Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Пусть непрерывно дифференцируемое векторное поле а задано в двусвязной области G С R3 и d iv a = 0 в области G. П оказать,что поле а можно представить в виде суммы соленоидального поля и поляточечного источника, помещенного внутрь “дыры” .У к а з а н и е . П оказать, что поток вектора а через любую допустимуюповерхность, лежащ ую в области G и содержащую “ды ру” внутри, не зависит от этой поверхности.§ 57. Ф ор м ул а С токса1. Ф о р м у л аС токсадляпростойгл адк ойп оверхн ости .Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простаяповерхность У уравнениемr = r(u,v),(u,v)GЛСR2.(1)Здесь П — замкнутая область, граница которой есть положительноориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходеграницы (ЗП область П остается слева).
Пусть (ЗП задается уравнениямии = u(t),v = v(t),I.(2)Гл. X II. Теория поля548Образ кривой (ЗП при отображении (1) мы назвали (см. § 52) положительно ориентированным краем поверхности Е и обозначили (ЗЕ.Напомним, что ориентация поверхности Е, создаваемая полем нормалей N = [г„,г„], называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает сизвестным правилом правого винта.Пусть в окрестности поверхности Е задано непрерывно дифференцируемое векторное поле а = (P ( x , y , z ), Q(x,y,z) , R(x,y,z)).
Если 7 — замкнутый контур, то криволинейный интеграл J (a, dr) в7физике называют циркуляцией векторного поля а по контуру у. Если7 = (ЗЕ, то говорят, что поверхность Е натянута на контур у.Т е о р е м а 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля а по контуруу = (ЭЕ равна потоку вихря этого поля через поверхность Е, натянутую на контур у, т. е.У (a, dr) = j j ( r o t a , n) dS.£>£(3)EО Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые былисформулированы в начале п.
1. Из (1) и (2) получаем уравнение краяповерхностиГ = Г(u(t),v(t)), (I ^ ^ I.Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаемdJ (a, dr) = J (a (r (u(t),v(t))), гU(u(t),v(t)) и'(t) +£>Еrv(u(t), v(t))v'(t)) dt = J ( a ,r u) du + (a,r„) dv.dnСделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно, и равенстве) смешанных производных ruv и r vu. Тогда всилу формулы Ерина (1), § 51 получаем равенствод ,д/ (a, dr) = J/ J/ [—I— (aа,г.,r„ ) - ^ ( a , r u)] dudv =annda. dada, da\ , ,, 0xЖ Zu’ Tv) d u d v "d x Xu + d&y уУиVu + ~dzdaa i Xvdada\&y Vv + d~z Zv’ Tu),=r v, (ru, V)a) - (ru, (r„, V)a)] dudv == 11 (ru, rv, ro ta) dudv = / / (ro ta ,n ) dS.§ 57. Формула Стокса549Здесь была использована формула (см. § 55, пример 8)(Ь, (с V) а) — (с, (b V ) а) = (с, b , rot а)при b i y . с i'„. а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:J J ( a , n ) d S = J J ( r u, r v,a) dudv.EfiИтак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности,натянутой на кусочно гладкий контур.
•2 . Ф о р м у л а С т о к с а д л я к у с о ч н о г л а д к о й п о в е р х н о с т и . Разрежем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кусков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулысложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничтожатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусковс противоположными ориентациями. Останется только криволинейный интеграл по краю поверхности (ЗЕ.
Сумма потоков через кускидаст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всюповерхность Е, следовательно, формула Стокса справедлива и для кусочно гладкой поверхности.3. И н в ар и ан тн ость r o t a в ор и ен ти р ов ан н ом ев к л и довомп р о с т р а н с т в е . Пусть евклидово пространство Е 3 ориентировано,т. е. множество всех некомпланарных троек векторов разбито на двакласса: “правых троек” и “левых троек” . Пусть а — непрерывно дифференцируемое поле в области G. Возьмем точку Р G G и произвольный вектор n, |n| = 1.
Проведем через Р плоскость с нормалью п,возьмем в этой плоскости окружность дСе с центром в точке Р истоль малого радиуса е , что круг, вырезаемый этой окружностью изплоскости, лежит внутри области G. Ориентируем дСе по отношению к п по правилу правого винта. Применим к Се теорему Стокса,а затем интегральную теорему о среднем.
ПолучаемJdCe(a, dr) =J J (r o ta , n) dS =( r o ta (M*), n)7re2,M* G Ce.CeВоспользовавшись непрерывностью rot а, можем написатьJ (a, dr)(rota, п )м = lim — —.(4)7TSТаким образом, проекция (ro ta ,n ) есть инвариант; она не зависитот выбора любой правой системы координат. Так как вектор п имеетпроизвольное направление, то и ro ta не зависит от выбора правойкоординатной системы.Гл. X II. Теория поля550При изменении ориентации пространства на противоположнуюнормаль к площадке и направление обхода контура дСе уже нужносогласовывать по правилу левого винта, и вместо формулы (4) мыполучим формулу со знаком минус. Таким образом, при измененииориентации пространства вектор ro ta меняет знак.4.П отенциальны е векторн ы е поля. Пусть в области G заданонепрерывное поле а(М ) = (P ( x , y , z ), Q(x,y,z), R (x,y,z)).
Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функцияU(M), что а = gradC/, т. е.ч dU(x,y,z).dU(x,y,z)P(x,y,z)={dJ-' L Q ( x , y , z ) =Lч dU(x.y.z)R( x ,y ,z ) = —Непрерывно дифференцируемое в области G поле а называетсябезвихревым, если rot а = 0 в G. Аналогично плоскому случаю, рассмотренному в теореме 1, § 51, можно доказать следующую теорему.Т е о р е м а 2. Пусть поле а( М ) непрерывно в области G С R3. Тогда следующие три условия эквивалентны:Р dx + Q dy + R d z = 0 для любой замкнутой ломаной L С G;Lб)J Р dx + Q dy + R d z не зависит от ломаной Lab, соединяюl a bщей точки А и В;в) поле а потенциально.Докажем теперь аналог теоремы 2 из § 51. Предварительно условимся называть область G поверхностно односвязной, если на любойпростой кусочно гладкий контур Г С G можно натянуть кусочногладкую поверхность S С G.
Например, пространство, из которогоудалена одна точка, — поверхностно односвязная область, но то жепространство, из которого удалена целая прямая, не является поверхностно односвязной областью.Т е о р е м а 3. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое вобласти G поле а было потенциальным, необходимо, а в случаеповерхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле былобезвихревым, т. е.
ro ta = 0.О Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть а = VU. Тогдаiro ta = rot V U =jkJL JL JLdxuxdyUydxuz= 0.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть r o t a = 0 в G. Возьмем произвольнуюзамкнутую простую ломаную L С G. Так как область поверхност-§57. Формула Стокса551но односвязна, то на эту ломаную можно натянуть кусочно гладкуюповерхность Е С G. Применяя формулу Стокса, получаемJ (a, dr) = J J (rot a, n) dS = 0.LEКак и в плоском случае, индукцией по числу звеньев ломаной теперьможно доказать, что J (a, dr) = 0 по любой ломаной L (не обязательноLпростой).
В силу теоремы 2 существует потенциал U(M ). •Как показывает следующее упражнение, условие поверхностнойодносвязности области существенно для справедливости теоремы 3.У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, что полеЛ - (иУш хЛ\ 27Г X2 + у2’ 27Г X2 + у2 ’ /явл я е м ся б езви х р евы м вобласти G, ко то р ая п о лу ч ается(Z)удален и ем изп р о с т р а н с т в а оси Oz. П о казать, что по лю бой о к р у ж н о сти (7, леж ащ ей вп лоскости , п ер п ен ди ку л яр н о й оси O z и с ц ен тр о м на оси z, выполнено равен ство J (a, dr) = и; ф 0 .сО бъ ясн и ть, почем у кф орм у л у С токса.Сн ельзя п р и м ен и тьФормула Стокса в некоторых случаях может упростить вычисление криволинейногоинтеграла.П р и м е р 1. Вычислить криволинейныйинтегралJ — J (ж2 —yz) dx + (у2 —xz) dy +Тав+ (z2 — ху) d z,взятый по отрезку винтовой линии (рис.
57.1) х = a cost, у = asin t,z = — t от точки А(а, 0,0) до точки В (а, 0, К).2тгД Дополним кривуюотрезкомдо замкнутой кривой Г.ТогдаJ(х2 — yz) dx + (у2 — xz) dy + (z2 — xy) dz = J z 2 dz = —т рBAтак как на отрезке Т'ВА выполнены равенства х = а, у = 0.Рассмотрим векторное поле а = P i + Q j + P k , Р = х 2 — yz , Q =— у2 — x z , R — z 2 — ху.Простое вычисление показывает, что ro ta = 0. В силу формулыСтоксаj Р dx + Q dy + R d z = f f (rot a, n) dS,г'гEГл. X II. Теория поля552где £ — любая кусочно гладкая поверхность, натянутая на контур Г.Таким образом,J = J (a,dr) = J (a,dr) = y .
▲ГАВГ' „У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ X II1. Н ай ти V |[ c ,г ]|, где с — п о сто ян н ы й в ек то р , r = x i + y j + zk.П усть v(x,y, z,t) и w (x ,y ,z,t) — поля ско р о стей и уск ор ен и й дви ж у щ ей ся ж и д к о ст и . П о казать, что2.w {x,y,z,t)dv= —+ (v V ) V.У к а з а н и е . Если ф у н к ц и и х = x(t), у = y(t ), г =д в и ж ен и я и н д и ви д у ал ьн о й ж и д к о й ч ас ти ц ы , тоx(t) i + y(t)j + z(t) k = v(x(t)y y{t), z(t),z(t)зад аю т законt).3 . П о казать, чтоd i v b ( r , a ) = (a , b ),d i v r ( r , a ) = 4 (r, a ),где а и b — п о сто ян н ы е в е к то р ы , г = x i + у j + zk.4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
