Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Неопределенный интеграл314г) Используя тождество sin2 ж + cos2 х = 1, находимfГ ssmi n *хdxГ—------------ 7---sinJхcosхcosJ, ,7--- U X += -x/Гfd(cJdxsm x cosJosx),+COSxfd(t,g x )XIJtgx1,||„= ~---- — + In tg x + C.1COSX▲П р и м е р 10. Найти интегралы от функций:а) sin х sin Зж; б) (sin2 ж + 2 sin жcos ж + 5 cos2 ж)-1 .А а) Так как sin a sin /3 = ^(cos(a —(i) —cos(a + (i)), тоJ sin ж sin Зж dx = ^ J ( cos 2 ж —cos 4ж) dx =_ sil^4a: + c.б) Разделив числитель и знаменатель на cos2 ж и полагая tg ж = t,получаемГdxJ sin2 x + 2 sinx_fУ0_dx/cos2 ж[fJ tg 2ж + 2tgcos x + 5 cos2 xx+ 51dt+ 1)= + 4,/ 1 + tg ж= 2 a rC tS (-- 2--Интеграл видаJ R ( s h x , di x ) dx,(27)где R (u,v) — рациональная функция от и и v, сводится к интегралуот рациональной дроби с помощью подстановки1так как впж =21,1 + R dx,2 dtспж == ----1 - t21 -t21 -t2Иногда более эффективными при вычислении интеграла (27) могут оказаться подстановки t = sh ж, t = ch ж, t = th ж, t = ch 2 ж илиметод интегрирования по частям.П р и м е р 1 1 .
Найти J = J сЬ 5 ж8Ь 4жс1ж.А Так как сЬ2ж = 1 + вЬ 2ж, сЬжс1ж = d(sЬж), то, полагая вЬж = t,получаемJ — I (1 + t ’O’T4 dt — — + — + — + С —= sh 5ж( - + - sh 2ж + - sh 4ж')\579/С.▲В заключение отметим, что интегралы от трансцендентных функций часто не выражаются через элементарные функции. К такимУпраж нения к главе V I315интегралам относятся, например, следующие встречающиеся вприложениях интегралы:а) J е ^ х dx — интеграл Пуассона;б) J sin х 2 dx и J cos х 2 dx — интегралы Френеля;в)\интегральный„ логарифм;f dxjчfг)Jsinх7dx — интегральный синус;хч f co sx 7д)ах — интегральный косинус.JхУ П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛА ВЕ V I1.
Д о к азать, что ф у н к ц и я / ( * ) = s ig n * не и м е е т ни одной п ервообразной на R.2 . П р и вести п рим ер разры вн ой ф у н к ц и и , им ею щ ей п ер во об р азн ую на R.3 . Н ай ти все п ервообразны е ф ун к ц и й х\х\ и е)х ^ на R.4 . П усть Р п (х) — многочлен степ ени п и а ф 0. Д о к азать ф ор м ул уJРп ( х ) е ах d x = - —a L( _ i ) 4 £ y y l + С.к =09 , ,,ег т тtaix ------------,“Н“I5.При каком условии первообразная функциигде a f U,О\ХС\.а х - + Ьх + сЬ~ ф 4ас, я в л я е т с я рациональной ф у н кц и ей ?6 .
Д о к азать, ч то для и н те гр а л а J n,m = j sin " * cos™ * dx , где n € А/,m € N, сп р авед ли ва р е к у р р е н т н а я ф орм улат_J n ,m—sin"-1 *cosTO+1 ж , n —1 j"ГJ n — 2 ,m *n + rnn + rn7. П у сть F(x) — п ер во о б р азн ая для ф у н к ц и и f(x) на всей числовойп рям ой. Д о к азать или о п р о в ер гн у т ь следую щ и е у т в ер ж д ен и я :а) если / ( * ) — п ер и о д и ч еск ая ф у н к ц и я , то и Р ( х ) — п ери од и ч еск аяф ун к ц и я;б) / ( * ) — н еч ет н ая ф у н к ц и я , то Р ( х ) — ч е т н а я ф у н к ц и я;в) если / ( * ) — ч ет н ая ф у н к ц и я , то Р ( х ) — н еч е тн ая ф у н к ц и я.8 .
