Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Так как — ( ——) =UJ]\ UJ] /= 0 , то — = (р(г)), где (р(г)) — произвольная непрерывная функция т).Решение уравненияПусть Ф(rj) есть ее первообразная на R. Тогда, интегрируя уравнение wv = ip(rj), получаем, что w = Ф(у) + Ф(£), где Ф(£) — произвольная функция.Если считать, что функции Ф(rj) и Ф(£) есть непрерывно дифференцируемые функции, то общее решение уравнения (4) имеетследующий вид:u(x,t) = Ф(ж —at) + Ф(ж + at).Пример▲6 . Сделать в дифференциальном уравненииd2zдх дуА , dzVду/замену переменных и = х, v = у + z.А Запишем уравнение (5) в виде(zy)x(1+Z y f-I= 1или-д5дх-1——1+л= 1.(6)ZyПустьz(x(u,v),y(u,v)) = w(u,v)тогдаz( x, y) = w ( x , y + z(x,y)).(Г)Упраж нения к главе V273Вычисляя частные производные по ж и у от обеих частей тождества (7), получаемZx — ^ и—1wu1 —wvtVvZx,5 Zy1Zy — Oy(l + Zy),Wv1 — Wv15 11 +I Z y = 1 •w„.Подставляя эти выражения в уравнение (6 ), получаемд i _1ди d~wdv d~w _„ U)y i.
, „ „ „ ™Г ~ оо?дхдх сто стодх dv1d~wd~wd~wwud 2w= 1.Zx& ~’ dudv1 — w v dv 2dudv▲П р и м е р 7. Определитель те-го порядка(1ц ... Clin....................Г=С1п\ ... Clnnесть функция те2 переменных ау. Показать, чтодГА^,daijгде Ау — алгебраическое дополнение элемента ау.А Разложим определитель по элементам первой строки:—Г —а ц А ц(8 )■ciinA i n.Элемент а ц входит только в первое слагаемое, причем А ц не завидГсит от а ц , поэтому —— = А ц .
Аналогично доказываются остальныедайравенства (8 ). ▲З а ме ч а ние . Пусть элементы определителя Г есть дифференцируемые функции ay (t) при а < t < /3. Тогда и определитель Г есть дифференцируемая функция на (a, fi). Воспользовавшись правилом нахожденияпроизводной сложной функции и формулой (8), получаем правило для вычисления производной определителя:п пт ,,пdr(t)dt»=1 j=iгдеday(t)Г»(^) —$ > ( * >dt 'з=1Нетрудно видеть, что Г,{t) есть определитель, который получится, еслифункции, стоящие в i-й строке определителя Г, заменить их производными.274Гл. V.
Ф ункции м ногих перем енны хУ П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ V1. П у сть в полном м е т р и ч ес к о м п р о с тр ан с т в е зад ан а п оследовательн ость за м к н у т ы х влож енны х ш аров, р ади у сы к о то р ы х с т р е м я т с я к нулю .П оказать, ч то п оследовательн ость ц ен тр о в будет ф у н д ам ен тальн о й и чтопредел это й п о следовательн ости е с ть ед и н ст в ен н ая т о ч к а , п рин адлеж ащ аявсем ш арам .2 . П о казать, ч то у п о следовательн ости влож енны х н еп у сты х ко м п акто вв м е т р и ч еск о м п р о с т р а н с т в е ес т ь х о тя бы одна общ ая то чк а.3 . П усть П е ст ь огр ан и чен н о е м н о ж еств о в R n .
