Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Найти с помощью интеграла lim S n, если:п—too1 Q + 2Q + ... + n Qа) s n = --------- ^ r ------->« > o;б) s n =1n+1■1n+2■21n Пk'А а) Запишем Sn в виде S n = —У ^ ( —1 и заметим, что S n — инп' \те/fe=iтегральная сумма (см. § 34, п. 1) для функции f ( x) = х а на отрезке[0,1], соответствующая разбиению Т этого отрезка на отрезки А*, =life ——,1 —к!I, к = ---1 ; в качестве= I—1 ,те, каждый из которых имеет длину —точки€ А*, берется конец отрезка А*., т. е.Так как 1(Т) == ^ —Ч0 при те —Ч оо, а функция х а непрерывна на отрезке [0 , 1 ], тосуществуетi1^lim Sn = х а dx =п —гооJа+1 о а+1б) Так как S n = —У ^п1 + к/тек=1ции ----- на отрезке [0 , 1 ], тоинтегральная сумма для функ-1/, +, ж)|^ч11 = 1п 2 .lim S n = f dxХ = ,ln(lг—>ооJ 1+ X10О▲§3 6 . И нт еграл с перем енны м верхним пределом339П р и м е р 3.
Доказать, что если функция / непрерывна на R, афункции (р и ip дифференцируемы на R, тоф( х)j / ( * ) * ) = Ф'(х)/(ф(х)) -ip'(x)f(<p(x)).(15)tp(x)А Пусть F — первообразная для функции / ; тогда по формулеНьютона-Лейбница находимф{ х )/4>(x)t=y(x)f(t ) dt = F(t)=Ft = V (x)(^ ))-% (4откуда, используя правило дифференцирования сложной функции иравенство F'(t) = f (t), получаем формулу (15). ▲б) Замена переменного.Т е о р е м а 5. Пусть функция f ( x) непрерывна на интервале ( а о , Ь о ) , а функция p(t) имеет непрерывную производную на интервале (ао, /З о ) , причем ip(t) € (ao,bo) при всех t € ( a o , ( i o ) .Тогда если a € ( a o , ( i o ) , (i € ( a o , ( i o ) , а = р ( а ) , Ъ = р(/ 3), то справедлива формула замены переменного в определенном интегралеь/3J f ( x ) d x = J f(ip(t))ip'(t)dt.(16)ааО Так как а € (ао,Ьо), Ъ € (ао,Ъо), а функция f ( x) непрерывна наинтервале (ао,Ьо), то по формуле Ньютона-Лейбница находимьJ f ( x ) d x = <f>(b)^<f>(a),(17)агдеf ( x) для всех х € ( а о , Ь о ) .Функция Ф((р(Ь)) является первообразной для функции, стоящейпод знаком интеграла в правой части формулы (16), так какФ '(ж )=-|(Ф (ip(t)) = Ф' (ip(t))(p' (t) = f(ip(t))ip'(t).Применяя к функции f(ip(t))ip'(t) формулу Ньютона-Лейбница иучитывая, что ip(a) = а, </?(/?) = Ь, получаемIзjf(tp(t))tp'(t) dt = Ф ( р Ш - Ф(р(а)) = Ф(Ъ) - Ф(о).(18)аИз равенств (17) и (18) следует формула (16).
•З а м е ч а н и е 5. При усл о ви ях те о р ем ы 5 ф орм ула (16) сп р авед ли в а к акпри а.(3; т а к и ПРИ а > /3.Ф орм ула (16) о ст а е т с я в силе и в случае, к о гд а ф у н к ц и и / и р за д аны со о тве тств ен н о на о т р е зк а х [а,Ъ] и \а, (5\, п р и ч ем м н о ж еств о зн ачен и йф ун к ц и и р со д ер ж и тся в о т р е зк е [а, Ъ], где а = р ( а ) , Ь = р(/3). В это м случае под п р о и зв о д н ы м и слож ной ф у н к ц и и Ф(р(1)) и конц ах о т р е зк а \а, /3]п он и м аю тся со о тве тств у ю щ и е одн осторон ни е п роизводны е.Гл. VII.
Определенный интеграл340IXП р и м е р 4. Вычислить J = J \ / R 2 —х 2 dx.оА Полагая х = R sin t, где 0 ^ t ^ —, получаем л/Д 2 —ж2 = R cost,dx = R c o std t. По формуле (16) находимЖ/2П2J = R 2 J cos21dt = —— . ▲оП р и м е р 5. Пусть функция / непрерывна на отрезке [—а, а]. Доказать, что:а) если / — нечетная функция, тоdx = 0 ;б) если / — четная функция, то(х) dx = 2 J f ( x) dx.Ах(19)0-а/ — н е ч е т н а я ф у н к ц и я , т.
е. f ( —x) = —f ( x ) д л я в с е ха ], т о , п о л а г а я х = —t и и с п о л ь з у я ф о р м у л у (16), п о л у ч а е ма) Е с л иG [— а,ООоаJ f ( x ) d x = - J f ( - t ) d t = J ( - f ( t )) dt = - J f ( x ) dx,-аа0оо тк у д а следует, что0aaJ f ( x ) d x = J f ( x ) d x + Jf(x)dx =—aб)Е сли/—следует равен ствоП р и м е р6.—aчетная00ф у н к ц и я , то(19). ▲дическая с периодомТaJ f ( x ) d x = J f ( x ) dx , о т к у д а0-QД о к а за т ь , ч то есл и /—0.н епр ер ы вная наф у н к ц и я , то для л ю б о гоaGRRпериосправед ливоравенствоа+ТJТf ( x ) d x = J f ( x ) dx.aА20)(2 1)И с п о л ь з у я с в о й с т в а и н т е г р а л а (§ 3 5 , п . 2 ) , з а п и ш е м р а в е н с т в оа+ТJаи(0ОТа+Тf ( x ) dx = J f ( x ) dx + J f ( x ) dx + Jаоf ( x ) dx.TП о лагая x = t + T и у ч и т ы в а я , ч то ф у н к ц и я / определена на Rf ( t + Т) = f ( t ) для всех t € R в си л у пери оди чн ости ф ун кц и и / ,§3 6 .
