) dt —X= 0,—-т гиз которого следует ее 2-7г-периодичность.Для функции Ф(ж) выполнены все условия теоремы 2, § 64 и ееряд Фурье сходится к Ф(ж) в любой точке х € R. ПустьФ(ж) = ^^А п cosnx + В п sinnx.(3)7 1= 1Из теоремы 1 следует, что коэффициенты Фурье функций /(ж) иФ(ж) связаны при п > 0 следующими соотношениями:Ъп = - п А п, ап = п В п.(4)Чтобы найти коэффициент Ао, воспользуемся тем, что равенство (3)справедливо при любом х € R.
Полагая в этом равенстве х = 0, получаем, чтоСЮСЮ= - S >п= 1t= £п= 1t-(5)Подставляя в формулу (3) выражения (4) и (5) для коэффициентовФурье, получаем формулу (1). •П р и м е р 1. Используя ряд Фурье для функции sign ж (пример 1,§ 64), доказать, что:СЮ7г 4 ' cos(2n + 1)ж„(2» +1)- 'п=ОООеС\ V ''п=11су7Г~ОО.( 2п - I ) 2 _ ~8~’1су7Г"B’ 2 ^ r d ~ ~ 6 'п —1А Так как функция sign ж является кусочно непрерывной, то в силутеоремы 2 справедливо равенствоf sign x d x = 7Г—Jтг/2п =fJsin(2w + 1)* (ц2п + 1о ^ ж ^ 7г,0 к /2из которого следует равенство а).Полагая в равенстве а) ж = 0, получаем равенство б).Если обозначить сумму ряда в формуле в) через S, то для S получаем следующее уравнение:п ,1, 1 1/11\тг21„S ~ 1+ ¥ + - ~ 1++ 5*+ + \ ¥ + - + ( 2 ^ + "V “ Т + 4из которого следует, что S = — , т. е. равенство в).
▲Гл. X IV . Ряды Фурье592§66.Равномерная сходимость ряда Фурье1. Неравенство Бесселя. Введем класс функций L^ia, Ь), болееширокий, чем класс кусочно непрерывных функций. Функция f (x)принадлежит этому классу, если существует такое разбиение отрезка[а, Ь] точками ж*, г = 0,п, что на каждом из интервалов (ж*_1 ,ж*) функция /(ж) непрерывна, а несобственный интеграл от функции |/(ж )|2сходится на интервале (а,Ь).J1 е м м а 1. Если функции f ( x ) и <р(х) принадлежат классу Ь§ (а, Ь),то произведение этих функций — абсолютно интегрируемая на (а, Ь)функция.О Так как функции /(ж) и <р(х) принадлежат классу L § , т о существуют такие разбиения Т\ и Ti отрезка [а,Ь], что функция /(ж)непрерывна на каждом из интервалов разбиения Ti, функция ip(x) непрерывна на каждом из интервалов разбиения Тч, а интегралы поинтервалу (а,Ь) от квадратов этих функций абсолютно сходятся.Объединяя точки разбиений Ti и Ti, получаем разбиение Т, навсех интервалах которого непрерывны обе функции.
Абсолютная интегрируемость произведения этих функций следует из неравенства2 |/(ж) ip(x)\ «С |/(ж )|2 + \ф(х)\2и из теоремы сравнения для несобственных интегралов. •Пусть {(рп(х)}, п € N, — ортогональная система непрерывных наотрезке [а, Ь] функций (см. § 61), причем ip„(x) ф 0 на [а,Ь].Если функция /(ж) £ L ^ a , Ь), то в силу леммы 1, § 61 для неемогут быть вычислены коэффициенты Фурьеии\\ifi.(1)ciri, —Ij 2■jJ fJ(x)\'Ь)i pn(x)dx,г ^V / U 11где^М*ГП||А fipl(x)dx.а\Т е о р е м а 1. Пусть f £ L§(a,b), a {tpn(x)}, п £ N, — ортогональная система непрерывных на отрезке [а, Ь] функций.
Тогда для коэффициентов Фурье функции /(ж) по ортогональной системе {(рп(х)}справедливо неравенство БесселяооЪ^ [f(x)dx.k= 1(2)аО Воспользовавшись ортогональностью системы функций {^(ж )}на отрезке [а,Ь], получаем, что для любого п £ NЬп9о ^ J [/(ж ) - '^ a u tp k ix )^ak=1dx =bпb= J f 2(x)dx - 2 ^ 2 a kJ /(ж) ipk (x)dx +ak= 1aпk= 1 abvl(x)dx =§66. Равномерная сходимость ряда Фурье593Ьппj f ( x ) d x - 2 ^ 2 a l \\фк\\2 +4 1Ык=1к=1Таким образом,(&кк= 1Последнее неравенство означает, что все частичные суммыряда, стоящего в левой части неравенства (2), ограничены сверхучислом ||/ ||2. Поэтому этот ряд сходится и сумма его не превышаетчисла ||/ ||2, т. е.
