Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Н еопределенны й инт егралЗапись комплексного числа z ф 0 в виде (12) называют тригонометрической формой комплексного числа.Из формул (11) находимcos Lp =ж.\ Л 2 + У1’sm (р =уу/ х2 + Г(13)Решив систему (13), найдем аргумент комплексного числа z ф 0.Эта система имеет бесконечно много решений вида р = р 0 + 2 &7Г, гдеk G Z, (^о — одно из решений системы (13), т.
е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами (13),а формулойtg¥> = |>(14)получаемой почленным делением второго из равенств (13) на первое.Следует иметь в виду, что не все значения р, удовлетворяющие уравнению (14), являются аргументами числа г.П р и м е р 3. Найти все аргументы числа —1 + i y / 3 и записать эточисло в тригонометрической форме.Д Комплексное число лежит во второй четверти, поэтому в качестве одного из решений уравнения t g p = —у/3 можно взять р 0 =а все значения аргумента данного комплексного числа определяютсяформулойv+ 2тгк, к (Е Z.ОТак как1 + i y / 3 | = 2 , то2тг , .
. 27Г—1 + гл/з = г ( cos 3 Ь г sm —3 )■АЕсли \z\ = 1, р = argz, то из формулы (12) получаем г = cos р-\+ г sin р. Комплексное число cos р + г sin р обозначается символом ег(/?,т. е. для любого р Е R функция ещопределяется формулой Эйлераещ — cos р + г sin р.(15)Равенство (15) находит обоснование втеории рядов (§ 44).Из формулы (15) следует, что е2?гг == 1 , eni = - 1 , е7™/2 = г, е~^12 = - г(рис. 31.5) и |ег(/?| = 1 для любого р £ R.Заменяя в равенстве (15) р на —р ,получаеме г(р = cosp —i sinp,( i 6)§31. К ом плексны е числа291а из равенств (15) и (16) следует, чтоcosy = ^(ei v + e - ^ ) ,sin y = ^ ( e iv - e " ^ ) .(17)Отметим, чтоJv 1g * (v 1 + V 2 ) ^е *¥?1 е *¥?2 _е * ( ^ 1 - ^ 2 )_Сф * _eA 2Для доказательства формул (18) следует воспользоваться формулами (15) и (2), а также формулами синуса и косинуса суммы (разности) углов.
С помощью индукции из (18) можно получить формулуМуавраeinv = (cos ip + i sin p ) n = cos rup + i sin wp, n € N.Используя формулы (12) и (15), запишем комплексное число г / 0 впоказательной формеz= relv,гдег = \z\,р,чгцт.(19)С помощью равенств (18) можно получить формулы для произведения и частного комплексных чисел: если Z\ = riet<pl, Z2 = г 2ег(р2, то(20 )Z1 Z2 = r1r2ei{'43l+432),— = — ei(^ i-^ 2)?02 ф о.(2 1 )То22Из формулы (20) следует, что при перемножении комплексныхчисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.\ziz2\ = \zi\- \z2\,Pi + <Р2 = arg(zi + z2),если</?i=argzi,у2;ну,т2.Аналогично из формулы (21) следует, что модуль частного двухкомплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разностьаргументов делимого и делителя является аргументом частного, т. е.= (—),И0122Pi —Р>2 = arg —,г2 Ф 0 ,02еслиеслиср\ = argzi,у 2 = argz2.4П р и м е р 4.
Вычислить(1 — гл/3)° ‘А Так как 1 + г = л/2ег7Г/ 4, 1 —гл/3 = 2е^ г7!/ ?’, то(1 + г)4(1 - гл/3)°_ ( V 2 ) 4e in _2°е-25Г*116Гл. VI. Неопределенный интеграл292Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило равенства двух комплексных чисел в показательной форме: если Z\ =—r i g*vi И Z2 — r 2g*V2j то Zl — Z2 Х0Гда и только тогда, когдаr*i =»*2 ,<^1 = ^ 2 + 2кж,к £ Z.Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно сопряженных чисел. Пусть г = reltp = г cos (р + ir sin р, тогда г г cos р ——ir siny? = r e ^%lp, т. е.
если р = argz, то —р = arg~z. Отсюда и из равенств (20 ), (2 1 ) следует, чтоZiZ2 = ZiZ2 ,(-')= = -,\ Z2 /(zn) = ( z ) n,Z2п £ N,а из определения комплексно сопряженного числа следует, чтоZx + Z2 — Z 1 + ^2 5Z l — Z2 = Z l — Z2.5. И звлечение корня. Рассмотрим уравнение(22 )г” = агде а ф 0 — комплексное число, п — натуральное число.Если z = гег(/% а = рег^, то уравнение (22) примет видrneinip = peie,откудаг п = р,п р = в + 2Ьг,к € Z,и поэтомуг = !фр,р к = ^ (9 + 2кж),к £ Z,(23)т. е.
числаZk = Vfpe%Vk(24)являются корнями уравнения (22 ) и других корней это уравнение неимеет.Заметим, что числа Zq, Z\, ..., zn- i различны, так как их аргументывв , 2тгв , 2ж(п —1 )Ро = —, Pi = — I, •••, Рп - 1 = — I------ различны и отличаютсяпппппдруг от друга меньше, чем на 27г. Далее, zn = Zq, так как \zn\= \zq\ == ^[р и р п = ро + 2ж. Аналогично, zn+1 = Zi, Z-\ = z n- i и т. д.Итак, при а ф 0 уравнение (22) имеет ровно п различных корней,определяемых формулами (23) и (24), где к = 0,1—1.На комплексной плоскости точки zp (к = 0, те —1) располагаютсяв вершинах правильного те-угольника, вписанного в окружность радиуса рфр с центром в точке 0 .§31.
