Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(22)Так как Sn+P(x) —S n(x) = un+i(x) + ... + un+p(x), то условие (22)равносильно условию (21). •Если условие (21) не выполняется, т. е.п+рЗ е0 > 0: Vm G N З п Д г п З р £ N 3 х £ Е:^2u k(x) > е 0,(23)к = п -\- 1то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Е. Вчастности, еслиЗ е о > 0 3 no € N: Уп Д п0 З х п £ Е: \ип(хп)\ Д е0,(24)то ряд (14) не является равномерно сходящимся на множестве Е.ООП р и м е р 8.
Доказать, что ряд ^ ^ « „(ж ) не является равномерно71=1сходящимся на множестве Е, если:а) «„(ж) = — е- ”2/®, Е = ( 0 ,+оо);пб) «„(ж) =tg у/ ±, Е=( 0, 1У,1 + п?х‘S1I1 пхв) «„(ж) =Е = [ 0,2тг], 0 < а ^ 1.пА а) Пусть х п = п2; тогда ип(хп) = е 1, т. е. выполняется условие (24).§ 4 2 . Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов417б) Возьмем х п = — и воспользуемся тем, что tg аг > х при 0 < х < ^(§ 12, (3)).
Тогда ип(хп) = ^ tg —> i при всех п £ N , т. е. выполняется условие (24).в) Возьмем х„ = -г ——г! тогда х„ £ Е при любом п £ N . Если'4(п + 1)п + 1 ^ к ^ 2те, то ^ ^^<и П0ЭТ0МУ sinsin ^ =1= — , откуда следует, чтоV22пEfc=n+lsin кхп^12пл/ 2 ^ка2п1 ^ 1^fc=n+lл/2 ^1fc=ra+l1к >1 _J 2 fl 2п12 л /2 ’так как 0 < а ^ 1. Следовательно, выполняется условие (23), и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве [0,2тт] приa £ (0,1]. ▲4.Признаки равномерной сходимости функциональныхрядов.а) Признак Вейерштрасса.Т е о р е м а 4. Если для функционального ряда (14) можно указатьООтакой сходящийся числовой рядап, что для всех п ^ щ и для всехп=1х £ Е выполняется условие\ип(х)\ ^ ап,(25)то ряд (14) сходитсяабсолютно и равномерно на множестве Е.О Согласно условию (25) для любого п ^ щ , любого р £ N и для каждого х £ Е выполняется неравенствоп+ р^2п+ рм *(ж)k= n+ 1^Лп+ рк + 1^а *-к= п+ 1(2 6 )к= п+ 1ооИз сходимости рядаап следует (§ 39), что для него выполняетсяп= 1условие Коши, т.
е.п+ рVe > 0 3 N e : Vn > N e Vp G N^ak < e,(27)k= n+ 1а из (26)и (27) следует, что для ряда (14)выполняется на множестве Е условие Коши (21), и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве Е.Абсолютная сходимость ряда (14) для каждого х £ Е следует изправого неравенства (26). •Гл. I X . Ф ункциональны е ряды418ооС л е д с т в и е . Если сходится ряд 2 _ .ап-, где ап = sup |мп(ж)|, топ —1х€Еряд (14) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.ООП р и м е р 9.
Доказать, что ряд ^ ^ и п(х) сходится равномерно намножестве Е, если:”=1а) ип(х) = In ( l + —у ^ = = ) , £ '= [0 ,3 ];пуп + 1/\б) ип(х) =J™ , arctg - , £ = [ - 1 ,1 ] ;п- + Xте. 1sin — cos пхв) ип(х) =Д,, , £ = [1 ,+ о о ) ;4 + In ( п + 1)хг) ип(х) = х 2е~пх, £ = ( 0 , +оо).А а) Так как при t ^ 0 справедливо неравенство ln(l + 1) ^ t (§ 17,х3пример 1, а)), то |«„(ж)| ^^ —г при всех х £ [0,3], и из схотеуте + 1ООдимости рядаоорядате3/2^—у- по теореме 4 следует равномерная сходимостьпЗ/2п= 1Е ип(х)1П на множестве [0,3].71=1б) Используя неравенство | arctg 11 У t для всех t £ R (§ 17, (19))и учитывая, что |ж| ^ 1 и те2 + х 2.те2, получаем |«„(ж)| У\пх\«С1У — , откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [—1 , 1 ].в) Так как | sin ^ Щ и | cos£| ^ 1 для всех t£ R, а х ^ 1, то |«„(ж)| ^ООУ5---------- у ----- 5те* 1п~(п + 1)*---- 5----------сле.