И нт еграл с перем енны м верхним пределомполучаема+Та341ОаJ f ( x) dx = J f ( t + Т) dt = J f ( t ) dt = - J f ( x ) dx.TO0aИз равенств (21) и (22) следует формула (20). ▲(22 )5тг/2П р и м е р 7. Вычислить J = Jsin5 х cos8 х dx.-ж /2А Так как подынтегральная функция является периодической с периодом 2п и нечетной, то, используя примеры 5 и 6 , получаем7ГJ = J sin 5 х cos8 х dx = 0. ▲в) Интегрирование по частям.Т е о р е м а 6 . Если функции и(х) и v(x) имеют на отрезке [а, Ь]непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования почастямььJ u v ' dx = (и«)|ц —J vu' dx.(23)ааО Интегрируя на отрезке [а, Ь] тождествоuv' = (uv)' —u'v,где uv' , (uv)', u'v — непрерывные функции, получаемьььJ u v ' dx = J (uv)' dx — J v u ' dx.(24)aaaПо формуле Ньютона-Лейбница находимьJ (uv)' dx = (mw)|^ = u(b)v(b) — u(a)v(a).aПоэтому равенство (24) можно записать в виде (23).
•З а м е ч а н и е 6. Учитывая, что v' dx = dv, и' dx = du, формулу (23)иногда записывают в виде6^ 6J и dv = (uv) |а —J v du.aa2Пример8 . Вычислить J = J x l n x d x .2А Применяя формулу (23), где и = lnar, v = —, получаемJ = ( + in + 2 _ [ r l d x =\ 2/ l J 2 xl21n 2 Afxdx,2Jl342Гл. V II.
О пределенный инт егралт. е.7 =21 п 2 - ^4.▲3. Простейшие дифференциальные уравнения.а) Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачу о нахождении первообразной для непрерывной на интервале (а, Ь) функцииf ( x) можно сформулировать так: найти функцию у(х), которая наинтервале (а, Ъ) является решением уравненияу'(х) = f(x).(25)Уравнение такого вида является обыкновенным дифференциальнымуравнением первого порядка. Все решения уравнения (25) можно записать в видеXу(х) = f f (t ) dt + С,(26)жогде Хо € (а,Ь), С — произвольная постоянная.Чтобы выделить единственное решение уравнения (25), достаточно задать значение функции у(х) в какой-либо точке, например в точке Хо• Если у(хо) = Уоj то из формулы (26) получаемXУ(х) =Уо +[f ( t ) dt.XQВ приложениях часто встречаются дифференциальные уравненияпервого порядка, имеющие виду'(х) = ку(х),(27)где к — постоянная.
Уравнением (27) описывается, например, законразмножения бактерий, так как скорость роста числа бактерий пропорциональна их количеству.Решениями уравнения (27) являются функции у = Секх, где С —произвольная постоянная. Можно показать [13], чтодругих решенийуравнение (27) не имеет.
Если известно, что у(хо) = уо, то С = уо, ипоэтомуу = уоек(х^ х°'1.б) Дифференциальные уравнения второго порядка. Рассмотримуравнениеу " ( х ) + и 2у(х) = 0 ,(28)где ш — некоторое положительное число. Уравнение (28) называютуравнением гармонических колебаний.Легко проверить, что функции cos и х и sin war являются решениями уравнения (28).
Отсюда следует, что функции видау = С \ c o s ш х + С 2 sin ш х ,(2 9 )§ 3 7 . Прилож ения определенного инт еграла343где Ci и Сз — произвольные постоянные, удовлетворяют уравнению (28). Можнопоказать [13], что других решений уравнение (28) неимеет.
Если известно значение функции у(х) и значение ее производной при х = Xq (начальные условия), т. е. заданы числа уо = у(хо) иУо = у' (хо), то этими условиями определяется единственное решениеуравнения (28). Например, если у(0) = 0, у'(0) = 1, то из формулы (29)находим С\ = 0, С2 = —, и поэтому у = —since*.шшОбратимся к уравнениюу ”(х) —ш2у(х) = 0,(30)где се > 0. Его решениями, как нетрудно проверить, являются функции е шх и е Г ш х , и поэтому функции видау = С1ешх + С2е - шх,(31)где Ci и С2 — произвольные постоянные, также удовлетворяют уравнению (30).Можно показать, что других решений уравнение (30) не имеет.
Если заданы числа гуо = у(х о) и у = у' (хо), то из формулы (31) найдем Ciи Сз и тем самым определим единственное решение уравнения (30).Например, если известно, что у(0) = 1, у'(0) = 0, то Ci + С2 = 1,—L0 C 2 = 0 , откуда Ci == chcc*.loC iС2= - , и поэтому у =~ ( е шх+е ^ ш х)=§ 37. Приложения определенного интеграла1. Вычисление площади плоской фигуры.а)Плоская фигура и ее площадь. Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числанепересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
