Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Поэтому (следствие из теоремы 2, § 34)1 Ргsup S ( q ) = M S ( Q ) = - j р2(ip) dp.OLЭто означает (теорема 2 ), что G — квадрируемая фигура, а ее площадь S выражается формулой (18). •П р и м е р 3. Найти площадь фигуры G, которая ограничена лемнискатойБернулли (рис. 37.5), заданной уравнениемр2 = а2 cos 2 р.Д Фигура G симметрична относительно координатных осей.
Площадь а тойчасти фигуры G, которая лежит впервом квадранте, согласно формуле (18) равна о — - la " cos Zip ар =а2= —. Поэтому искомая площадь S = 4сг = а2. А^2. Вычисление объема тела.а)Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точекпространства будем называть телом.Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в п. 1.
Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1и 2 ) будут опущены.По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числанепересекающихся параллелепипедов, т. е. тел видаМ = {(x, y, z): ai ^ х ^ Ьь а2 ^ у ^ b 2, а3 ^ z ^ Ь3},а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всейграницы) тела М .
Объемом параллелепипеда М назовем число(&i —ai)(b2 — a2)(h?J —аз), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов.Тело П будем называть кубируемым, если для любого г > 0 найдутся клеточные тела р и Р такие, чторСПсР,0 ^V(P) - V(p) < г ,Гл. V II. О пределенный инт еграл350где V(Р) и V (р) — объемы тел Р и р соответственно. Как и в п. 1, легко показать, что если тело VI кубируемо, то существует единственноечисло V (VI) такое, что неравенствоv(P) <: v(vi) ^ v(P)выполняется для любых клеточных тел р, Р , удовлетворяющих условию р С VI С Р\ при этомV(Vl) = s u pV(p) = inf V (P).Это число V(Vl) называют объемом тела V.
Рассмотрим некоторыеклассы кубируемых (имеющих объем) тел.б)Цилиндрическое тело и его объем. Пусть простой контур Г(см. § 22 ), расположенный в плоскости О ху, ограничивает плоскуюфигуру G. Рассмотрим множество VIточек пространства, которые получаются сдвигом фигуры G в направлении положительной полуоси Oz нарасстояние, не превосходящее /г, гдеh — заданное число, и назовем VI цилиндрическим телом.
Граница этоготела состоит из равных (конгруэнтных) фигур G и G\ (рис. 37.6) и части цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны осиOz. Фигуры G и G\ называют основаниями цилиндрического тела, арасстояние между плоскостями оснований — высотой этого тела.У т в е р ж д е н и е 3. Если основанием цилиндрического тела VI служит плоская квадрируемая фигура G, то тело VI кубируемо, а егообъем V(VI) равен S( G) h, где S(G) — площадь основания, h — высота тела VI. В частности, объем прямого кругового цилиндра равенV = 7rR2h, где R — радиус основания, h — высота цилиндра.О По определению плоской квадрируемой фигуры для любого г > 0существуют такие клеточные фигуры q и Q, чтоqСGСРассмотрим цилиндрические тела Vli и (]2, основаниями которых служат соответственно фигуры q и Q, а высота каждого из этих телравна h. Тела Vli и VI2 являются клеточными, а их объемы соответственно равныV ( n 1) = S(q)hи У(П2) = S(Q)h.Так как Vli С VI С П 2 , 0 ^ V(Vl2)тело, а его объем равен S(G)h.
•— V ( ^ i) < г,то VI—кубируемое§37. Прилож ения определенного инт еграла351З а м е ч а н и е 4. Из свойства аддитивности объема и утверждения 3следует, что ступенчатое тело, т. е. тело, являющееся объединением конечного числа цилиндрических тел, кубируемо, если основания цилиндрических тел квадрируемы; при этом объем ступенчатого тела равен суммеобъемов тел, из которых составлено ступенчатое тело.в) Объем тела вращения.У т в е р ж д е н и е 4. Тело, образованное вращением вокруг оси Охкриволинейной трапеции G (условие ( 12 )), где f (x) — функция, непрерывная на отрезке [а, Ь], кубируемо, а его объем V выражаетсяформулойъУ = ттJ f 2(x) dx.(19)аО Пусть Т, т^ , Mf, A xi, q, Q — те же, что и в п.
1,6). При вращении вокруг оси Ох фигур g, G, Q получаются тела вращения р, О, Ртакие, что^ „р С О С Р,причем объемы ступенчатых тел р и Р соответственно равныпV(p) = T T ^ m f Да*,пV(P) = ж^2=1М? Да*.2=1Так как У(р) и У (Р) равны соответственно нижней и верхней суммам Дарбу для функции тгр(х) при разбиении Т отрезка [а, Ь], тосогласно следствию из теоремы 2, § 34sup У (р) = inf У (Р) = 7гj / 2 (ж) dx.аСледовательно, О — кубируемое тело (по теореме, аналогичной теореме 2), а его объем выражается формулой (19). •П р и м е р 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокругоси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = sin ж,О ^ X ^ 7Г.Д7Г2По формуле (19) получаем у = тг sin2 х dx = — . Аг)Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.
