Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 45
Текст из файла (страница 45)
И н в ар и ан тн ость ф орм ы пер вого ди ф ф е р е н ц и а л а . П р а в и л а д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . Пусть функция f(x )дифференцируема в точке х°. Тогда при х -А х° ее можно записать ввиде (5):f( x ) = f( x°) + ^ 2^ (х °)(х г ХТ) + о(р(х,Х0)).i= 1*Положим по определениюДm . ---/\i.(-m 2. —---- m . __ „оctibj— I—»'j 22*ryЕсли функция f( x) дифференцируема в точке х°, то линейную форму относительно приращений независимых переменныхПdf(x0) = J 2 § t ( x ° )d x i(16)i= 1*Гл.
V. Ф ункции м ногих перем енны х250назовем дифференциалом функции f( x ) в точке х°. Тогдаf( x ) = f(x°) + d f(x°) + o(p(x, x° j)приx —¥ x°.Иногда выражение (16) называют первым дифференциалом функции f ( x) в точке х°.Найдем теперь дифференциал сложной функции. Пусть функцииtpi(x), ...,tpm(x) дифференцируемы в точке х°, а функция f( y i , .
. . , y m)дифференцируема в точке у0 = (ipi (х° ) ,..., ipm (x0)). Тогда в силу теоремы 3 сложная функция Ф(ж) = f(ipi(x), ...,(рт (х)) дифференцируемав точке х°. Используя формулы (9), получаемдФ(х°) = df{ip\{xQ), ...,ipm{xQ)) = ] Г | - ( x 0)dXi =i=1Итак,*тdf(yi(x°),...,ym(x0))=dyj(x°)-(17)j=i УзЕсли бы у\,...,ут были независимыми переменными, то df(y°)отличался бы от дифференциала сложной функции (17) только тем,что в выражении (17) dyj(x°) — дифференциалы функций ipj, а втd f ( y ° ) = Y § f (%f ) dViJ=i !/Jdy.j — дифференциалы независимых переменных.
Формальная записьдифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.Инвариантность формы первого дифференциала является весьмаудобным его свойством. При записи df(y°) в виде (17) мы можемне задумываться о том, являются ли переменные у\,...,ут независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бываетзатруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.Пусть функция f( x ) дифференцируема во всех точках некоторогооткрытого множества G С Rn.
Тогда в каждой точке х £ G можновычислить дифференциалПd f( x ) = Y f a r \ x ">d x i i=1*§ 2 6 . Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих п ерем енны х251Он будет функцией 2п переменных х \, . .. ,х п, dx\, ...,dxn, причемпри фиксированных х \ , . . . , х п дифференциал есть линейная функцияdxi, ...,dxn. Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:а) d(u + v) = du + dv;б) d(uv) = udv + v du;ч ,f u \v du —udv,„B) d - = ------ 5----- , v Ф 0 .Vv )vlДокажем, например, б).О Прежде всего заметим, что из теоремы о дифференцируемостисложной функции следует, что функция u(x)v(x) дифференцируема,если дифференцируемы функции и(х) и v(x).
Далее, имеемП р и м е р 4. Найти дифференциал функции a rc tg V-.VА Пусть и = —, тогдах^ Ч\^\dii f arctg- = d(и arctgu)=Vx)du1+ и= d(-—y / x/ )r\ + { y/ xY_=x2x dy — у dx _ x dy — у dx9x l9 +i y z9X1x l9 +i y z9A'7.Формула конечных приращений Лагранжа. Пусть функция f( x ) дифференцируема в выпуклой области G С Rn.
Напомним,что выпуклая область есть открытое множество, любые две точкикоторого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда длялюбых двух точек х = (xi,...,xn) G G, у = (yi,...,yn) G G найдетсячисло в € (0 , 1 ) такое, чтоf(y)- f(x)=Y ,*=1*+9 (у -*))(&- **)•(18)Формула (18) называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.О Пусть точки х ,у € G. Так как область G выпукла, то отрезок,соединяющий точки ж и у, лежит в области G.
Поэтому определенафункция одной переменнойip(t) = f ( x ! + t(y! - хг), ...,х п + t(yn - x nj),O ^t^l.(19)Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х252Очевидно, что </э(0) = f(x), ip( 1) = f(y) и что функция ip(t) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производнойсложной функции имеемdfР ' Х = 2 ^ Q ^ \ X1 + % 1 - xl)> •••> Х‘п + t(Pn -Хп )){'Уг- Xi).(20)*i= lПрименим к функции ip(t) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной.
