Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Поэтомуi-g ПРИ х Ф x 0 i и по теореме 2 из расходимости интегралаГл. VII. Определенный интеграл372J — dx, где 6 > 0 , следует расходимость интеграла от / на промехожутке [ ж о , + о о ) , откуда заключаем, что интеграл J расходится.Итак, интеграл расходится, если а < 1.Таким образом, интеграл (26) сходится при а > 1 ((3 любое) ипри а = 1 , если (3 > 1 , и расходится при других значениях а и (3. кУп р а жн е н и е 3.
Показать, что несобственный интеграл1/2dx/ : Ха \ \пх\до1 1сходится при а. < 1 (/3 любое) и при а. = 1 , если (3 > 1 , и расходится придругих значениях а и /3.П р и м е р 12. Исследовать на сходимость интеграл+0О ,Г in ( e-X)хаJоInfe^ —xlА Подынтегральная функция f ( x) = —-—-— - неотрицательна прих > 0 , так как ех > 1 + х при х > 0 , и непрерывна на промежутке (0, +оо).
Интеграл J сходится тогда и только тогда, когда сходятся1+ооинтегралы Ji = J f ( x ) dx и J 2 = J f ( x ) dx.1оа) Исследуем поведение функции при х -+ +0.2Так как ех = 1 + ж + — + о(ж2) при х —¥ 0, 1п(1 + £ ) = £ + о(£) при(X2\X2t —У 0 , то 1п(ех —ж) = In ( 1 + — + o(x^)J = — + о(х"), и поэтомуf ( x ) ~ g о -2 ПРИ ж ^ 0. Следовательно, интеграл Ji сходится тогда и только тогда, когда а —2 < 1 , т. е. при а < 3.б) Пусть х —¥ +оо.
Тогда ёх — х = ех (1 —х е ^ х) = ех (1 + о(1)), откуда \п(ех —х) = х + 1п (1 + о( 1 )) = х + о( 1 ) при х -+ +оо, f ( x) ~+ оопри х -+ +оо. Так как интегралJ11ха1сходится при (3 > 1 и расхохрдится при (3 ^ 1 , то интеграл J 2 сходится тогда и только тогда, когдаа —1 > 1, т. е. при а > 2. Таким образом, интеграл J сходится в томи только том случае, когда выполняются условия а < 3 и а > 2 , т. е.при 2 < а < 3. ▲§38.
Н есобст венные инт егралы373П р и м е р 13. Исследовать на сходимость интегралН = 7 Щ £ ± С 1 Х.JQу / х + ^/хА Подынтегральная функция /(ж) положительна и непрерывна наинтервале (0,1). Интеграл J сходится тогда и только тогда, когдасходятся интегралы от /(ж) по промежуткам (0,1) и (1,+оо).
Обозначим эти интегралы Ji и J 2 соответственно.а) Если х -+ +0, то у/ х + Уж = у / / х ( 1 + у/х) = Уж(1 + Уж)4/2 ~~ у/х. Учитывая, что ln(l + t) ~ t при t —¥ 0, 1п(1 + и) ~ lnu при« -+ +оо, получаем следующие асимптотические формулы для /(ж)при х —¥ + 0 :Жа - 1 /4при а > О,ж- 1 /4 In 2при а = О,{аж - 1 /4 In жпри а < 0 .Используя результат упр. 3, получаем: интеграл Ji сходится при всехзначениях а._________________б) Если Ж -+ + 00, ТО у / X + л / х = у / х ( 1 + Ж- 1 / 2 ) ~ Уж, и поэтому1 / 2 1пж{ аж_ж^4/ 2 1п 2при а > О,при а = О,жа - 1 /2при а < 0 .Отсюда следует, что интеграл J 2 сходится, если i —а > 1, т.
е. приа < —i . Таким образом, интеграл J сходится при а <дится при прочих значениях а. Аи расхо4.Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Будем рассматривать несобственные интегралы того же вида,что и в пп. 2 , 3.Т е о р е м а 3. Для сходимости несобственного интегралаьJ = J /(ж) dxаVe > 0 и 3<Lе (а,Ъ): V£',£"(6е,Ь) -+ж) Дг Коши< е.необходимодостаточно,чтобыGвыполнялосьусловиеО(27)ОбозначимF(0=f(x)dx,a^(,<b.( 28 )Гл. VII. Определенный интеграл374Тогда сходимость интеграла J означает существование конечногопредела функции F(£) при £ —1 Ъ—0, а этот предел, согласно критерию Коши для функций (§ 10), существует в том и только том случае,когда функция F удовлетворяет условиюVe > 0 3 4 G (а, Ь): V£',£" G (Se,b) -Г |F(£") - F(£')| < е.Из формулы (28) в силу свойств интеграла следует, что(29)С"F ( C ) - F(C) = J f ( x ) dx.eПоэтому условие (29), являясь необходимым и достаточным для сходимости интеграла J , выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (27), если взять 5е = 5е.
