Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда, воспользовавшись непрерывностьюфункции fi (ж) в точке ж0, положимA i = М х °),/г(ж) = Ai + £г(ж),П т £*(ж) = 0.ХФХ°Получаемпf i x ) - f i x 0)п5 1 Л '(Xi - X ; )=г=1г=1=S>(о(р(ж,ж0)),1= 1так как5У*(ж)(Жг - Х°)г=1___________ £р(хгХ°)|^2 (х)| —У0 при Xг=1х°.•Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х244Уп р а жн е н и е 1. Пусть функции f(x) и <f(x) определены в окрестности точки х° € Rn, функция f(x) дифференцируема в точке х° и f(x°) = О,а функция <р(х) непрерывна в точке х°.
Доказать, что функция f(x)ip(x)дифференцируема в точке х°.Уп р а жн е н и е 2. Доказать, что функция(х + у)(х3 + у3)1/3дифференцируема в точке (0, 0).Ука з ание . Воспользоваться результатом упр. 1.П р и м е р 1. Показать, что функция/(ж ,у) = у/ж3 + у 4дифференцируема в точке (0 , 0 ).А Покажем, что существует число С > 0 такое, что для любых ж € Rи у € R справедливо неравенство\ ^ x 3 + y ^ x \ ^ C \ y f / 3.(4)Если у = 0, то неравенство (4) справедливо при любом С.
Пустьу ф 0. Положим t = х у-4/ 3. Тогда неравенство (4) эквивалентно неравенству \фф)\ < С, где= у/ 1 + t3 —t.Так как функция 'tp(t) непрерывна на Я и 'tp(t) -А 0 при t оо, тоip(t) есть ограниченная функция на R (см. упр. 4 к гл.
III).Итак, неравенство (4) установлено. Так как_ м > /» _ м _ < ь г .ТО__________у 4/3 = о{л/х2 + у2)и, следовательно,при(ж,у) -А (0 , 0 ),у/ж3 + у 4 = ж + о(у/ж 2 + у2) при (ж,у) —У(0 , 0 ),т. е. функция /(ж ,у) дифференцируема в точке (0 , 0 ). ▲П р и м е р 2. Показать, что функция/(ж, у) = у/ж3 + у 3недифференцируема в точке (0 , 0 ).А Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке (0,0),тогда, согласно определению, существуют числа А и В такие, чтоf ( x ,y ) - f(0,0) = А х + B y + о(р),где /(ж ,у) = ^ + 7 , / ( 0 , 0) = 0 , А =р = л /х 2 + у2,h В =Поэтомуу/ж3 + у3 = X + у + О(у/Ж2 + у2).= L§ 2 6 .
Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих п ерем енны х245Пусть ж = у > 0, тогдал/2х = 2 х + о(х)или ()/2 —2)х = о(х) при х —У0 , что противоречит определению символа о(ж). Следовательно, функция у/ж3 + у3 недифференцируема вточке (0 , 0 ).Второй способ. Если функция /(ж, у) дифференцируема в точке (0 , 0 ), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1 , представить в следующем виде:л /х 3 + у3 = xip(x, у) + уф(х, у),(5)где функции (р(х,у) и 'ф(х,у) непрерывны в точке (0 , 0 ).Пусть к — произвольное число. Положим в (5) у = кх. Тогда\ / l + к3 = ip(x, кх) + кф(х, кх).Переходя к пределу при ж- 4 0 и пользуясь непрерывностью функций(р(ж, у) и ф(ж, у) в точке (0 , 0 ), получаем, что при любом к выполняетсяравенствоу/ l + к3 = <р(0,0) + кф(0 , 0 ) = а + kb.Это неверно, так как функция / l + к3 не есть линейная функция(ее вторая производная по к не обращается тождественно в нуль).
▲Из теоремы 1 следует, что функция /(ж), дифференцируемая вточке ж0, непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно:функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке (0 , 0 ).3.Н еобходимое условие дифференцируемости функции вточке.Т е о р е м а 2. Если функция /(ж) дифференцируема в точке х° €df€ Rn, то она имеет в точке х° все частные производные ^ / - ( х 0),axii = l, те, ип^~(х°)(Хг — Х{ ) + о(р(ж,Ж°)) при X —УХ°.