справедливо неравенство Бесселя (2). •С л е д с т в и е . Для тригонометрической системы (см. (6), § 61) наотрезке [—7г,7г] и для любой функции / £ Ь^’^ тт, тт) неравенство Бесселя имеет следующий вид:tyООл+ ^ 2 ( 4 + ь1)уI J f(x)dx.(3)k = 1О Используя равенства7Г7Г= ^ —rfar =|| совтежЦ2 = || sin пх\\2 = J cos2 пх dx = п— 7Г— 7Ги неравенство Бесселя (2), получаем неравенство (3).
•Т е о р е м а 2. Ряд Фурье 2п-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно.О Пусть ап, Ъп и а'п, Ь'п — коэффициенты Фурье функций f ( x) иf'(x). Из доказательства теоремы 1, § 65 следует, чтоа'о = 0,Ъп = ^ ,ап = —— .п(4)пЗапишем для функции f f(x) неравенство Бесселя:ОО7ГУ У <4)2 + (Ь'п f «С i J (/'(ж ))2 dx.п = 1(5)-тга~ + в~Используя равенства (4) и неравенство \afi\ ^ — 2 ~ ’ П0ЛУчаем|a„cosna:+b„sinna:| ^|an|+|bn|=^ппТак как числовой рядООH Q k i 2+ ^ k i 2+ ^п= 1^ \а'п?+I \К}2+А22п~Гл.
X IV . Ряды Фурье594сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональный ряду + ^(ап cos пх + Ъп sin пх)п= 1сходится равномерно на R. •§ 67. Комплекснозначные функции.Ряд Фурье в комплексной форме1.Комплекснозначные функции. Теория рядов Фурье без существенных изменений переносится на комплекснозначные функциивещественной переменной, т. е. функции вида f ( x) = f i ( x) + 1 / 2 (1 ),где функции fi(x) и / 2 (ж) принимают вещественные значения.ьЕсли несобственный интеграл J |/(ж)| dx сходится, то будем говоарить, что функция f ( x) абсолютно интегрируема на интервале (а,Ь).Упражнение1.П у стьf(x) = fi(x) + ifi{x).Д о к азать, что:иа)J\f(x)\ dxн есо бствен н ы й и н тегр алсх о д и тся в то м и то л ько том66случае, когда сх о д я тся н есо бствен н ы е и н тегр ал ы j |/ i ( * ) | d x и j |/г(ж )| dx;аб)н есо бствен н ы й и н тегр ала\ f ( x ) \ 2 d x сх о д и тся в то м и то л ько томЬаслучае, к о гд а сх о д я тся н есо бствен н ы е и н тегр ал ы/Ьff(x) dx/ fx(x) dx.иааЕсли fi ( x) и / 2 (1 ) принадлежат классу(а, Ь) (см.
§ 66), то будем говорить, что функция f ( x) = f i ( x) + 1 / 2 (х) принадлежит классу L§(a,b).Упражнениеции класса Lnсходи тся.(а, Ь).2. П у стьf(x)и <f(x) ес т ь к о м п лексн о зн ачн ы е ф унк6П о казать, что н есо бствен н ы й и н те гр ал J f ( x ) i p ( x ) d xоБудем говорить, что функции f ( x ) и р>(х) = (pi(x) + i(p2 (x) классаE f (а, Ь) ортогональны, еслиьJ f ( x ) <р(х) dx = 0,агдеip(x) = ipi(x) — iip2 (x).У п р а ж н е н и е 3. Д о к азать, ч то си стем а ф у н к ц и й{e'kx},ортогональн а на о т р е зк е [—тг, тг].fc = 0 , ± l , .
. . , ± n , . . . ,§ 67. К ом плекснозначны е ф ункции. Р яд Фурье в ко м плексной форме5952.Р яд Ф урье в ком плексной ф орме. Если функция /(ж) == Л (ж) + г/2 (ж) абсолютно интегрируема на интервале (—7Г, п), то длянее могут быть вычислены все коэффициенты Фурье7Г7Г7Гап = — j /1 (ж) cos пх dx + — J /2 (ж) cos пх dx = — j /(ж) cos nxdx,—7Г—7Г—7Г7Г7Г7ГЬп = — J /1 (ж) sin пх dx + — J /2 (ж) sin пх dx = —f f ( x ) sin n x d x—7Г—7Г—7Ги, следовательно, может быть написан тригонометрический рядФурьеf (x) ~ у +cos *ж + bp sin kx.(1)k= lИспользуя формулы Эйлераe ikx + e ~ i k xcoskx =e ikx,_e -ik xsinkx = ------- —-------,запишем частичную сумму ряда (1) в следующем виде:пSn(x ) = ^ + j 2yг.(eikx + e^ ikx) + f i (eikx - e^ ikx"k=l^0 _|_ ' у2' O-kk=1dip ^ i k x_|_ a k + ibfc2g —ik x2Если ввести обозначенияСр = | (ар - i bp) ,ср =С-р = | (ар + ibp)(k = 0,1,...),~ j f (x) (coskx —i s i n b ) dx = у f f ( x) e %kx dx,—7Г—7Г1 Ж1 ЖC-p = — f f (x) (coskx + i sinkx) dx = — j f ( x ) e lkxdx.(3)y(4 )Формулу (2) для частичной суммы S n(ж) можно теперь записать вследующем виде:S n( x ) = ^ck eikx,(5)k = —nгде7Г1 jf /(ж)г / \ —гкхср = ~—е<£г,к £ Z.(6)Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