П о казать, что гр ан и ц ам н о ж еств а П е ст ь к о м п а к т в R ' 1.4 . Ф у н к ц и я / ( * ) , оп ределен ная и о к р е с тн о с т и т о ч к и х° м етр и ч еск о гоп р о с т р ан с т в а Х у н азы в ае т с я полунепрерывной сверху (снизу) в точке х°,если для лю бого е > 0 су щ е ст в у ет ш ар Sg(x°) та к о й , что для всех х е Sg(x°)вы полнено н ер авен ство f ( x ) — f ( x ° ) < s ( f ( x ) — f ( x ° ) > e).Д о к азать, что:а) ф у н к ц и я f ( x ) , п о лу н еп р ер ы вн ая с в е р х у (сн и зу ) на к о м п ак т е м е тр и ческого п р о стр ан ств а, о гр ан и ч ен а с в е р х у (сн и зу ) на это м ко м п акте;б) ф у н к ц и я f ( x ) , п о лу н еп р ер ы вн ая с в е р х у (сн и зу ) на к о м п а к те в м е т р и ческо м п р о ст р ан ст в е, п р и н и м ает на это м к о м п ак те свое наибольш ее (н аи м еньш ее) зн ачен и е.У к а з а н и е .
Д о к азател ьство п о лу ч ается при помощ и неслож ного обобщ ения д о к азател ь ств а т е о р е м В ейерш трасса о то м , ч то ф у н к ц и я однойперем енной, н еп р ер ы вн ая на о т р е зк е , о гр ан и ч ен а на это м о т р е зк е и п р ин и м ает на нем свое наибольш ее и н аим еньш ее зн ач ен и я.5. Д о к азать, ч то при лю бы х а. > 0, /3 > 0 в ы п о л н яется равен ств оlim ( х 1 + y 1f : r b f = 1 .6 . П о казать, что ф у н к ц и я s i n * 2 не я в л я е т с я равном ерно непреры вн ойна (—оо, + о о ).7 .
П о казать, ч то ф у н к ц и я / ( * , у), и м ею щ ая в некоторой вы п уклойобласти п р о ст р ан ст в а R~ о гр ан и ч ен н ы е ч ас тн ы е п р оизводн ы е f x (x, у) иf y (х, у), у д о в л етво р я ет в этой области условию Л ипш ицаIf(x,y) - f(x', у')| ^ Ci\x - х'\ + СЦу - у’\и п оэто м у я в л я е т с я в этой области равном ерн о непреры вной.8 . П у сть ф у н к ц и я / ( * , у) и м ее т в R~ н еп р ер ы вн ы е ч ас ты е п роизводны е первого и в торого п орядков.
Н ай ти п ервы й и второй ди ф ф ерен ц иалыф ун к ц и и f ( x 2 + у 2, a rc tg —^ при х 2 + у 2 > 0.9 . Н ай ти яко б и ан ото бр аж ен и ях = a r cos ip, у = hr sm r\г > О, О tp < 2-к.Н ай ти прообразы л у ч ей ip = c o n st и о тр е зк о в г = co n st. В ы я сн и ть, будетли ото бр аж ен и е взаи м н о однозн ачн ы м .1 0 . Для о то бр аж ен и я и = х 2 — у 2., v = 2 ху , ( х уу) е /?“, н ай ти якоб иан ,прообразы п р ям ы х и = и о h v = v o ; в ы я с н и т ь , будет ли отображ ен ие взаим ноодн озн ачн ы м .1 1 . В у р ав н ен и и Л апласа(/Xд~(/у+ у г т = 0 сдел ать за м ен у п ерем ен ны х,п р и н и м ая у за н е и зв е с т н у ю ф у н к ц и ю , а * и и — за н езави си м ы е п ерем ен ные.Г Л А В А VIНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ§ 30. Определение и свойства неопределенного интеграла.Основные методы интегрированияВ главе IV (§ 14) была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения.
Если s = s(t) — путь, пройденный точкой за время t от началадвижения, то мгновенная скорость v в момент t равна производнойфункции s(t), т. е.v = s'(t).В физике встречается обратная задача: по заданной скоростиv = v(t) найти закон движения, т. е. найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t).1.Первообразная. Пусть функции f ( x ) и F(x) определены наинтервале (а, Ь).