•З а м е ч а н и е 5. Если условие Коши (27) не выполняется, т. е.3 ео > 0 : V5 € (а, Ъ) 3€( *, Ь) :/ / ( * ) dx4ео,(3 0 )ьто интеграл j f ( x ) dx расходится.аП р и м е р 14. Исследовать на сходимость интеграл+оо ../(„)=/ s e e , ь.,(31)■ 2a o ^ l 1л з -nт1„ . s mА а) Если а > 1, то интеграл J сходится, так как 0 4 — — 4 — ■б) Докажем, что при а 4 1 интеграл расходится.
Достаточно показать, что для этого интеграла выполняется условие (30). Для S > 1выберем число п € N таким, чтобы выполнялось неравенство пп > S,и возьмем = пп, ££' = 2 пп, тогдас"^8 927ГП927ГП9Г sm - х 7f smsin-- хX , 7 .f smsin-- хX 7 .ах =ах >ах >Jс!ьSхаJ7ГПхаJ7Гп1X2 тг пГ11——COSCOS2х2х77114 д—----------д----- их = — пп — — — £0.2пп J247гп4ттпТаким образом, условие (30) выполняется, и поэтому при а 4 1 интеграл (31) расходится. ▲З а м е ч а н и е 6 .
Т ак как | sin ат| 4 sin2*, то по теореме сравнения из+00расходимости интеграла (31) при а 4 1 следует, что интеграл jрасходится при в ^ 1 .| sin *|dx§38. Н есобст венные инт егралы3755. Абсолютно и условно сходящ иеся интегралы. НесобстЬвенный интеграл J =d x называется:Ьа) абсолю т но сходящ им ся, если сходится интеграл J = J \ f ( x ) \ d x ;ав этом случае говорят, что функция / абсолю т но и н т егр и р уем а напромежутке [а, Ь);б) условно сходящ им ся, если интеграл J сходится, а интеграл Jрасходится.Т е о р е м а 4. Е с ли несоб ст вен ны й и н т егр а л J сходит ся, т о и н т еграл J т акж е сходит ся и вы п о л н я е т ся неравенст воUJf(x)dxU4(32)j\f(x)\dx.О Из сходимости интеграла J по теореме 3 (необходимое условие)следует, что для него выполняется условие Коши (27), т.
е.Ve > 03<L е ( а , Ь): V £ ' , £ " G (6e ,b)x)\dxf\m\< £.(33)По определению несобственного интеграла J функция f ( x ) интегрируема по Риману на отрезке с концамии поэтому функция|/(ж)| также интегрируема по Риману на этом отрезке. Применяяправило оценки интеграла (см. § 35, (18)), получаемж) I d xj\m\J f ( x ) dxееоткуда в силу (33) следует, что функция / удовлетворяет условиюКоши (27), и по теореме 2 (достаточное условие) сходится интеграл J.Для доказательства неравенства (32) воспользуемся неравенствомJ f ( x ) dx4J\f(x)\dx,(34)справедливым при любом £ € [а,Ь). В силу сходимости интегралов Jи J существуют пределы при £ —^ Ъ — 0 левой и правой частей (34),равные соответственно J и J.
Переходя в (34) к пределу при £ —^ Ъ—О,получаем неравенство (32). •У п р а ж н е н и е 4. П у сть н есо бствен н ы е и н тегр ал ы от ф у н к ц и й f ( x ) иу ( х ) на п р о м еж у т к е [а, Ъ) сх о д ятся. С ледует ли о тсю д а сх од и м о сть и н те грала от их п р о и зв ед ен и я на п р о м е ж у т к е [а, Ь)?Гл. VII. Определенный интеграл376П р и м е р 15. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интегралJ =■dx.(35)х/А а) Пусть а > 1.
Так как —— ^, то в силу сходимости интегра+ 00XX+СЮf dxЛ~f sinx ,ла— по теореме сравнения 2 сходится интеграл J —1—1 ах ,J1XJX1т. е. интеграл J сходится абсолютно (откуда следует сходимость самого интеграла J по теореме 4).б) Пусть 0 < а ^ 1.
Тогда, интегрируя по частям, получаем,г.f COS X ,J =a /—x —+ ax,X+ СЮi• COSX ~f COSX 7где lim -------= 0 , а интегралax абсолютносходитсяи, ележ-Ч-оо Х аJ ®a +1+СХ)1довательно, сходится. Поэтому интеграл J сходится, если а € (0,1].Так как интеграл J ' s™ dx при а € (0 , 1 ] расходится (замеча-1ние 6 ), то при а € (0 , 1 ] интеграл J сходится условно.в)Пусть а ^ 0. Докажем, что интеграл J расходится, используякритерий Коши. Для 6 > 1 выберем число п € N таким, чтобы выполнялось условие 2 ттп > 6 , и возьмем С = 2ттп + —, £'J = 2 ж п + - ж . Так6как при х €— ^X6выполняется неравенство sin ж ^ - и, кроме того,1 при х ^ 1 и а ^ 0 , то.//£§Гsin х ,J_Х ~57г/6+2тгп57г/6+2тгпГ 81ПХ , ч 1f7 7Г—jdx=^,J2J3'7г / б + 2 тгп7г / 6 + 2 тгпт.
