Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Н еобходимое условие сходим ости ряда. Если ряд (2) сходится, тоlim а„ = 0.(9)П —¥ ООО Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел S последовательности {S',,}, где S n — те-я частичная сумма ряда (формула ( 1 )). Тогда lim S n = S и lim S n- 1 = S, откуда следует, чтоп —to oп —>ооSn —S n- 1 = ап -А 0 при те -А оо.
•§ 3 9 . О пределение и свойст ва сходящ ихся рядов385Таким образом, соотношение (9) выражает необходимое условиесходимости ряда.QO^П р и м е р 4. Доказать, что ряд >расходится.П= 11 1П 11А Так как —= > — при к = 1 , 2 , те, то Sn = > —= > п ~^= = у/п,Vkл/п^ VfcV«СЮоткуда следует, что Sn -А+оопри п —^ о о , т. е. ряд—= расхоп= 1дится. ▲З а м е ч а н и е 1. Условие (9) не является достаточным для сходимостиряда (2): ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию (9), норасходится.П р и м е р 5. Доказать, что рядСЮЕ sin па,гдеа/пт(то € Z),(10)оо.(1 1 )п= 1расходится.А Докажем, чтоsin па:7^-0 при п—¥Предположим, что sin п а —^ 0 при riоо.
Тогда sin(n + 1)а —^ 0 прип —¥ о о , т. е. sin п а cos а + cos п а sin а0 , откуда следует, чтоcos па —¥ 0 при п —¥ о о , так как sin а / 0. Итак, если sin п а —¥ 0, тоcos п а —¥ 0 при п —¥ о о , что невозможно, так как sin2 па + cos2 па = 1 .Таким образом, для ряда (10) должно выполняться условие (11),и поэтому ряд ( 10 ) расходится. ▲3. Свойства сходящ ихся рядов.С в о й с т в о 1. Если ряды (2) иСЮЕ ь»(12)п= 1сходятся, а их суммы равны соответственно S и а, то при любыхА, и € R сходится ряд''СЮ^ ( (Аа,п ~Ь pbn),(13)п= 1а его сумма равнат = AS + цст.(14)ОПустьS n, (тп и т п — n-е частичные суммы рядов (2), (12) и (13)соответственно. Тогда т п = AS n + цап.
Так как S n-б S и ап ^ апри riоо, то последовательность { т п } имеет конечный предел, т. е.ряд (13) сходится, и справедливо равенство (14). •Гл. VIII. Числовые ряды386С в о й с т в о 2. Если сходится ряд (2), то при каждом т £ N сходится рядооOn,Е(1 5 )п= т + 1который называют т -м остатком ряда (2). Обратно: если при фиксированном т ряд (15) сходится, то и ряд (2) также сходится.О Пусть Sn = а\ + ...
+ ап и <т^ = am+i + ... + ат+и — соответственно те-я частичная сумма ряда (2 ) и к-я частичнаясумма ряда (15). ТогдаS n = Sm + ojm), гдеп = т + к .(16)Если ряд (2) сходится, то последовательность {S',,} имеет конечный предел при те —1 о о , и поэтому из равенства (16) следует, что последовательность {<7jTO')}, где тег фиксировано, имеет конечный пределпри к - б - о о , т. е. ряд (15) сходится.Обратно: если тег фиксировано и существует конечный limто существует конечный lim Sn.
•к —¥ ооЗ а м е ч а н и е 2. Согласно св о й с тв у 2 отбр асы ван и е конечного числачленов р яд а или добавление конечного чи сла членов к дан н о м у р я д у невл и я ет на его сходи м ость.С в о й с т в о 3. Если ряд (2) сходится, то и рядооЕ^(17)1=1полученный группировкой членов ряда (2 ) без изменения порядка ихрасположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (2 ).О Пусть bi = Ol + 02 + ... + ttfci ) ^2 = Ctfci+ 1 T ®fci+2 + ... + (lp2 ,..., bj =+ ...
+ о ь , где j € N, {kj} — строго возрастающаяПпоследовательность натуральных чисел. Обозначим Sn =ар,™k=1ат = 2 , bj; тогда ат = Spm. Так как {ат} — подпоследовательность1=1сходящейся последовательности S \ , S 2 ,---, то существует lim ат =т —>оо= S, где S — сумма ряда (2 ). •У п р а ж н е н и е . П о казать, что у тв е р ж д ен и е , обратн ое к св о й с тв у 2,неверно: и з сх о ди м о сти р яд а (17) не сл ед у ет сх о ди м о сть р я д а (2).4. Критерий Коши сходимости ряда.Т е о р е м а . Для сходимости ряда (2) необходимо и достаточно,чтобыVe!> О3 1 \V :V/г 'Д.N 6 ,Vp £ N—у-ЬТ . .. Т и ? г+ р | V(1 $ )§40. Ряды с нео т рицат ельны м и членам и387О Так как а п+1 + а п+2 + ...
+ ап+р = S n+P - S n, где S n — n-я частичная сумма ряда (2 ), то условие (18) означает, что последовательность {S',,} является фундаментальной (§ 8 ). В силу критерия Кошидля последовательности (§ 8 ) условие (18) равносильно существованию конечного предела последовательности {S',,}, т. е. равносильносходимости ряда (2 ). •З а м е ч а н и е 3. Если условие (18) не выполняется, т. е.3eo>0: Vfc € N 3п ^ к Эр € N : \ап+1 + ••• + ап+Р\ ^ ео,то ряд (2) расходится.Пример(19)6 . Доказать, что гармонический ряд1ООТП.)<2 0 >п= 1расходится.А Для любого к £Nвозьмем п = к. р = к.
