Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 83
Текст из файла (страница 83)
48.9. В интеграле J J f ( x , y ) d x d y перейтиу1Gк полярным координатам и расставить пределы интегрированиядвумя возможными способами.^—/ / \Yх —у * - -----/ \—о/ У37Г--А//"У .\\ \\ \// / ° \— =z = / d \// /VУ\vVД Треугольная область О ог/7 7ч —V \ \/7 7v =7 7ХЕраничена прямыми у = ж, у =1 ! !NГ М!!! ^= —х и у = 1. В полярных коорО]1динатах уравнения этих прямых7ГРис. 48.9имеют следующий вид: р = —,З7Гр = — и г sin (^ = 1. Область О можно задать при помощи неравенств11 < ^ < Т ’ ° < г < sm р//Применяя формулу (13), получаем37г/ 41 / sin (/?J J f ( x , y ) d x d y = / dpJQ0it / 4f ( r cos <p, r sin p) rdr.Чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, разобьем область О дугой окружности г = 1 на круговой сектор OCD идва криволинейных треугольника, С А Е и BED.
Каждая из этих трехГл. X. Кратные интегралы480областей будет уже элементарной относительно оси ср, и формула (14)может быть применена к этим областям. Получаем137г/4J J f ( x , y ) dx dy = J dr J f ( r cos p, r sin p) r d p +£1О7Г/4y/2arcsin 1/r+ J drJ17t/4f ( r cos p, r sin ip) r dp +V23?r/4+ J dr1J7Г—f ( r cos p, r sin ip) rdp.Aarcsin 1/rП р и м е р 5.
Найти объем тела, вырезаемого из шара ж2 + у2 ++ z2 ^ 1 цилиндром ж2 + у 2 = ж (рис. 48.10).Д Обозначим через О плоскуюобласть, являющуюся внутренностью круга ж2 + у2 ^ ж. Тело G,объем которого предлагается вычислить, есть трехмерная область,элементарная относительно оси z:УG = {(x, y, z): (х,у) е fi,—y / l — X 2 — У 2 < 2 < y / l — X 2 — У 2} .Объем области G можно выразить через двойной интеграл, применяя формулу сведения тройногоинтеграла к повторным:m(G) = J j J dx dy dz = J J dx dyGQJdz — 2J J л/ l —ж2 —у2 dx dy.- V i - x 2- y 2Q(17)Область О в полярных координатах задается неравенствами ——<< р <0 < r < cos р. Применяя для вычисления интеграла (17)формулу (13), получаем, что7 г/2COSip7 г /2ш (G) = 2 J dp J г л / 1 — г2 dr — — J— 7г / 2оcos р|( 1 —г2)3//2dp =-т г / 27г / 2• з 4>\ )7 d ^ =2тг- - - 8.= 43_/[ (л(1 - smОА§48- Формула замены переменных в кратном интеграле4815.И сп ол ь зов ан и е ц и л и н д р и ч еск и х и сф е р и ч ес к и х к оор д и н а т д л я в ы ч и с л е н и я т р о й н ы х и н т е г р а л о в .
Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz (рис. 48.11). Задавая положение проекции Р' точки Р наплоскость Оху при помощи полярных координат г, ср, можно положение точки Р задать при помощи трех чисел (г, ср,(), которыеназываются цилиндрическими координатами точки Р. Цилиндрические координатысвязаны с декартовыми координатами следующими формулами:х — г cos ср,О ^ср <27Г,у = г sin ср,г ^0,—оо <z — (,С <+ оо.(18)Геометрическое место точек пространства E xyz, для которых г = const, естьпрямой круговой цилиндр радиуса г сосью Oz. На плоскостях, параллельныхплоскости О ху, координата ( = const.