Из сходимости рядаn k r f n + l)------------------------------------ п \ п ~ ( п 1 )71=1ООдует равномерная сходимость ряда ^ ^ и п(х) на множестве[1 ,+ о о ).71=1г) На промежутке (0, + о о ) уравнение и'п(х) = хеХпх(2 —пх) = 02имеет единственный корень х = х п = —, причем и'п(х) >П0 при х £4 _9£ (0,ж п) и и'п(х) < 0 при х > х п. Поэтому sup \ип(х)\ = ип(хп) = — е ",■хеЕп~°°Л4 -2 следует равномерная сходимость ря—еЕп=1ООда ^ « „ 1т( гж ) на множестве (0, +оо). ▲тг= 1§ 4 2 . Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядовб) Признак Дирихле.Т е о р е м а 5. Ряд419оо^ a k{x)bk {x)(28)k=iсходится равномерно на множестве Е, если выполняются условия:Па) последовательность {.Вп(ж)}, где В п(х) = ^^Ь Д ж ), равномерно7-т т.
е.£=1ограничена на множестве Ь,ЗА / > 0: Уж G Е Vn G N -> |В„(ж)| ^ М;(29)б) последовательность {а„(ж)} монотонна на множестве Е, т. е.Ух £ Е Уп £ N —i ап+г(х) ^ ап(ж),(30)и равномерно стремится к нулю, т. е.ап(ж) =4 0,ж £ Е.(31)О Воспользуемся оценкойп+ рЕа к{х)Ьк {х)^ 2М (|ап+1(ж)| + |ап+р(ж)|),(32)k= n+ 1полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов (§ 41).Условие (31) означает, чтоVe > 0 3 N e : Ук 2> Ne Ух £ Е ^ \ак(х)\ < - щ .(33)Из (29), (32) и (33) следует, что для всех п ^ N e, для всех р £ N ип+ рдля всех ж £ Е выполняется неравенство^2а к( х) Ьк (х)< е, и вк = п -\-1силу критерия Коши (теорема 3) ряд (28) сходится равномерно намножестве Е.
•П р и м е р 10. Доказать, что при а > 0 рядСЮsin пхп=1сходится равномерно на множестве Е = [6,2тт —5], где 0 < 5 < 2п ^—6 < 2п.А Если а > 1, то по признаку Вейерштрасса ряд (34) сходится абсоСЮлютно и равномерно на R, так как | вшж| ^ 1, а рядСХОДИТСЯ.— , где а > 1,п=1Гл. I X . Ф ункциональны е ряды420Пусть 0 < а < 1. Тогда последовательность {ап}, где ап = — , удовпаплетворяет условиям (30), (31). Полагая В п(х) =Iнеравенство \Вп(х)\ фsin кх и используякsin-х.= 1, справедливое при х ф пт, то £ Z (§ 41,2пример 2), получаем \Вп(х) ф —3__ для Всех х £ Е.
По теореме 5sin 2ряд (34) сходится равномерно на множестве Е.Заметим, что на множестве [0,2я] ряд (34) при а £ (0,1] сходитсянеравномерно (пример 8, в)). ▲в) Признак Абеля.Т е о р е м а 6. Ряд (28) сходится равномерно на множестве Е, есливыполняются условия:а) ряд]ГЬ„(ж )(35)п= 1сходится равномерно на множестве Е;б) последовательность {а„(ж)} монотонна на множестве Е, т.
е.Уп £NУх £ Е -х ап+1 (ж) ^ ап(х),(36)и равномерно ограничена, т. е.З М > 0: Уп £NУ х£ Е ^ \ап(х)\ ф М.(37)n+jО Обозначим B j'1'1(х) = ЕЬу(х). Тогда ряд (35) в силу теоремы 3к= п-\- 1удовлетворяет условию Коши, т. е.Ve > 0 3 N e : Уп ф N e VjG N-> \ B(f ](ж)| < J L .(38)Используя преобразование Абеля (§ 41), преобразуем сумму:п+ ра=Ек= п-\- 1рa k(x ) h ( x ) = Еа п + Д ж) ьп + Д ж)-j=1Так как bn+j(x) = B jn\ x ) — В ^ г(х), где j = 1,р, Вд”^(ж) = 0, тор -1а = y ^ ( a n+j(x) - an+j+1(x))B^n] (х) + ап+р(х)В (рп) (х),i=i§ 4 2 . Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов421откуда, используя условия (36)-(38), получаемp-1M <Е 1 (а »+1(ж) —а п+4+1(ж)) + g j^la n+p(a')l =i=i= 3M (0n+1 ^_ an+p(x) + 1а »+р(ж)|) sj - ^ ( 2 \ a n+p(x)| + \an+\ (ж)| sj e.Таким образом,п+рVe > О 3 N e : Vn > N e Ур G N Ух G E^ 2 ак{х)Ьк{х) <£,fc=n+1и по теореме 3 ряд (28) сходится равномерно на множестве Е.