Тогда'ар = ------- 1- ...к+ 1к= п+ 1... + — > — к = - = ео, и в силу условия (19) ряд (20) расходится. ▲ZkZkZ5.Ряды с комплексными членами. Последовательность комплексных чисел {zn} называют сходящейся, если существует такоекомплексное число z, чтоlim |zn —г| = 0 ,п —>оогде \z\ — модуль комплексного числа г (§ 31). В этом случае пишутlim z n = z или z n —1 z при n —¥ oo.n—tooЕсли zn = x n + iyn, z = x + iy, то условие z n —1 z при n —1 oo эквивалентно выполнению условий x n —¥ x и yn —1 у при n —¥ oo.Ряд с комплексными членамиTI(21)znп= 1называют сходящимся, если существуетПlimгр = S,±СчГ>-г ^пП.——>00к= 1 оогде S € С. В этом случае пишутназывают суммой ряда (2 1 ).zn = S, а комплексное число S”=1Уп р а жн е н и е 2.
Показать, что ряд (21), где zn = хп + iyn, сходится кООсумме S = a + ib тогда и только тогда, когда сходятся рядыпричем суммы этих рядов равны а и Ь соответственно.ООх„ ип=1?г=1Гл. VIII. Числовые ряды388§ 40. Ряды с неотрицательными членами1. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами.Т е о р е м а 1. Если члены ряда0077,-1неотрицательны, т. е.Vn € W -з а„ > 0,(2)то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобыпоследовательность его частичных сумм {S^} была ограничена сверху, т. е.ПЗМ > 0: Vn G N -> S n = £ Ofc М.(3)k= 1О Заметим, что {S',,} — возрастающая последовательность, так какS n — S n- 1 = ап 0 при п ^ 2 в силу условия (2 ).Если ряд (1) с неотрицательными членами сходится, т.
е. существует конечный lim Sn = S, то согласно теореме о пределе возрастап —to oющей последовательностиVn € А/ —у S n V S,т. е. выполняется условие (3).Обратно, если ряд (1) с неотрицательными членами удовлетворяет условию (3), то возрастающая последовательность {S',,} ограничена сверху. Следовательно, она имеет конечный предел, т. е.
ряд (1)сходится. •2. Интегральный признак сходимости ряда.Т е о р е м а 2. Если функция / неотрицательна и убывает на промежутке [1 ,+og), то рядОО£ / ( * )(Тк=1и интегралг+ ооJ = J f ( x ) dx(5)1либо оба сходятся, либо оба расходятся.пООбозначим А*, =[к,к +1], гдек € N,и пусть S n = £ / ( * ) •к =1Так как / — убывающая при х > 1 функция, то она интегрируемана каждом изотрезков А*, и для всех х € А*,удовлетворяет условию§40.
Ряды с нео т рицат ельны м и членам и389f ( k + 1 ) ^ f ( x) ^ f (k), откуда в силу свойств интеграла получаемк+ 1f(k+ I K / f(x)dx^f(k).(6 )кПолагая в (6 ) к = 1, 2,..., п и складывая соответствующие неравенства,находимititу1П н&+1J 2 f(k+ i)к=1jк=1 кf ( x ) dx ^к=1илиП+1Sn+1 - f W ^f ( x ) d x ^ S n.lа) Пусть сходится интеграл (5), т. е.
существует конечныйJ(7)Сlim£-> + 00 Jf ( x ) d x = J.1Так как / — неотрицательная функция, то по теореме 1 из § 38 дляСвсех £ € [1 ,+оо) выполняется неравенство J f ( x ) d x ^ J , и поэтомуп +1V n€ 1V-+1f ( x ) dx «С J.j(8 )lИз (7) и (8 ) следует, чтоVn € N -+ S n+i sC /(1 ) + J,т. e. последовательность частичных сумм ряда (4) с неотрицательными членами ограничена сверху.
По теореме 1 ряд (4) сходится.б) Обратно: если ряд (4) с неотрицательными членами сходится, аего сумма равна S, тоVnGN -> S n «С S.Из (7) и (9) следует, то(9)п +1N -+ J f ( x) dx «С S.( 10 )iДля любого £ ^ 1 выберем п € N таким, чтобы выполнялось условиеп+1£. Тогда из неравенства (10) и условия f ( x ) ^ 0 при х ^ 1следует, чтоVnGп +1Сjf ( x) dx ^jf ( x) dx ^ S,llи поэтому (теорема 1 из § 38) интеграл (5) сходится.Гл. VIII. Числовые ряды390Если интеграл (5) расходится, то ряд (4) должен расходиться, таккак в случае сходимости ряда (4) сходился бы по доказанному вышеи интеграл (5).
Аналогично, из расходимости ряда (4) следует расходимость интеграла (5). •СЮЕ1— сходитсяпаУ п р а ж н е н и е 1. И спользуя т е о р е м у 2 и п рим ер 11 и з § 38, п о казать,что р яд^сход и тся при а. > 1 (/3 л ю бое), а т а к ж е при а.
= 1 , если /3 > 1 , и р асхо ди тсяпри д р у ги х зн ач ен и я х а и /3.3. Признак сравнения.Т е о р е м а 3. Если для всех ri € N выполняется условие0то из сходимости рядайпЬП1( 11)ОО( 12 )П=1следует сходимость ряда ( 1 ), а из расходимости ряда ( 1 ) следует расходимость ряда ( 1 2 ).О Из сходимости ряда (12) с неотрицательными членами (условие ( 1 1 )) по теореме 1 следует ограниченность сверху последовательности его частичных сумм, т. е.пЭМ: Vn G N«С М,к=1откуда, используя условие ( 1 1 ), получаемПпдля всехk=ik=iп € N.§40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