Получаем, что найдется числов £ (0,1) такое, что ip( 1) —уфО) = (р'(9). Используя формулы (19) и(20 ), теперь легко получаем формулу (18). •8.К асательн ая п л оск ость к гр аф и к у ф ун к ц и и д в у х п ер ем е н н ы х . Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л д и ф ф е р е н ц и а л а . Пусть функция f ( x , y ) дифференцируема на открытом множестве Gсмотрим ее графикСR2. РасG rf = {(x,y,z): z = f( x , y ), (х,у) £ G}.Пусть точка Р ( х о, уо? ^о) лежит на Gr / , т. е.гладкая криваяг=zq =/(#о, Уо)? и пусть{х = x(t), у = y(t), z = z(t), a ^ t ^ P }лежит на графике и проходит через точкучтоz(t) = f(x(t), y(t));(# о,Уо? ^о)- Это означает,(x(t0), у (to), z(t0)) = (x0,yo,z0),tQ £ (a,P).( 21 )Дифференцируя тождество (21) в точке to и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаемdfgfdz = - ^ ( x 0,yo)dx + - ^ ( x 0,yo)dy.(22 )Вектор d r = (dx, dy, dz) есть касательный вектор к кривой Г вточке ( х о , у о , Zq).
Введем векторN={х° ’уо) ’ *)•(23)Условие (22) означает, что вектор N ортогонален к касательной ккривой Г в точке (хо, Уо, Zq). Говорят, что вектор N ортогонален ккривой Г в точке Р. Но Г — любая гладкая кривая, лежащая на G r /и проходящая через точку Р. Поэтому вектор N ортогонален к любойкривой, лежащей на Gr / и проходящей через точку Р. Он называетсявектором нормали к Gr / в точке Р.Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная векторунормали N, называется касательной плоскостью к Gr / в точке Р.Ее уравнение естьZ - f(xo,Vо) = ^ - ( х 0,Уо)(Х - х 0) + ^ f ( x o , y 0)(Y - у0).(24)§26.
Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих перем енны х253Прямая, проходящая через точку Р и параллельная вектору N,называется нормалью к Gr / в точке Р. Ее уравнение —X - хо-fx(xo,yo)Y-yo-fy(xo,yo)= Z - f ( x 0 , y 0 ).Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построеннойв точке Р (ж0 , уо, Z q ) <Е G r / .Из (24) получаемz - z0 = ^ { х 0,уо){х -Х0)+ ^ { х 0,уо){у - Уо) = d f { x 0,y 0).Таким образом, df(xo,yo) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис.
26.1).9.Производная по направлению. Градиент. Пустьфункция f ( x , y , z ) определена вобласти G С /?3, и пусть точка Р(хо,уо, zo) G G. Рассмотримлуч, проходящий через точку ипараллельный направлению1 = (cosa, cos/3, cosy),гдеcos2 а + cos2 (д + cos2 7 = 1 .Так как Р — внутренняяточка G, то найдется число toтакое, что отрезокх = Хо + t cos <г, у = уо + t cos /3,z = z0 -h t cosy, - to ^ t ^ to,лежит в области G. Производной функции f ( x , y , z ) в точке (хо,Уо,%о) в направленииd f (т nt ^2ж (ж о, /о ^ о ) = Д т1 назовем/(ж 0 -btcosa, уо + tcos/3, z0 -htcosy) —/(ж0, г/0, 20)------------------------------------- ^-------------------------------------- .Т е о р е м а 5. Если функция f ( x , y , z ) дифференцируема в точкеР(хо,Уо, zo), то производную по направлению 1 в этой точке можновычислить при помощи следующей формулы:x0,yo,z0) = ^ f (xо + ic o sa , у0 + ic o s /З, ;г0 + ic o s 7 )а /»0а ла г0=7= — (a: ,t/o,^o)cosQ ! + — (ж0 , г/о, ^о) c o s /З + — (ж ,г/0, ^о) COS .(25)Гл.
V. Ф ункции м ногих перем енны х254О Формула (25) есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. •Обозначим через grad f(xo, уо, Zq) векторg r a d f ( x 0 , y o , z 0) =( j £ ( x 0 , y o , z 0),^ ( x 0,y0, z0), § ( (* 0, Уо, z0)) •Тогда равенство (25) можно записать в следующем виде:df- ± ( x 0 , y o , z 0) = ( 1 , g r a d / ( ж 0 , Уо, z 0 )).Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)V=i| +j | +k!<2б>и договориться, что векторы, стоящие слева от V, перемножаютсяс V по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа,V действует как дифференциальный оператор, то(1, V) = cosa -If + cos/З -Ц- + cos 7 -Ц-.дхдудгТогда формулу (25) можно записать через оператор Гамильтонаdf- ± ( x 0 , y o , z 0) = ( l , V ) f ( x 0, y o , z 0).У п р а жн е н и е 3. Пусть функция f(x, у, г) дифференцируема во всемпространстве R .