К ом плексны е числа293П р и м е р 5. Найти все корни уравнения z 4 = 1 + г.Д Корни Zk (к = 0, 3) этого уравнения определяются формулами (23)и (24), где р = |1 + г| = у/2, в = | ,т. е.=где7Гщ -7Гк16 + Т 'к = 0 ,1,2,3.___ _ z0Точки Zk располагаются в вершинахz2квадрата (рис.
31.6). А6.К ом плекснозначны е ф ун кции д ействительного перем енного. Если каждому значению t ЕЕ [а , /3] поставлено в соответствиекомплексное число г = z(t), то гоРис. 31.6ворят, что на отрезке [а,/3] задана комплекснозначная функция действительного переменного.Пусть Rez(t) = x(t), lmz(t) = y(t), тогда z(t) = x(t) + iy(t). Функцию z(t) можно рассматривать как вектор-функцию z(t) = (x(t),y(t)).Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям длявектор-функции.Например, производная функции z(t) = x(t) + iy(t) определяетсяформулойz'(t)=x'(t)+iy'(t).(25)Следовательно, производная z f(t) существует, если существуют производные x'(t) и y'(t).Применяя формулу (25) к функции elt = cos t + i sin t, получаем(elt)' = —sin t + i cos t = i2 sin t + i cos t = г(cost + i sint), т.
e.(еи у = i e u .(26)Таким образом, формула для производной комплексной функции elt имеет такой же вид, как и для функции eat? где а Е R.Определим теперь показательную функцию е(а+г^ , где а, (3 — заданные действительные числа, t — действительное переменное.Функция f(t) = е*, где t Е /?, удовлетворяет условиюf ( h ) f ( t 2) = f ( h + t2).(27)Аналогично функция elt3t, где / ?£/ ?, обладает свойством (27) в силупервого из равенств (18).Поэтому функциюестественно определить так, чтобы длянее выполнялось условие (27), т. е.e (a+i(3)t _e a t e i(3t'Гл. VI.
Неопределенный интеграл294Используя формулу (15), отсюда находимe (a+i@)t = е» * (cos+ г sin /3t).(28)Применяя к функции ext, где Л = а + i/i, правило дифференцирования (25), легко показать, что(еА*)'=ЛеА*,Л= а + ifi.(29)По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции z(t) = x(t) + iy(t) определяется формулойJ z ( i ) dt = J x ( i ) dt + i j y ( t ) dt.Если комплексная функция cc(t) = £(t ) + irj(t) такова, что to'(t) == z(t), TOJ z ( t ) dt = Joj'(t) dt = f €'(t) dt + i j rj' {t) dt = (;(t) + C\ + irj{t) + iC2.Следовательно,J z ( t ) dt = Lo(t) + С,С = Ci + iC2.Применяя это утверждение к функции еМ+г^ ь и используя формулу (29), получаем[ eia+mt dt = е1а+Ф! + Сг + iC2.)а + г/З(30)Выделяя в равенстве (30) действительные и мнимые части,находимf eat cos fit dt + i j e at sin fit dt =^ eat(cos fit + i sin fit) + C\ + iC2,JJ^ h [jоткуда получаем/€0at.eat cos fit dt = —— (a cos/3t + /3 sin/3t) + C i,aо 2TI/3/42pJ eat sin (it dt =(31)at2^(a sin (it —(i cos (it) + C2.(32)Заметим, что формула (31) была получена с помощью интегрирования по частям в § 30 (пример 19).§ 3 2 .
Разлож ение рациональной ф ункции на простые дроби295§ 32. Разложение рациональной функциина простые дроби1. Разложение многочлена на множители.а) Корни многочлена. Пусть задан многочлен те-й степениQ„(x) = спх п + Сп-гх71^ 1 + ... + сгх + с0,сп #0.(1 )Коэффициенты cn,cn_i, ...,Ci,Co многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами, переменное х может принимать любые значения из множества R или С.Число а называют корнем многочлена Qn(x), если Qn(a) = 0.
Например, число х = 1 — корень многочлена х3 —Зх2 + 2 , а числох = i — корень многочлена х 2 + 1 .Рассмотрим вопрос о делении многочлена Q„(x) на двучлен (х ——а). Разделить многочлен Q„(x) на двучлен (х —а), где а — заданноечисло, означает по определению представить его в видеQn(x) = (х - a)Q n_i(x) + г,(2 )где Qn- i(x) — многочлен степени те —1 , г — некоторое число (его называют остатком от деления многочлена на х —а). Предполагается,что равенство (2 ) справедливо при всех значениях х € R (или х € С).Если г = 0, то говорят, что многочлен делится без остатка (нацело)на х —а.Т е о р е м а 1 (Везу). Число а является корнем многочлена Q„(x)тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остаткана х —а, т.
е. справедливо равенствоQn(x) = Qn-i(x)(x - а).(3)О Пусть х = а — корень многочлена Qn(x), тогда Q„(a) = 0. С другойстороны, из равенства (2) при х = а получаем г = Qn(a). Следовательно, г = 0 , т. е. многочлен Q„(x) делится без остатка на i -• о, если а —корень этого многочлена.Обратно, если многочлен делится без остатка на i -- а, т. е. справедливо равенство (3), то из этого равенства следует, что Qn(a) = 0.Следовательно, х = а — корень многочлена Qn(x). •Ведем понятие кратности корня. Число х = а называют корнеммногочлена Qn(x) кратности к, если существуют число к € N и многочлен Q*n_k(x) такие, что для всех х € R (х € С) выполняется равенствоQn(x) = ( х - a)kQ*n_k(x),(4)гдеQ n - k (a ) Ф 0.(5)296Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
