Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если Рт(ж) и Qn(ж) — многочлены степеней т и псоответственно, причем гп < п и коэффициенты этих многочленов —действительные числа, a Qn(ж)представляется в виде (11), то!п\Рт(х) _Qn(x)А[а1) ^Л)01- 1*(х —ai)ai(х —ai)aiA f k)(х —aj,)akЛ)1*х —сп1Afх -akВ[1)х + Dl1"1x2+pix + qiB f ^ x + D' f1"1(ж2 + pix + qi)diB f ^ x + D f ’1(x2 + psx + qs)d‘B (i ]x + D[x2+p sx + qs ’илиD f \pm(x)yk- yai-At^s„aBl x + D,Все коэффициенты разложения (26) являются действительнымичислами и определяются однозначно.О Применяя лемму 1, выделим сначала простые (элементарные) дроби вида/ ( х —а\)р, где р принимает значения от 1 до ац.
Затемк дроби P*(x)/Q*n_ai (ж) снова применим лемму 1 (формула (17)) иГл. VI. Неопределенный интеграл302т. д., пока не выделим простые дроби, соответствующие всем действительным корням многочлена Qn(x). В результате правильная дробьPm(x)/Qn(x) будет представлена в видеРт(х)кгде t = п —у' у 'Qn(x)‘ - 1 ■?—1A\J)р(х),( х ^ a i)^Я п-Л хУп/. Р (х) / Q*n_t (x) — правильная дробь, а многочлен/=1Q*n_t (x) не имеет действительных корней.Применяя к каждой паре комплексно сопряженных корней многочлена Q„(x) лемму 2 (формула (25)), получимр (х)_Qn-t(x)у 'B \J)x + D j^ ^ ( x * + Plx + qi)j-{ JИз формул (27) и (28) следует равенство (26), которое дает разложение правильной рациональной дроби на простые (элементарные)дроби.
•Например, если f( x ) = ----- —Г—Ж— 5— -гту, то раз(а? — l)-(a? -I- 3)-(а?- -4- 1)(а?- — За? -4- 5)-ложение функции f( x ) на простые дроби имеет видf(x ) =4 (1)АтI )214 (1)*+ 31Ат(* + 3)2'4 (3)2(* + 3)3'B^x+D ^B^x + D^Bf>x + D f }х2+ 1х2^ З х + 5( х 2 - 3* + 5)2 ‘З а м е ч а н и е .
Д ля н ах о ж д ен и я коэф ф и ц и ен то в A!f\ В\2\ Dlf > разлож ен ия (26) обы чно п р и в о д я т п р о сты е дроби в п равой ч ас ти ф орм улы (26) к общ ем у зн ам ен ател ю , ко то р ы й р авен Q n (x). Т о гд а ф о р м у л у (26) м ож но зап и с ать в виде P m ( x ) / Q „ ( x ) = T(x)/Qn(x), о т к у д а следует, что Р т (х) = Т(х).П р и р ав н и в ая к о эф ф и ц и ен ты при оди н ако вы х степ ен ях х м ногочленовРгп{х) и Т ( х ) , п о лучи м л и н ей н у ю с и с те м у у р ав н ен и й , и з которой н ай дем ко эф ф и ц и ен ты разл о ж ен и я (26). Э та с и стем а в си лу т ео р ем ы 4 и м еетеди н ствен н о е реш ение.§ 33.
Интегрирование рациональных, иррациональных,тригонометрических и гиперболических функций1.Интегрирование рациональных функций. В § 32 (теорема 4) было доказано, что всякая функция вида Pm(x) /Qn(x), где Рти Qn — многочлены с действительными коэффициентами степенейт и п соответственно и то < те, т. е. правильная рациональная дробь,представляется в виде суммы простых дробей вида§3 3 .
И нт егрирование ф ункцийk G N,(.х2 +px + q)k '303p2 - 4q < 0.(2 )Если дробь Pm( x) /Qn(x) является неправильной (то ^ те), то, разделив числитель на знаменатель, например, способом “деления в столбик” , эту дробь можно записать в видеPm(x)/Qn(x) = S(x) + R ( x )/ Q n(x),где S(x) — многочлен (частное от деления Рт на Q„), R(x) — остаток от деления, R ( x ) / Q n(x) — правильная дробь.