Наполуплоскостях, проходящих через ось O z,координата ср = const.Введем вспомогательное пространство Е гв котором г, ср, (являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространстве Е Г(рС множествоТ = {(г, ср, (): г ^ 0, 0 ^ ср < 27г,—оо< С<+ с ю } .(19)Отображение F : Т —у E xyz, определяемое формулами (18), является непрерывно дифференцируемым. Якобиан отображения Jp — г.Взаимная однозначность отображения и условие неравенства нулюякобиана нарушаются только на множестве А = {(г, ср, (): г = О, 0 ^^ ср < 27Г, С G Я}> образом которого при отображении (18) являетсяось Oz. Пересечение любого ограниченного множества с множеством А есть некоторое ограниченное линейное множество, и поэтомумера Жордана пересечения равна нулю.Если G С E xyz есть область, измеримая по Жордану, a g — еепрообраз при отображении (18), то справедлива формула замены переменных при отображении (18):J J J f ( x , y , z ) d x d y d z = j j j f ( r cos p, r sin p, ( )r dr dp d(.G(20)УЕсли в цилиндрических координатах область G С E xyz может бытьзадана неравенствами Z\(r,cp) < С <Ri(cp) < г < ^ ( + ) ,а < ср < (3, то, сводя интеграл (20) к повторным интегралам, полуГл.
X. Кратные интегралы482чим следующую формулу:(3 R2M Z2(ri(p)J J J /(ж , ?/, z) dx dy dz = J dtp J dr J f ( r cos ip, r sin ip, ()r d(.GaR lMZ l (r,<p)( 21 )П р и м е р 6. Найти объем области G, граница которой задана уравнением (ж2 + у2 + z 2)2 = х 2 + у2.Д В цилиндрических координатах уравнение границы области имеетвид г = г2 + С2 (рис. 48.12). Область G задается неравенствами- \ / r { 1 - г ) < < л/г (1 г)> о < г < 1, 0 < < 27Г.Применяя формулу (21), получаемс2тгi(G) =1J J j dx dy dz = J dp)J dr0G0\ATl-0Jr d( =—v / r ( l —r )1tt/2= 2tt J 2r 3/ 2(1 — r )1!2 dr = 87Г J sin3 £ cos £ sin £ cos £ dt =о07t / 2= 7r j (1 —cos 2t) sin2 2£ dt =AСферические координаты связаны с декартовыми следующимиформулами:х — г cos у? cos ф ,г^О,у = г sincos ф ,0z — г sin ф,^< 2тг.§48. Формула замены переменных в кратном интеграле483Здесь г — расстояние от начала координат О до точки P( x, y, z) ,ф — угол, который составляет луч ОР с плоскостью Оху; р — полярный угол проекции точки Р на плоскость Оху (рис.
48.13). Геометрические места точек г = const — сферы радиуса г с центром в началекоординат О; ф = const — на конусах (прямых круговых) с осью Oz;р = const — на полуплоскостях, проходящих через ось Oz (рис. 48.13).Если взять фиксированную сферу г = Го, то конусы ф = const будутпересекаться со сферой по параллелям, а полуплоскости р = const —по меридианам.Введем вспомогательное пространство E rvv, в котором г, р, фявляются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространстве E ripv областьТ = | (г, р, ф ): 0 < г < +оо, ~< I ■<. О < + < 27г|.(23)Отображение F: Т -+ E xyz, определяемое формулами (22), непрерывно дифференцируемо.
Найдем якобиан этого отображения:xrxvJ p — УгУрZpzrXvУуZy=cos p COS фsin p cos фsin ф—rs in + co s^r cos p COS ф0—r cos p sin ф—r sin + sin +гсовф= г 2 cos ф.7Г7ГЯкобиан обращается в нуль при г = 0, ф = — и ф = ——.На соответствующей части границы области Т будет нарушатьсяи взаимная однозначность отображения. Так как любая ограниченная часть плоскости имеет в E ripv жорданову меру нуль, то заменапеременных (22) допустима (см.