е. выполняется условие (30), и поэтому при а ^ 0 интеграл (35)расходится.Итак, интеграл (35):а) абсолютно сходится при а > 1 ;б) условно сходится при 0 < а ^ 1 ;в) расходится при а ^ 0 . ▲З а м е ч а н и е 7. Аналогично можно показать, что интегралТООdxX/:абсолютно сходится при а > 1 , условно сходится при а Е (0, 1 ] и расходитсяпри а 0.§38. Н есобст венные инт егралы377При исследовании сходимости интегралов часто может оказатьсяполезным следующее утверждение.Т е о р е м а 5. Если функция д(х) абсолютно интегрируема на проьмежутке [а,Ъ), т.
е. несобственный интеграл J = \g(x)\dx схоьIьдится, то несобственные интегралы Ji = j /(ж) dx и= J (/(ж) +aa+ g(x))dx либо оба абсолютно сходятся, либо оба условно сходятся,либо оба расходятся.ьььООбозначим J = J g ( x ) d x , J \ = j \ f ( x ) \ d x , J 2 = J \ f ( x ) + g ( x ) \ d x .aaaа) Из неравенства | / + g\ <C |/ | + |<?| и критерия Коши (теорема 3)следует, что если интегралы Ji и J сходятся, то интеграл J 2 такжесходится.Аналогично, используя неравенство |/ | <С | /+<?| + |<?|, докажем,что из сходимости интегралов J и J 2 следует сходимость интеграла Ji.б) Пусть интеграл Ji сходится, а интеграл Ji расходится.Тогда интеграл J 2 сходится (это следует из сходимости интегралов Ji и J), а интеграл J 2 расходится, так как в противном случае изнеравенства |/ | ^ | / + д\ + |р| и сходимости интеграла J следовала бысходимость интеграла Ji.
Аналогично доказывается, что из условнойсходимости интеграла J 2 следует условная сходимость интеграла Ji.в) Из расходимости интеграла Ji следует расходимость интеграла J 2 (в противном случае из равенства f = ( f + д) —д и сходимостиинтеграла J следовала бы сходимость интеграла Ji).Аналогично из расходимости интеграла J 2 следует расходимостьинтеграла Ji. •Теорему 5 коротко можно сформулировать так: прибавление (вычитание) под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функциине влияет ни на сходимость интеграла, ни на характер сходимости(абсолютная, условная сходимость).6.
Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.Т е о р е м а 6 (признак Дирихле). Пусть функция / непрерывна, афункция д имеет непрерывную производную на промежутке [а, +оо) ивыполняются следующие условия:X1) функция F(x) = J f ( t ) d t (первообразная для / ) ограничена на[а, +оо), т. е.аЗ М > 0: Va: G [а, +оо)|ТДж)| «С М;(36)Гл. VII.
Определенный интеграл3782 ) функция д'(х) не меняет знака на промежутке [а, +оо), т. е.д'(х) «С 0(37)д'(х) > 0 ;(38)илиlim д(х) = 0.3)(39)х —> + СЮТогда интеграл+ СЮJ = J f (x)g(x) dx(40)сходится.О Покажем, что функция f g удовлетворяет на промежутке [а, +оо)условию Коши (27). Согласно формуле интегрирования по частямдля £' > а, £" > а получаемС"С"J f ( x) g(x) dx = F(x) g(x) ^ — J F(x) g'(x) dx.(41)Из условия (36) следует, что(Fg)ч^ M (b (C ')l + b(C")l)(42)чJ F(x) g'(x) dx ^ M j \ g' ( x ) \ dx(43)Заметим, что |<?'(ж)| = ^g' (x), если выполнено условие (37), и |<?'(ж)| == д'(х), если выполнено условие (38). Поэтому в первом случаеJi = J \д'(х)\ dx = —j д'(х) dx = д(£') —д(£"), а во втором случае J)1 —ее= J?(£”) ~ J?(0- Следовательно,|Л| = J\ g' ( x) \ dx = | 5 ( П - 5 ( Г ) К Ш 1 + Ш 1 -(44)Поэтому из равенства (41), используя оценки (42)-(44), получаем неравенствоj f ( x ) g ( х) dx «С 2М(\д(е)\ + \ д ( П I)еСогласно условию (39)(45)Ve > О Н5 > и : Vx £ [<L,+oo) —^ |<?(а0| <(46)§38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