Если функция F(x) имеет производную на интервале(а, Ъ) и если для всех х € (а, Ъ) выполняется равенствоF'(x) = f(x),(1)то функция F(x) называется первообразной для функции f(x ) на интервале (а,Ь).З а м е ч а н и е 1. П онятие первообразной м ож но в в е ст и и для дру ги хп р о м е ж у тк о в (п о л у и н тер ва ла — конечного или бесконечного, о т р езк а).Д адим оп ределение первообразной на о тр езк е. Если ф у н к ц и и / ( * )и F(x) определены на о т р е зк е [а, Ъ], п р и ч ем ф у н к ц и я F ди ф ф ер ен ц и р уем а на и н тер вал е (а,Ь ), н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [а,Ъ] и для всех х € (а,Ъ)в ы п о л н яется р ав ен ств о (1), то ф у н к ц и ю F ( x ) н азо вем первообразной дляфункции / ( * ) на отрезке [а,Ъ].З а м е ч а н и е 2.
Если F(x) — п ер во о б р азн ая для ф ун к ц и и / ( * ) на интерва ле (а ,Ь ), то ф у н к ц и я F(x) + С при лю бом зн ач ен и и С = c o n st т а к ж ея в л я е т с я первообразной для f i x ) .Справедливо и обратное утверждение.Т е о р е м а . Если Fi (х) и F2 (х) — две первообразные для функцииf(x ) на интервале (а, Ь), то для всех х G (а, Ь) выполняется равенствоF2 { x ) = F 1 { x ) + C,(2)где С — постоянная.О Обозначим Ф(ж) = F 2 (x ) — F i ( x ) . По определению первообразнойв силу условий теоремы для всех х G (а, Ь) выполняются равенстваF!2{x) = f { x ) ,F[( x) = f ( x ) ,276Гл.
VI. Неопределенный интегралоткуда следует, что функция Ф(ж) дифференцируема на интервале(а, Ь) и для всех х € (а, Ь) имеет место равенствоФ'(аг) = 0 .Согласно следствию 1 из теоремы Лагранжа (§ 17) Ф(ж) = С == const для всех х € (а,Ъ) или ^ (ж ) —Fi(x) = С, т. е.
справедливоравенство (2 ). •Таким образом, для данной функции f (x ) ее первообразная F(x)определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную Fi(x), достаточно указать точку Мо(хо,Уо), принадлежащуюграфику функции у = Fi(x).П р и м е р 1. Для функции f i x ) = Дгх > найти такую первообразнуюFi(x), график которой проходит через точку (1 ,2 ).А Совокупность всех первообразных функции — описываетсяформулойF(x) = ^ - + С.хПо условию Т\(1) = 2, т.
е. 2 = —1 + С, откуда (7 = 3. Следовательно, Fi(x) = 3 —▲хЗ а м е ч а н и е 3. В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (илиинтервале).2.Понятие неопределенного интеграла. Совокупность всехпервообразных для функции f (x ) на некотором промежутке А называют неопределенным интегралом от функции / на этом промежутке, обозначают символом J f ( x ) dx и пишутj f ( x ) dx = F(x) + С.(3)Здесь F(x) — какая-нибудь первообразная функции / на промежутке А, С — произвольная постоянная. Знак J называют знакоминтеграла, / — подынтегральной функцией, f(x ) dx — подынтегральным выражением.Подынтегральное выражение можно записать в виде F'(x )dx илиdF(x), т. е.f ( x ) d x = dF(x).(4)Операцию нахождения неопределенного интеграла от даннойфункции, которая является обратной операции дифференцирования,называют интегрированием.
Поэтому любую формулу для производной, т. е. формулу вида F'(x) = f(x), можно записать в виде (3).§ 3 0 . О пределение и свойст ва неопределенного инт еграла277Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства (sin ж)' = cos жследует, что j cos xdx = sin ж + С.3. Свойства неопределенного интеграла.С в о й с т в о 1.d(^J f ( x ) d x ) = f( x ) d x.(5)О Из равенства (3) следует, чтоd ( f f ( x ) d x ) = d(F(x) + С) = dF( ж),так как dC = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