Например, дробьж4/(ж 2 —ж + 1 ) является неправильной. Выполняя деление ж4 на ж2 ——ж + 1 , получаем4X*ж2 —ж + 1—ж4 + ж3 - ж2ж2 + жж3 - ж 2-ж 3 + ж2 —ж—жСледовательно,xX•х+1= жxXX•х+1(3)Обратимся к интегрированию рациональных дробей. Рассмотримсначала дроби вида (1). Если г = 1, тоAdx/ x —a = А In |ж —а| + С,если г > 1 , тоAdxА_./ (ж - a)r ~(1 - г)(ж - а )г-1С.Таким образом, при интегрировании дроби (1) получается либо логарифмическая функция (г = 1 ), либо правильная рациональнаядробь (г > 1 ).Обозначим,/' Вх + Ddx.Jk = . i \ х2 + рх + q)k2rfр~q—где q —^ > 0 , то, полагаяТак как х 2 + рх + q = (ж + ^4. получаемq — Р~— = а, х +| Р- = t,B i t - f ) +DГ1л = /2\k •dt.( t2 + а 2)Гл. VI.
Н еопределенны й инт еграл304Следовательно, интеграл Jj, является линейной комбинацией интеграловtdt(t2 + a2)kТцсdt■Jтk" — J (t2 + a2)k 'кПри к = 1 эти интегралы соответственно равны:•W iт, _1 f d( t2 + a2) _ 1 w+22Jаt2 + a2 ~ 2J," = - arctg - =aa—“arctg ■С = ^ l n ( x 2 ■px + q) + C,*+:C=: arctgVy / 4 - ■p-c.Если к > 1, тоji _1 fd(t2 + a2) _2 J (t2 + a2)k 2(1 —k)(x2 +px + q)k^ 1 c ,а интеграл JjL' можно вычислить с помощью полученной в § 30 (пример 17) рекуррентной формулы, причем согласно этой формулеявляется линейной комбинацией правильной рациональной дроби иарктангенса.Таким образом, интеграл от любой рациональной дроби представляется в виде линейной комбинации многочлена (если рассматривается неправильная дробь), правильной рациональной дроби, логарифмической функции и арктангенса.XП р и м е р 1.
Найти J = ■dx.J хз —х + 1А Запишем равенство (3) в следующем виде:X= хX1 2х - 12 х2 - х + 1х —-1х ----2Отсюда находимт X3 X211 1 I 2J = Т + 7 ~ 2 ln (l -1 ) -----= arctg 2х -^ 1V3dxП р и м е р 2. H att™ ./ = / - (i + 2) ( i _ i ) ( i _ rV3+С.▲-А Так как подынтегральная функция — правильная рациональнаядробь, а корни ее знаменателя являются вещественными и простыми(их кратность равна единице), то= —— + - 2 - +(4)(х + 2)(х —1 )(х —3)х +2 х-1х^Зw§3 3 .
И нт егрирование ф ункций305Умножив обе части равенства (4) на знаменатель его левой части, получим1 = Ai( x - 1 )(ж - 3) + А 2(х + 2) (ж - 3) + А 3(х + 2)(ж - 1).(5)Для нахождения чисел А 3, А 2, А 3 можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в тождестве (5). Однако существуетболее эффективный способ вычисления.