•5.Свойства равномерно сходящ ихся функциональныхпоследовательностей и рядов.а) Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.Т е о р е м а 7. Если все члены ряда (14) — непрерывные на отрезке[а, Ь] функции, а ряд (14) сходится равномерно на [а,Ь], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [а,Ь].О Пусть Хо — произвольная точка отрезка [а, Ь]. Для определенностибудем считать, что Xq £ (а,Ь).Нужно доказать, что функцияСЮS ( x ) = У ^ и п(х)ТЪ—непрерывна в точкеxq,1т.
е.Ve > 0 3 6 = 6(e) > 0 : Ух G Ug(xо) -+ ^(ж ) —^(жо)! < е,где Us(x0) = (ж0 - 6,х0 + 6) С [а,Ь].По условию S n(ж)S( ж), ж £ [а, Ь], где ФДж) =ПЕ Wife(ж), т. е.kVe >(39)= 10 3 iVe : Vn > N e Ух £ [а, Ь] -> |5(ж) - S n(x)\ <(40)Фиксируем номер щ г? Ne. Тогда из (40) прип = щ получаем\S(x) - S no (ж)| < §(41)и, в частности, при х = Xq находим^(жо) - S no (ж0)| <(42)Функция Sno (ж) непрерывна в точке Xq как сумма конечного числанепрерывных функций «Дж), к = 1,щ- По определению непрерывностиVe > 0 3 5 = 6(e) > 0: Vж G Us (xq) С [а, Ь] —¥ IS1,,,, (ж) —S no (жц)| <(43)Гл. I X . Ф ункциональны е ряды422Воспользуемся равенствомS(x) —S( x о) =— (S(x)Sno(x)) + (Sno(x)S no(xo)) + (Sno(xo)S { xq)).Из этого равенства, используя оценки (41)-(43), получаем\S(x) —^(жо)! ^^ \S(x) - Sno(x)\ + |Sno(x) - ^ „ „ ( ж о ) ! + \Sno(x0) ^ S { x q ) I < eдля любого x £ U s ( x q ) С [a,b], т.
e. справедливо утверждение (39).Так как Xq — произвольная точка отрезка [а,Ь], то функция S(x)непрерывна на отрезке [а,Ь]. •З а м е ч а н и е 1. Согласно теорем е 7ООООlim уx—¥xq 'и„(х) = уп=1lim и„(х),п=1х-лх§т. е. при условиях теоремы 7 возможен почленный предельный переход.Т е о р е м а 8. Если последовательность {^„(ж)} непрерывных наотрезке [а, Ь] функций равномерно сходится на [а, Ь], то ее предельнаяфункция S (х) также непрерывна на отрезке [а, Ь].Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7.
•б) Почленное интегрирование функционального ряда.Т е о р е м а 9. Если все члены ряда (14) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, а ряд (14) сходится равномерно на [а,Ь], то рядОООX2 2 J u n(t) dt(44)п= 1 атакже равномерно сходится на [а, Ь], и еслиООS(x) =и»(ж),П=1ОО Xj S { t ) dt = ’'2 2 j un{t) dt, x £ [a,b\,a(45)(46)n= 1aт. e. ряд (45) можно почленно интегрировать.По условию ряд (45) сходится равномерно к S(x) на отрезке [а,Ь],Пт.
6. S n{x) —ир(х)S(x), х £ [a,b}. Это означает, чтоОЕk=1Ve > 0 3 N e : Vn > N e Ш £ [а, Ь] -> \S(t) - S n(t)\ <Xп(47)XПусть <т(ж) = j S ( t ) d t , а ап(ж) = 2 2 J uk(t)dt — п-я частичная сумак= 1 а§ 4 2 . Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов423ма ряда (44).Функции ик(х), к G Л/, по условию непрерывны на отрезке [а,Ь], ипоэтому они интегрируемы на [а,Ь]. Функция S(x) также интегрируема на [а,Ь], так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7).Используя свойства интеграла, получаемXпXст„(ж) = J ^ 2 u k( t ) d t = j S n(i) dt.ak= 1aСледовательно,Xa ( x ) - a n(x) = J ( S ( t ) - S n(t)) dt,aоткуда в силу условия (47) получаемX|а{х) - ап(х)| <£СdtЪ —a J£о —а= ------(х - а) ^ е,апричем это неравенство выполняется для всех ri ^ Ne и для всех х GG [а,Ь]. Это означает, что ряд (44) сходится равномерно на отрезке[а,Ь], и выполняется равенство (46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
