Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 100
Текст из файла (страница 100)
X IV . Ряды Фурье582абсолютно интегрируема на отрезке [Д, 7г]. В силу леммы Римана,.1 } f(xo + u) + f ( x o - и) . (1\ ,„Iim — —-------- -— ф------ 1 sin i n + - j и du = 0.J2 s in 42 /<52n —s-oo 7ГТогда из формулы (1) получаем, чтоlimn-s-oo<5\sn(Xo) - I №L7г Jо° + «) + / ( * ° - « ) sin L + D u d u ]2sin-y2V2/J= 0.(2 )Из формулы (2) следует, что существование и величина пределаlim Sn(xо) зависит только от существования и величины пределап—too,.1 f f(x<> + и) + f(x<> - и) .(1\,iim — —-------------ф--------1 sm те + - \u du,n-i-oo 7Г J2s i n 42/02т. e. от значений функции / на интервале (жо —ё,Хо + 6).
•З а ме ч а ние . Для функции /(ж) = i формула (2) принимает следующий вид:.,<S s i n ( п + ^ ) иlim—f—un—»oo 7Г Jdu = - ,2 sin —20 < S < 7Г.(3)2.Условие Г ёльдера. Будем говорить, что функция f ( x) удовлетворяет в точке Хо условию Гёльдера, если существуютодносторонниеконечные пределы f ( x о ± 0) и такие числа 6 > 0, а €(0,1] и Со > 0,что для всех и € (0,Д) выполнены неравенства|/(ж 0 + и) - f ( x 0 + 0)| ^ с0иа,\ f ( x0 - и) - f ( x 0 - 0)| ^ с0иа. (4)Число а называют показателем Гёльдера.Заметим, что функция /(ж), удовлетворяющая условию Гёльдера (4), может иметь в точке Xq разрыв первого рода, если f ( x о + 0) фф f(x о -0 ).Можно расширить определение односторонних производных(см.
§ 14), полагая/;ы= Д т о/(^о+«)-/(^о+0)!Г_{хо) =Ит/(^ °-«)-/(^ °-0 ),w—>+ОЛ е м м а 1. Если в точке Xq функция /(ж) имеет конечные односторонние производные /_Цжо) и f _ ( x о), то функция /(ж) удовлетворяет в точке Хо условию Гёльдера с показателем а = 1.§ 64■ Сходимость ряда Фурье в точке583О Функции= f (x о + и ) ~ f ( x » + °)= f (x о ~ и ) ~ /(^о ~ °)имеют конечные пределы при и+0 и поэтому ограничены на некотором интервале (0,5), т.
е. существует Со > 0 такое, чтоf ( x о + и) - f ( x о + 0)^ с0,f ( x о - и) - /(жо - 0)^ с0.Следовательно, функция /(ж) удовлетворяет в точке Xq условию Гёльдера с показателем а = 1. •С л е д с т в и е . Если функция /(ж) имеет в точке Xq производную,то она удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера.Обратное утверждение неверно: функция |ж|а при 0 < а < 1 удовлетворяет условию Гёльдера в точке ж = 0, но не дифференцируема вточке ж = 0.3. Сходимость ряда Фурье в точке.Т е о р е м а 2. Пусть 2п-периодическая функция /(ж) абсолютно интегрируема на [—7Г, 7г] и в точке Xq удовлетворяет условию Гёльдера.Тогда в точке Xq ряд Фурье функции /(ж) сходится к^(/(ж о + 0) + /(жо —0)).Если в точке Xq функция /(ж) еще и непрерывна, то в этой точкесумма ряда Фурье равна / ( жо).О Так как функция /(ж) удовлетворяет в точке Xq условию Гёльдера,то при 0 < « < 5 и а > 0 выполнены неравенства (4).Запишем при заданном 6 > 0 равенства (2) и (3).
Умножая равенство (3) на / ( Хо + 0) + / ( Хо —0) и вычитая результат из равенства (2),получаемШп L[sn(so) - /(* 0 + ° >2 + /(a!0- 0> -п —>о с- 1 / /(^о+ ц) —f(xp + 0) + /(жр —и) —f(xp —0) gin /7Г J2 sin ОV2°Из условия142/Гёльдера (4) следует, что функция_ /(жо + и) - /(ж0 + 0 ) + /(ж0 - и ) - /(ж0 - 0 )2 sm —1 =J(5)^абсолютно интегрируема на отрезке [0,5].