П у сть Рп (х) — многочлен степ ени п. При к ак о м условии п ервообразна)„ .„„н ая для ф у н к ц и и ------ у +1 я в л я е т с я рац ион альной ф у н к ц и ей :Г Л А В А VIIОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 34. Определение и условия сущ ествованияопределенного интеграла1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.а)Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция / непрерывна на отрезке А = [а, Ь] и неотрицательна, т. е. /(ж) ^ 0 при всехж Е А.
Рассмотрим фигуРУ G (рис. 34.1), ограниченную отрезками прямых ж = а, х = Ъ, у = Ои графиком функции у == f ( x ) , Т. е.G = {{х,у):а ^ х ^ b , О ^ у ^ f(x)}.Такую фигуру называют криволинейной трапецией, а отрезок А —ее основанием.Разобьем отрезок Ана п частей точками х\ (г = 1 ,п —1 ), где х\ < х^ < ... < х п- 2 < Жп-ъи проведем через эти точки прямые, параллельные оси Оу. Тогдафигура G разобьется на п частей, каждая из которых является криволинейной трапецией.Обозначим A xi = xi — Жг-ъ х о = а, х п = Ь, и пусть & Е Д«, где= [xi-i,X i\, i = 1,п. Тогда суммаO' = ^ r f ( Z i ) A x i ,i—1зависящая от разбиения отрезка Д и выбора точекравна площадиступенчатой фигуры (рис. 34.1), составленной из п прямоугольников,причем основанием г-го прямоугольника служит отрезок Д^, а длинаего высоты равна /(&)• Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигурабудет мало отличаться от исходной фигуры G при достаточно мелкомразбиении.Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы наибольшая§ 3 4 • О пределение и условия сущ ест вования определенного инт еграла317из длин отрезков A i стремилась к нулю.
Если при этом сумма а будетиметь предел S, не зависящий ни от способадробления отрезка А, ни от выбора точекто естественно считать, что площадь фигуры G равна S. Существование этого пределабудет доказано в п. 6 .П р и м е р 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х 2 и отрезками прямых х = а, где а > 0, и у = 0 (рис. 34.2).Д Пользуясь тем, что предел суммы а для непрерывной функции /(ж) = х 2 (см. п. 6 ) независит от способа дробления отрезка А == [0 , а] и выбора точекбудем считать, чтоРис> 34,2отрезок А разбит на п отрезков равной длины, а в качестве точки ^(г = 1, п) взят правый конец отрезка А^. Тогда ^ = ж* — —г, А ж* — —,п3пппa = J 2 x2i A x i = ^ ^ 2 i 2г=1„Так какг=1t i { tiЕ * 2 =+ 1 )(2 п + 1)(§ 3, пример2 , в)), тог= 1откуда lim а = —. Поэтому искомая площадьп—>-оо3равна —.
АЗаметим, что этот результат был получен еще Архимедом с помощью предельного перехода. В § 36 будет дан простой способ нахождения предела для сг, основанный на формуле Ньютона-Лейбница.б) Работа переменной силы. Пусть материальная точка движетсявдоль числовой прямой Ох под действием силы Р , причем направление действия силы совпадает с направлением движения материальнойточки. Предположим, что сила Р задана как непрерывная функция откоординаты х этой прямой, т. е. Р = Р(х).Найдем работу силы Р при перемещении материальной точки отх = а до х = Ь.
Разобьем отрезок [а, Ь], как и в задаче о площадикриволинейной трапеции, точками xi и выберем ^ G А* (г = 1 ,п).Тогда работа силы Р на отрезкеприближенно равна Р(^)Дж^, ана отрезке [а, Ь] работу этой силы можно считать приближенно равнойпсумме ^ ^ P ( £ i) A x i. Предел этой суммы (при тех же условиях, что и2= 1в задаче о площади) естественно назвать работой переменной силыпри перемещении материальной точки из точки а в точку Ь.В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела суммпвидаf(£i)Axi, которые называют интегральными суммами.