Полагая в тождестве (5) сначала х = —2 , затем х = 1 и, наконец, х = 3, последовательно находим1 = 154 Ь1 = —6А2,1 = 10Л3,откуда получаем1015’Заметим, что число А 3 можно найти из равенства (4), если умножить обе его части на х + 2 , а затем перейти к пределу при х -+ —2 .Тогда .4, = 1ип2где ф ) =функция, которая получается вычеркиванием множителя х + 2 в знаменателе левой части равенства (4). Тем же способом можно найтичисла А2 и А 3.Таким образом,1(х + 2 ) ( х - 1 ) ( х - 3 )1115 х + 2116 ж — 111 0 ж ^ 3 !откудаJ = h lnlx'I In (ж —IIС=^Ь|ж-3|1 ^= — In30П р и м е р 3. Найти J =Зх3 -( х — 2 ) 2 |х — З | 3хII5С.▲5 х + 10■dx./ < х — 1 ) 2 ( х 2 + 2 х + 5)А Так как подынтегральная функция /(ж) — правильная дробь, аквадратный трехчлен х J + 2 ж 5 имеет невещественные корни, тоTiА‘> , Вх + Df(x) =х — 1х 2 + 2х + 5 ’\* I ) 2откуда следует равенствоЗж3 —5ж + 10 = А \{х2 + 2ж • • 5) + А 2(х -1 )(ж2 + 2 ж + 5) ++ (Вх + D)(x - I)2.(6 )Полагая втождестве (6 )ж = 1, находим 8 = 8 4 i, откуда А 3 = 1.Дифференцируятождество (6 ), а затем полагая ж = 1 в полученномравенстве, находим 4 = 4 + 4А2, откуда А 2 = 0.
Приравнивая коэффициенты при ж3 и свободные члены в равенстве (6 ), получаем 3 = В,10 = 5.1 1 + D, откуда D = 5.Гл. VI. Н еопределенны й инт еграл306Итак, А\ = 1, А 2 = 0, В = 3, D = 5, и поэтомуfix')JK J1—,3* + 51(х — l ) 2 ’ х 2 + 2х + Ъ312.<- - 2( х - 1 ) 2 ' 2 х 2 + 2х + Б ’ “ (ж + 1)2 + 4 ’откуда находим, чтоJ = -----—• ^ + 11п(ж/ 1п(ж2 + 2ж2х ++ 5) + arctg х^ ^ 1* + С.П р и м е р 4. НайтиррJ▲йж-,.ж4 + 1А Используя равенствоЖ4 +1 = х 4 + 2х21 - (V 2x)2 = (х2 + s/2x + 1)(х2 ^ s / 2 x + l )и учитывая, что многочлен ж4 + 1 не имеет действительных корней,получаем1Вх + DВ\х + DiX + s/2x + lX 2 - s/2x + l ’откуда1 = ( Вх + D)(x2 - s/2x + 1) + (В\х + Di)(x2 + s/2x + 1).(7)Сравнивая коэффициенты при ж3, х 2, х 1 = х, х° (свободные члены)в тождестве (7), получаем0=0=0=1=В + Вг-By/2 + D + B ^ + D !В - s/2D + В г + s/2D1D + £>iИз первого, третьего и четвертого уравнении этой системы следует, что D = D 1 , 2D = 1, откуда находим D = Di = - , а из первого, второго и четвертого уравнений получаем В\ = —В, 2Bs/2 = D + D i = 1,откуда В = ~ j ^ i Bi = —Следовательно,1ж4 +111■+s/2X+ С 2 ж+12s/2XXV2!ж +1Так как/x + s/2dx=\(2х + ^x 2 + s/2x + 12 J x2 + s/2 ж +•I ( x --- —1dx+—jn fs/2 Js/2ж+ I V + -1s/2 J= - 1п(ж2 + s/2x + 1 ) + arctg (xsI—x2^xs / 2 x +—l dx = J2 ln v(x2lx + 1 ) — arctg (x\22 + 1 ) + Ci,1 ) + C2,§3 3 .
И нт егрирование ф ункций307тоdx/ *4 + 1 —14л/2л Д х + 1х2- л / 2 х + 1,: 111 -х 2 +(arctg (хл/2 + 1) — arctg (хл/2 —1)) + С.▲З а м е ч а н и е 1. У каж ем другой способ в ы ч и сл ен и я коэф ф и ц и ен то в В ,D , В \ у D\ . З а м е т и м , что корни м ногочлена ж4 + 1 о п р ед ел яю тся ф орм улойХк = еч*+ы*)/*г где fc = 0j l j 2 , 3 ,=п ри ч еме 17Г//4= —^=(1 + г) — к орень т р е х ч л ен а х 2 +л / 2х + 1 , а *з == — х о — к орень т р ех ч л ен а х 2 — л/2 х + 1. П олагая в (7) х = х о и ср ав н и ваяв полученном соотнош ении д е й ств и тел ь н ы е и м н и м ы е ч ас ти , н айд ем В \и D\ .