В самом деле, применяянеравенство Гёльдера, получаем, что для функции Ф(«), определеннойравенством (6), справедливо следующее неравенство:|Ф(ц)| ^ 2с~и = 7гс0иа^ 1.> а € (0,1].(7)-иВ силу признака сравнения для несобственных интегралов из не7ГГл. X I V . Ряды Фурье584равенства (7) следует, что функция Ф(га) абсолютно интегрируема наотрезке [0,6].В силу леммы Римана5limФ(и) sin \ п + - ш du = 0.V2/оИз формулы (5) теперь следует, чтоlim S n(x0) = Я*° + 0) + / ( * о - 0 ) _ фп—Уоо2С л е д с т в и е 1. Если 2тг-периодическая и абсолютно интегрируемая на [—7г,7г] функция /(ж) имеет в точке ж0 обе односторонниеп —Уоо Jпроизводные, то ее ряд Фурье сходится в точке ж0 к i /(ж 0 + 0) ++ 2/ ( ж° “ 0)С л е д с т в и е 2.
ifo/ш 2тг-периодическая и абсолютно интегрируемая на [—7г,7г] функция /(ж) имеет в точке ж0 производную, то ее рядсходится в этой точке к /(жо).С л е д с т в и е 3. ifo/ш 2тг-периодическая и абсолютно интегрируемая на [—7г,7г] функция /(ж) удовлетворяет в точках ± тг условиюГёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках ±7гравна/ ( т г - 0 )+/ ( - т г+0)24.
Некоторые примеры.П р и м е р 1. На отрезке [—7г,7г] найти тригонометрический рядФурье функцииг1,f(x) = < -1 ,ж е (о,7г),ж е (-т г ,о ),[ 0, ж = 0.Исследовать сходимость полученного ряда.О Продолжая периодически /(ж) на всю вещественную ось, получим функцию /(ж), график которой изображен на рис. 64.1.§64 • Сходимость ряда Фурье в точке585Так как функция /(ж) нечетна, то7Гak = — J /(ж) cos кх dx =0;— 7Гbk = — [ f (x) sin кх dx = — [ sin kx dx = — cos kx7Г J7Г J7Гк—7Г0&2П = o,0= -^-(1 —cos &7г),7fk62n+i = n( 2 n + i yСледовательно,007Гn=0sin (2n + 1 )ж2n + 1Так как /'(ж) существует при ж 7^ /с7г, то00/м =^п=0Е ^ т г £' ****' teZВ точках х = /с7г, к £ Z, функция /(ж) не определена, а сумма рядаФурье равна нулю.Полагая ж =получаем равенство1 - 1 + 1 - .
. . + 1 = !П + ... =352n + 1е4.аП р и м е р 2. На отрезке [—7г,7г] найти тригонометрический рядФурье функции/(ж) = cos аж, —7г ^ ж ^ 7г, а ф п , п Е Z,и исследовать сходимость полученного ряда.Д Продолжая функцию /(ж) периодически на всю вещественную прямую, получаем непрерывную и 27г-периодическую функцию, имеющую в каждой точке обе односторонние производные (рис. 64.2). РядГл. X IV .
Ряды Фурье586Фурье такой функции будет в любой точке сходиться к значениюфункции в этой точке.Найдем коэффициенты Фурье. Так как функция f ( x ) четная, товсе коэффициенты Ъп = 0, а коэффициенты ап вычисляются следующим образом:7Г7Гап = —j cos ах cos n x d x = —j [cos(a —n)x + cos (a + n)x] dx =оо1 .
1 1La + na —n Jоткуда7Гcos a xsin аттoo=1 , v—' /-a+V, ч„ (( - l ) n (''1,' \Va —n—nn= 1h1) co sn x,a+a + n/- 7 7 SC X SC 77.A(8 )' 7З а м е ч а н и е . П олагая в ф орм уле (8) х = тт и атт = г, получаем зам еч а т ел ь н у ю ф орм улу, даю щ ую р азлож ени е ф у н к ц и и c tg г на эл ем ен тарн ы едроби:ООc t g 2 =г i +*—*^ (\ z——1—+ —-—),пттz + П7т)п=1(9)где т о ч к и ±П7г я в л я ю т с я н у л я м и ф у н к ц и и sin г.Если ж е полож и ть в ф орм уле (8) х = 0 и г = атт, то п олучаем разлож ени еф ун к ц и и cosec г на эл ем ен тар н ы е дроби:ООsm г = гz 'п=1) )\ z — птт + ^z + -птт( 10)П р и м е р 3. Найти ряд Фурье следующей 27Г-периодической, абсолютно интегрируемой на отрезке [—7Г, 7г] функции:f ( x) = —In sin ^ , х ф 2ктт, к £ Z,и исследовать сходимость полученного ряда.А Так как f ' ( x ) существует при х ф 2ктт, то ряд Фурье функции f (x)будет сходиться во всех точках х ф 2ктт к значению функции.