К вы2=1318Гл. VII. О пределенный инт егралчислению предела таких сумм сводится решение многих важных задач из геометрии, физики, техники и других дисциплин. Поэтомувопросы, связанные с обоснованием предельного перехода описанноготипа, заслуживают всестороннего изучения.2.Понятие определенного интеграла. Пусть функция одногопеременного /(ж) определена на отрезке [а, Ь] и пусть ж* (г = 0 , те) —совокупность точек этого отрезка таких, чтоа = хо < x i < ... < Xi - 1 < Xi < ...
< x n- i < x n = b.Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка [а,Ь], обозначим разбиение Т = {ж*, i = 0, п}, а отрезки Д* = [ж,_1 ,ж,], где i = 1,п,назовем отрезками разбиения Т.Пусть Дж, = Xi —X i-i — длина г-го отрезка разбиения Т. Тогдачисло l(T) = max Дж, назовем мелкостью разбиения Т (или диамет1 $Сг<Спром этого разбиения). Если £* € Д*, то совокупность точек £* (г = 1, те)назовем выборкой и обозначим £ = {£*, г = 1 , те}.Суммуп< М £ ,/ )=О-Т ( £ ) =5 1f( & ) A x i(1)г=1назовем интегральной суммой для функции / при заданном разбиении Т и фиксированной выборке £.О п р е д е л е н и е . Число J называется определенным интеграломьот функции / на отрезке [а, Ь] и обозначается J /(ж) dx, если длялюбого е > 0 существует такое число 8 = 8(e) > 0 , что для любогоразбиения Т, мелкость которого 1(Т) <8, и для любой выборки £ выполняется неравенствоI Y I f ( & A x i - J < е.i= 1С помощью символов это определение можно записать так:ьj j = j f ( x ) dx}Ve > 0 35(e) > 0: VT: l(T) < 5(e) V£^ M £ , / ) - J | <e.(2)Часто утверждение (2 ) кратко записывают в виде <тт(£) —^ J приl(T) —1 0 или lim <тт(£) = J , имея в виду, что предел не зависит отвыборки £.Если существует число J , определяемое условиями (2), то функцию / называют интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, Ь] и говорят, что существует интеграл от функции / на отрезке [а,Ь].§34■ О пределение и условия сущ ест вования определенного инт еграла3193.
Н еобходимое условие интегрируемости функции.Т е о р е м а 1. Если функция / ( ж ) интегрируема на отрезке [а, Ь],то она ограничена на этом отрезке.О Пусть функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда существуетчисло J , удовлетворяющее условию (2). Полагая в (2) е = 1, получаемнеравенствоJ - l < a T & f ) < J + 1,(3)которое должно выполняться для любого разбиения Т такого, чтоl(T) < Si = 5(1), и при любой выборке £.Зафиксируем разбиение Т, удовлетворяющее условию l(T) < Si, ипредположим, что функция / не ограничена на отрезке [а,Ь].
Тогдаона не ограничена по крайней мере на одном из отрезков Д* разбиения Т. Без ограничения общности можно считать, что функция / неограничена на отрезке Ai = [xo,Xi] = [a,Xi],Фиксируем точки £2 , •••,£«> гДе £* € A*, i = 2, те, и обозначим А =П= ^2 /(£г)Дж,. Тогда ат = А + / ( £ i)A xi и в силу (3) получаем нера-*=2венстваJ ^ 1 < / ( а ) Дж! + Л < J + 1 ,(4)которые должны выполняться для любого (1 t Л |.Так как Д.Г| > 0, то двойное неравенство (4) равносильно неравенствуиз которого следует, что функция / ограничена на A i, что противоречит предположению о неограниченности функции / на отрезке Ai.Итак, предположение о неограниченности / на [а, Ь] приводит кпротиворечию. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