замечание, п. 3).Если в сферических координатах область G С Exyz может бытьзадана неравенствамиа < р < ф,фг (р) < ф 2(р),Ri (ppp) < г < Р 2(р,ф),(24)то тройной интеграл от непрерывной функции по области G послезамены переменных (22) может быть сведен к повторным интегралам. Пусть д — прообраз области G при отображении (22), тогдаобласть д в пространстве E ripv определяется неравенствами (24) и,следовательно, элементарна относительно оси г, а проекция области д на плоскость E vyj элементарна относительно оси ф. Получаемследующую формулу:JJJf(x,y,z)dxdydz =G= J J J f ( r cos p cos ф, r sin p cos ф, r sin ф)г2 cos ф dr dp dip =9Гл. X. Кратные интегралы484(3Я 2 ( (Р,'Ф)dipaIpl(cp)Jf ( r cos ip cos ip, r sin p cos ip, r sin ip)r2 cos ipdr.(25)Ri (ср,ф)П р и м е р 7. Вычислить массу шара х 2 + у 2 + z 2 ^ а2, если плотность р изменяется по закону р(г) = г.Д Масса М шара равна следующему тройному интегралу:27Г7г / 2о,J J J р ( л / х 2 + у 2 + z 2) dx dy dz = J d i p J50dip J r r 2 cos ip dr — тга4.— 7 г/2A0П р и м е р 8.
Найти объем m(G) области G, граница которой заданауравнением/ 2 +| ? / 2 +, £ 2\2(ж) = х 2 +. 2у — Z 2.Д Заметим, что сечение границы области G плоскостью х = 0 естьлемниската Бернулли {у2 + z 2) 2 = у 2 — z 2 (рис. 48.14). Область Gполучена вращением лемнискатыотносительно оси z. В сферических координатах граница области G задается уравнением г == y j cos2 ip —sin2 ip = л/ l —2 sin2 ip.Область G может быть задана неравенствамиО < (^ < 27г,О< г <1 — 2 sin2 ip.Применяя формулу (25), получаем выражение для m (G ):27Гтт/4m (G) = J dip J0dip— 7г / 4д / 1 - 2 s in 2 'ФJr 2 cos ip dr =07Г/ 4= | L | cos ^(1 —2 sin2 ip)3/ 2dip = ^1/ У 2J ( l - 2 t 2p 2dt =, 77/247Г/*4 77Г2— — cos udu — ——.Зл/2 У4л/2A6.К р и в о л и н е й н ы е к о о р д и н а т ы .
Пусть F : u; —>• О есть непрерывно дифференцируемое отображение области и Сна область G С Дсу, удовлетворяющее условиям а)-в), п. 1. Аналитическиотображение задается при помощи пары функцийх = р(и, v),у — ip(u, v ),(и, v) е ио.( 26 )§48- Формула замены переменных в кратном интеграле485Предположим для простоты, что область ш выпукла, т. е.
вместе слюбыми двумя точками А, В она содержит отрезок АВ. Тогда произвольная прямая в плоскости E uv или целиком лежит в области со, илипересекается с областью по отрезку или лучу. Положение каждой точки области и может быть задано как пересечение двух координатныхпрямых и = щ и v = vo. Эти прямые либо целиком лежат в области со, либо пересекают и по некоторым отрезкам или лучам. Предположим для определенности, что пересечения есть отрезки А В и CD(рис.
48.15). Образы этих отрезков при отображении (26) называюткоординатными линиями и = щ и v = Vo.Уравнение координатной линии и = и о, например, имеет следующий вид:x = <p(u0,v),у = 'ф(и0,у),v0 - а ^ v ^ v0 + /3.Если щ пробегает все допустимые в области из значения, то вобласти О получается семейство координатных линий и = const. Аналогично получается семейство координатных линий v = const. В силувзаимной однозначности отображения положение точки (ж, у) Е П однозначно определяется как пересечение координатных линий и = щи v = Vo.
Например, при переходе к полярным координатам положение точки определяется как пересечение окружности г = го и лучаЧ> = Фо-Если область G С П может быть в криволинейных координатахзадана неравенствамиа < и < 5,а (и) < v < /3(и),где а (и) и /3(и) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, то ее прообраз g = F ~ XG — элементарная область, и после замены переменныхдвойной интеграл сводится к повторному интегралу:Ъ(3(и)J J f(x,y)dxdy = j d u JGaa(u)f(ip(u,v),il>(u,v))\J(u,v)\dv.Гл. X . Кратные интегралы486Аналогично можно ввести криволинейные координаты и в пространственной области П С E xyz.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