Очевидно, что f ( x) — четная функция и поэтому ее разложение в рядФурье должно содержать только косинусы. Найдем коэффициент аоИмеем71"71"/277"£СССIn sin - d x = —2 ln sin —dx —2 ln sin - d x =/00тг/2тг/2тг/2тг/2= —2 J ln sin ^ dx —2 J ln cos dx —2 J lnsin x j dx =000тг/27Г= 7Г In 2 - 2 ln sin X dx = n ln 2 —J ln sin l- dt = n ln 2 +ооjоткуда ao = 2 ln 2.§64 • Сходимость ряда Фурье в точке587Найдем теперь ап при п / 0. Имеемл Гтх 7.л sm n x ,тгап — —2 \ cos пх In sm —dx = —2оn.хin sm —+0+x+20s i n n x C0S2 d x = jn2 sin ^2sin ( » + | ) * + sin2n sin |dx =7Г2 .
J [Dn(x) + D „_Да;)] da;.Здесь D n(x) — ядро Дирихле, определяемое формулой (2), § 63. Изсвойства (3), § 63 ядра Дирихле получаем, что iтап = - и, следовательно, ап = —. Таким образом,■In. хSm 2 -ln2+пхCOSЦпж ф 2ктт,к G Z.(п). жГрафик функции —In s in - изображен на рис. 64.3. АРис. 64.3З а м е ч а н и е . П олагая в ф орм уле (11) х = 7г, п олучаем11( - Л 71-1In 2 = 1 - - + - — ... + ^------ + ...23пП р и м е р 4. На отрезке [0,4] найти тригонометрический рядФурье функции/(ж ) =7 1 — ж, 0 ^ ж ^ 1,^ 0, 1^ ж ^ 3,[ ж — 3,3^ ж ^ 4,периодически продолжив ее на (—оо, + оо), и исследовать полученныйряд на сходимость.Д Продолжим функцию /(ж) периодически.
Получим четную функ-Гл. X IV . Ряды Фурье588цию /(ж) с периодом, равным 4 (рис. 64.4). Следовательно, разложение /(ж) в тригонометрический ряд Фурье имеет следующий вид:/(*) = ¥ + Ёап cos ■п —1где“° = \ /= / ( ! “ ж)— J f ( x) cosоdx = J ( 1 —ж) cosdx =о2ч . П7гж 12 1Г . пкх 7= — (1 —ж) sm —— Нsm —— аж =П7Г2 О77-7Г J2оП'КХ- Ш’(—cos ■?]■Таким образом,оо* z^ 'кЛп=1П7Г—cos ~Yn7VXп 2 ~ cos 2ж G /?.Так как в каждой точке непрерывная функция /(ж) имеет конечныеодносторонние производные, то ряд Фурье функции /(ж) во всех точках сходится к значению функции. АУ п р а ж н е н и е 1. Н айти на о т р е зк е [—к, к] тр и го н о м ет р и ч ес к и е рядыФ урье для следую щ и х ф ункц ий :а) /(ж ) = ж; б) /(ж ) = |ж |; в) /(ж ) = | 8т ж | .И сследовать сх о ди м о сть получен ны х рядов и п о стр о и ть гр аф и к и су м м соо т в ет с т в у ю щ и х рядов Ф урье.У п р а ж н е н и е 2.
Для ф у н к ц и и /(ж ) = ж2 н ай ти р яды Ф урье по т р и го н ом етр и ч еск о й систем е:а) на о т р езк е [—7г,7г]; б) на о т р е зк е [0, 27т].И сследовать сх о ди м о сть получен ны х рядов и п о стр о и ть гр аф и к и су м мс о о тве тс тв у ю щ и х рядов Ф урье.У п р а ж н е н и е 3. На и н тер вал е (0, к ) п р ед с та в и ть ф у н к ц и ю /(ж ) == ж2 в виде су м м ы т р и го н о м етр и ч еск о го ряда, содерж ащ его только синусы .§65. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье5895.Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции.
Говорят, что функция /(ж) кусочно непрерывна на [а,Ь], если существует такое разбиение отрезка [а, Ь] точками ж*, i = 1,п, где а = х о << Xi < ... < х п = Ь, что на каждом из интервалов (ж,_1 ,ж,) функция /(ж) непрерывна и существуют односторонние пределы f( a + 0),f(b —0), f ( x i ± 0), г = 1,n —1.Например, функции из примеров 1 и 2 являются кусочно непрерывными, функция примера 3, график которой изображен из рис. 64.3,кусочно непрерывной не является.Говорят, что /(ж) — кусочно гладкая функция на отрезке [а,Ь],если найдется такое разбиение отрезка [а,Ь], что на каждом из интервалов разбиения (ж,_1 ,ж,), г = 1,п, функция /(ж) имеет непрерывную производную /'(ж ) и существуют односторонние производныеf ' ( a + 0), f'(b — 0), f ' (xi ± 0), г = 1, п —1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