А налогично, полагая в р а в е н с тв е (7) х = — х о , н айд ем В и D.З а м е ч а н и е 2. В н екоторы х с л у ч ая х для в ы ч и сл ен и я и н тегр ал а отрациональной дроби f (x) целесообразно вм есто разл о ж ен и я ее на п р осты едроби п р и м ен и ть к акой -ли бо другой м етод , н апри м ер, п реобразован и е дроби /(ж ) , использовани е подходящ ей п о дстан овки или м етод а и н т егр и р о в ан ия по ч а с тя м .П р и м е р 5. Найти интегралы от функций. 11X4X2X2 +(жж10+ 2 ’Л\Л а)б){*41Лх4 +— I)3 ’{d (X'/J J5TT2 'Ь ‘ Ъ] №1’11ж4 ( 1 +1+2= Wlх °х 2) '1 п4 7! + (l r( хA- ^1 )d° x = J/ ( 1 - 1)а,+2 (у1)° 1) +{х -J1^ =122(ж — I ) 23(ж ^1)34 (х—I)4С.Гх2 + 1Г 1 + “Ar d(x-f ? - ± ± d x = ------ Щ- d x = — ^—J x 4+ 1J X2 + 1_J ( x ^ y ]+2XX11* "-= —=.
arctg —л /2Чmг) 1 ЭК КЕКл /21X2 - 1л /2л /2х+ С = —=. arctg — -=.---- 1- C.11 — X4 + X41—X 2 , 1——----- — — ———— — ---;-----Ь z-------ТОх4(1+;г2)(1+ж2)ж4X1+ж21./ ж4 ( 1 + ж,2)11■ах = ——— НЗж3„х1- arctgх + С.▲З а м е ч а н и е 3. В сл у чае когда зн ам ен ател ь Q(x) прави льной рациональной дроби P(x)/Q(x) и м ее т к р а т н ы е н евещ еств ен н ы е корни, удобно и сп о л ьзо вать (см ., н апри м ер, [2]) сл еду ю щ у ю формулу Остроградского:308Гл. VI. Неопределенный интеграл/ l ^ l dx=Q(x)^ l + / f i W dxJQ2(x )Q i (x )(8)’Uгде Qi(x) — м ногочлен, и м ею щ ий т е ж е корни , что и Q{x), но к р а т н о с т и 1 ,Q(x) = Qi(x)Q'i(x), Pi(x) и Рг{х) — м ногочлены , п р и ч ем Pi/Qi и P>/Q-> —п рави л ьн ы е дроби.В торое сл агаем ое в п равой ч а с ти р а в е н с тв а (8) — и н тегр ал , в ы р аж аю щ ий ся чер ез л огари ф м и ар к тан ген с; это сл агаем ое н азы в а ю т трансцендентной частью интеграла от P(x)/Q(x).Метод Остроградского (ф о р м у л а (8)) даетво зм о ж н о сть н ай ти рацион альн у ю ч ас ть и н тегр ал а (ф у н кц и ю Р 2 (х) / Q i { x ) ) а л ге б р аи ч еск и м п у тем(без и н т е гр и р о в ан и я ).
Для н ах о ж д ен и я м ногочленов Р\ и Р? их зап и сы в аю т с н ео пред еленн ы м и ко эф ф и ц и ен там и и в ы ч и с л я ю т э т и коэф ф и ц и ен тыи з соотн ош ени я, п олучаем ого при д и ф ф ер ен ц и р о ван и и т о ж д е с т в а (8).2.Интегрирование иррациональных функций. Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы от иррациональныхфункций удается преобразовать в интегралы от рациональных функций с помощью различных подстановок.Здесь и в дальнейшем будем обозначать буквой R рациональнуюфункцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