(6 )*=1*О Пусть функция /(ж) дифференцируема в точке ж0. Тогда найдутсятакие числа A i , ..., А п, что при ж —^ ж0 будет выполнено равенство (1).Пусть в этом равенстве х± ф х®, а Ж2 = ж§, ..., х п = ж®. Тогда равенство ( 1 ) принимает следующий вид:/(ж) —/(ж°) =/(ж ь ж§,...,ж°) -/(ж ? ,...,ж ° ) = А / х г - ж?) + о(|Д ж 1 |)при х\ —х® = Л.Г|Следовательно, существует предел:Л1 =lim П * и х 1 ...У п)-П х°и ..,х °п) = df_{жО),ДЖ1 -ЩА*!ах10.Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х246Аналогично доказывается, что у функции /(ж) в точке ж° существуют и остальные частные производные и чтоAi = ^ ( x °),i = 2~п.Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем (6 ).
•Функция примера 2 имеет в точке (0,0) обе частные производныепервого порядка:£ ( 0 , 0 ) = limдхх^о= 1,Шх^о хх£ ( 0 , 0) =ду1.Так как функция f ( x , y ) = у/ж3 + у3 примера 2 недифференцируема в точке (0 , 0 ), то этот пример показывает, что из существованиячастных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции вточке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке.Так, функция/(*,„> = { / т /"Р"+( 0при ж = у = 0не имеет предела при (ж, у) —^ (0 , 0 ), а поэтому и не является непрерывной в точке (0,0).
Тем не менее у этой функции в точке (0,0)существуют обе частные производные:»/(0 0 ) = limj~ж= о’—^(0 0 ) = 0дуК , )4.Достаточные условия дифференцируемости функции вточке.Qf___Т е о р е м а 3. Если все частные производные тр-(ж), г = 1,п, определены в окрестности точки ж° € Rn и непрерывны в точке ж0, тофункция /(ж) дифференцируема в точке х°.О Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случайрассматривается аналогично. Пусть функции тр(ж,y ,z), ^ - ( x , y , z ) ,kJXОуdfтр(ж,y ,z ) определены в некотором шаре Se(x°,y°, z°) и непрерывныв центре шара (ж°,y°,z°).Запишем приращение функции в следующем виде:/(ж, у, z) - /(ж 0, у0, z°) = /(ж, у, z) - /(ж 0, у, z) ++ f(x°, у, Z) - f(x°, у0, z) + f(x°, y°, z) - f(x°, y°, z°).Пусть ж° < ж. Рассмотрим функцию одной переменной ip(t) == f ( t , y , z ) при t € [ж0, ж].
На этом отрезке функция ip(t) имеет производнуюФ'(*) =§ 2 6 . Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих п ерем енны х247Применяя формулу конечных приращений Лагранжа для функции ф(Ф) на отрезке [ж0,ж], получаемф{х) - ф(х°) = ф'(х° + в(х - ж0))(ж - ж0),0 < в < 1.Если подставить в эту формулу выражение длятоf ( x , y , z ) - f (x°,y,z ) = f 1(x,y,z)(x - ж0),f i ( x , y , z ) = |^ (ж ° + 6>(ж-ж°), у, z).Так как частная производная^-(x,y,z)^ ^непрерывна в точке(ж°,y°,z°), то существуетАналогично,f( x°,y,z ) - f(x°,y°,z) = f 2(x,y,z)(y - У0),f(x°,y°,z) - f(x °, y0,z°) = f 3(x,y,z)(z - z°),где функции f 2( x,y,z) и f 3(x,y,z) имеют конечные пределы при(ж, у, z ) (х°, у0, z°).
Доопределяя эти функции в точке (ж0, у0, z°) предельными значениями, получим, что функции /*(ж,у, г), i = 1,3,непрерывны в точке (ж°,y°,z°). Таким образом,/(ж, у,г) - f(x°,y°,z°) == (ж - x°) fi( x,y, z) + (у - y ° ) f 2(x,y,z) + ( z - z0) f 3(x,y,z).Из непрерывности функций f i ( x , y , z ) , f 2( x , y , z ) и / 3 (ж,у, z) в точке (ж°,y0,z°) и теоремы 1 следует дифференцируемость функции/(ж, у,г) в точке (ж°,y°,z°).
•Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.Функция(ж2 + у2)sin —,{1;1 , ж2 + у2 > О,V ^ V 2О,ж = у = О,дифференцируема в точке (0 , 0 ), так как/(ж, у) =0 • ж + 0 • у + оф/ ж2 + у2) при (ж,у) —>■(0 , 0 ).Но при ж2 + у2 > 0 частная производнаяд хУж2+тг^(ж,у)/ = 2 ж в т —;УI/ \ / *ж! 1а .у2у / х 2 + у2п------;/ аХ . пcos у- / х12 +у2248Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны хне имеет предела при (х , у)(0 , 0 ) и, следовательно, не являетсянепрерывной функцией в точке (0,0).
Чтобы в этом убедиться, досд fix0)\не имеет предела при х0.дх5. Дифференцируемость сложной функции.Т е о р е м а 4. Пусть функции ipi (х), ...,<рт(х) дифференцируемы вточке х ° = (х%xQn ) € Rn, у 0 = (l p i ( x ° ) , ...,Lpm(x° j ) € Rm и функцияf ( y ) = f ( y i , .
. . , y m ) дифференцируема в точке у0.Тогда сложная функциятаточно показать, что$ (* ) = f(Tl(x),--,iPm(x))дифференцируема в точке х°, причем при хх°ПФ(ж) - Ф(ж°) = ^ Л, (.г, - x f ) + о(р(х,х0)),Г 1я(9)i=iО Так как функция f(y) дифференцируема в точке у0, то в силутеоремы 1 найдутся функции f j ( y ) , j = 1, то, непрерывные в точкеУ° = {у%-;Ут) и такие, чтот= 'Е Ш ( у , - у %3=1Ы у °) = § f ( y 0)-(10)УзВоспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функциянепрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложнойфункции, получаем, что функциинепрерывны в точке х°, причемг^(х°) = Ы М х ° ) , - , < Р т (х0)) = Ы у°) = (^ ' (//'’).(12)Подставив в (10) yi = ipi(x), ..., ут = (рт (х) и воспользовавшисьобозначениями ( 1 1 ), получаемтФ(ж) - Ф(ж°) = $ ^ ( * ) ( у > ,( * ) - Tj(x 0)).(13)3=1Но функции (flj(x), j = 1, то, дифференцируемы в точке х°, поэтомунайдутся такие непрерывные в точке х° функции <ру(ж), чтопТз(х) - Тз(х°) =¥>«(*)(*« "г=1,гг;j =)’1, то.ЯVijix0) = - щ ( х ° ) ,^§ 2 6 .
Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих п ерем енны х249Подставляя выражения (14) в (13), получаемптФ(ж) - Ф(ж°) = ^Ф*(ж)(ж* - x f ) ,г=ФДж) =1Ф](х )-j=1(15)Так как функции ipj(x) и Pij(x) непрерывны в точке х°, то ифункции ФДж) непрерывны в точке х°. А это означает, что сложнаяфункция Ф(ж) дифференцируема в точке х° (теорема 1 ).Дифференцируемая функция Ф(ж) может быть записана в виде (9)с коэффициентами Ai, равными, в силу (12) и (14),ттAt = м х ° ) =г.= Е £ ( у 0) £ ( ж°) = Ц ( ж°)i=i j**i=i•З а м е ч а н и е . Вторая из формул (9) дает правило нахождения частныхпроизводных сложной функции, аналогичное соответствую щ ем у правилудля функций одной переменной.П р и м е р 3.
Пусть функция f(x , у) дифференцируема во всех точках пространства /?". Перейти к полярным координатам и найти выdfdfordipражения для д - и -Д-.А Пусть F(r,ip) = / ( r c o s p , rsiny?), х =пользуясь правилом (9), получаемOFd fd x, dfдуdf,.дуd fd xdfdpdx dpdy d p.dfу =1/df1дгГ = IдхT IдгT + IдуT ITдг = cos ^ 7Гдх + smdFrco sp ,rsm p .Тогда,dfdf,7Гду = ^ //х г + у2 \ ж 7Гдх + У 1Гду,dfdf,df= ^ rsm (£ IT"d x + rc0S(P IT"d y = ^ 2/ IT"d x + ж 1d^y -.k6.Д и ф ф ер ен ц и ал .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