Пустьтело О заключено между плоскостями, перпендикулярными оси Ох ипересекающими эту осьв точках х = а и х = Ь,где а <Ъ (рис. 37.7).Обозначим через Gxфигуру, получаемую всечении тела О плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходя352Гл. VII. Определенный интегралщей через точку ж € [а, Ь] этой оси. Будем считать, что при любом х € [а, Ь] фигура Gx квадрируема, а ее площадь <т(ж) — функция, непрерывная на отрезке [а,Ь]. Кроме того, предположим, что припроектировании на плоскость, перпендикулярную оси Ох, фигур Gaи Gfi, где а, (3 — любые точки отрезка [а,Ь], получаются фигуры,одна из которых содержится в другой.У т в е р ж д е н и е 5.
При указанных выше условиях тело Л кубируемо, а его объем V выражается формулойьV = Ja(x)dx.(20)аО Пусть Т = {xi, i = 0 ,те} — разбиение отрезка [а,Ь], тщ и М* —соответственно наименьшее и наибольшее значения функции <т(ж) наотрезке Д* = [ж*_1 ,ж,], Дж, = ж, —ж*_1 , i = 1,п. Так как <т(ж) — непрерывная функция, то существуют точки £* € Д* итакие, чтоO'(G) = mi, о-(CD = Mi, i = 1~п.Обозначим через Л* ту часть тела Л, которая заключена междуплоскостями A i-i и Ai, перпендикулярными оси Ох и проходящимисоответственно через точки ж,_1 и ж, (см.
рис. 37.7).Пусть Di и D' — цилиндрические тела высотой Дж,, построенныена сечениях G^ и G^> как на основаниях и расположенные междуплоскостями A i-i и Ai. Тогда Dj С Л* С D[, а объемы тел Dj и D'соответственно равныV(Di) = то, Дж,,V(D'i) = Mi Джj.Если р — объединение тел D i,...,D n, а Р — объединение тел D[,......,D'n, т о р с П с Р ,ППF(p) =то* Дж*, F(-P) = X !Дж*i=l*=iьТак как supF(p) = infV (P ) = J a(x)dx, то Л — кубируемое тело, aaего объем выражается формулой (20 ).
•222П р и м е р 5. Вычислить объем эллипсоидаDr + тт+ Dr= 1а1о1 с1Д Воспользуемся тем, что площадь фигуры G, получаемой всеченииэллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Oyz и отстоящей отнее на расстоянии Жо, где 0 ^ Xq ^ а, равна^(жо) = 7гЬс^1 —“§■)•(2 1 )В самом деле, граница фигуры G — эллипс, задаваемый уравнениями9у~9, Z ~9-XT)frr + — = 1 ----- ",X = х 0.§ 3 7 . Прилож ения определенного инт егралаПолуоси этого эллипса равны ЪХ и сЛ, где Л = ^ 1 —353Используяпример 1 , получаем формулу (2 1 ), а по формуле (20 ) находим искомый объем эллипсоида:ао,v = 2 J S ( x ) d x = 2жЬсJо^15— ^ -jd x = - жаЪс.оОтсюда следует, что объем шара, радиус которого равен R, выражается формулой V = -7ГR 3.
▲33. Вычисление длины дуги кривой.У т в е р ж д е н и е 6 . Е с л и кривая Г, заданная у р а в н ен и е мГ = {г = г (t), a ^ t ^ / 3 } ,(22)непрерывно дифференцируема, т о ее д лина S выражается формулойдS = j\r '(t)\d t.(23)аО В § 22 (п. 3) было доказано, что непрерывно дифференцируемаякривая Г спрямляема (имеет длину), а производная переменной длины дуги s ( t ) этой кривой выражается формулойs' (t ) = \r'(t)\.(24)Пусть S — длина всей кривой Г; тогда, используя равенство (24) иформулу Ньютона-Лейбница, получаем13!3J \ t '( t ) \ d t = J s ' ( t ) d t = s(j3) — s ( a ) = S,aaтак как s(/3) = S , a s ( a ) = 0. •Если r (t) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , то формула (23) принимает вид/зs = j V ^ ' W r + i y 'W r + i z ' i t ^ d t ,aа если Г — плоская кривая, заданная уравнениему = f(x),а ^ х О ,то ее длина выражается формулойьS = J y 'l + if'ixyfdx.аП р и м е р 6 .
Найти длину кривой у = ch ж, 0 ^ х ^ а.А Применяя формулу (26), находимааS = j \ / l + sh 2x d x = J c hx dx = sha. Aо(25)0(26)Гл. V II. О пределенный инт еграл3544.Вычисление площади поверхности вращения. Пусть/(ж) — неотрицательная и непрерывная на отрезке [а, Ь] функция,Т = {xi, i = 0,n} — разбиение отрезка [а, Ь], Lx — ломаная с вершинами Ai(xi, /(ж*)), i = 0 ,п, соединяющая последовательно точкиЛ0, T li,..., Лп (рис. 37.8), k — длина отрезка= [Ai-i,Ai] — г-гозвена ломаной Ьт. Тогдаk = л/(ж* - Жг- l )2 + (/(ж*) - f ( Xi - i ) ) 2.(27)При вращении вокруг оси Ож звенаобразуется боковая поверхность усеченного конуса (цилиндра в случае, когда /(ж*) = f ( xi - i ) ) .Площадь этой поверхности, как известно из курса элементарной геометрии, равнаPi = 7r(2/i_i + y i ) k , V k = f ( x k ), fe = l, n,откуда следует, что площадьповерхности, получаемой при вращении ломаной Ьт вокругоси Ох , равнаУп= 7гУ^(2/*_1 + Уг)/г2= 1(28)Если существуетlim(29)где Z(T) — мелкость разбиения Т, а ^ х определяется формулой (28),Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