Множество точек f(x,y,z) = Со, Со € R, будем называтьповерхностью уровня функции f(x, у, г). Показать, что вектор grad f(x, у, г)ортогонален к любой гладкой кривой Г, лежащей на поверхности уровня ипроходящей через точку Р{х,у,г).Ука з ание . Обобщить рассуждения п. 8.§ 27. Частные производные и дифференциалывысших порядков1.
Частные производные высших порядков. Пусть во всехточках открытого множества G С R3 существует частная производная d f( x) /dxi- Эта производная как функция х может иметь в некоторой точке х° производную_д_(Щdxj ЧдХг ) х=х° ’которая называется частной производной второго порядка и обозначается одним из символов-<*"),в ‘!dxi dxjА,,„(х0' dxidxj'8>№°>§27. Частные производные и диф ференциалы вы сш их порядков255Если i = j, то для частной производной применяется обозначениеd2f(x°)дх2 'Для функции двух переменных можно записать четыре производные второго порядка в точке (х , у ):d2f(x.,y)дх 'd2f(x.,y)дхдуd2f(x.,y)ду дхd2f(x.,y)ду2Производные f xy(x,y) и f yx(x,y) называют смешанными. Вообщеговоря, они могут быть неравны.П р и м е р 1. Рассмотрим функциюХ~ _ 2{хуу х 2 + у 2’О,х 2 + у 2 > О,ух = у = 0.Покажем, что f xy{0,0) ф f yx{0,0).А Так как/* (У0", 0 ) = 4*У/„ ( 0 , 0 ) = о,приЩ х v) = v д х ( ,У> У х2+ у ■ (х2 + у2)2г^f(x,y) = х дух2 + у4х3у2при(х2 + у2)2’ж" + у" > 0 ,х/ + у" > 0 ,то/У0 , 0 ) = lim= ^/ У 0 , 0) = И т М 2г Д Ь А М = ^ .J уК ’оуТаким образом, f xy{0,0) ф f yx{0,0).
▲2. Теорема о смешанных производных.Т е о р е м а 1. Если обе смешанные производные f xy(x, у) и f yx(x,y)определены в некоторой окрестности точки (хо,Уо) и непрерывны вэтой точке, то / ху(х0,Уо) = 1ух(х0,Уо)О Пусть смешанные производные определены в прямоугольнике П == {(х,у): [а; —ж0) < £, \у ^ Уо\ < ч} и непрерывны в точке (Хо,Уо)•Рассмотрим в прямоугольнике П функциюw ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( x 0, y) - f ( x , y o ) + f ( x 0,yo)-При фиксированном у £ (yg — г/, уо + г/) рассмотрим на интервале(хо —е, жо + е) функцию¥>(t) = f ( t , y ) ~ f ( t , y o ) -Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х256Она дифференцируема на (жо —е, Xq + е) и¥>'(*) = fx(t,y) - fx(t,yo)Функцию w(x,y) можно записать в видеw(x,y) = (р(х) - (р(х0).Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаемw ( x , y ) = tp'(x0 + 9 i ( x - х 0 ) ) ( х - х 0 ) == А х [ / Х(х0 + OiAx, у) - f x (x0 + OiАх, y0)], A x x - ж„.
O < 0 i < l .Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа, ноуже по переменной у, получаемw(x,y) = A x A y f Xy(x0 + 01 Ах, у0 + 92Ау), А у = у - у0, 0 < в 2 <1.Положим теперьф(т) = f( x , т) - f ( x Q, т),Тогда(1)Т €(уо —Т),Уо + п).w(x,y) = ф(у) - гр( у0) = ^ ( у о + взАу) А у ==Уо + 93Ау) - |^ (ж 0, у0 + взАу)^Ау == А х A y f yx(xQ+ вААх, у0 + в3Ау), 0 < в3, вА < 1.
(2)Из (1) и (2) следует, чтоf xy(xо + 01 Аж, уо + 92Ау) = f yx{х 0 + 9, Ах. у0 + 93Ау).Переходя к пределу при (Ах, А у)(0,0) и пользуясь непрерывностью смешанных производных в точке (жо,уо), получаем равенство/ху(хо,Уо) = /ух(хо,Уо)- •З а ме ч а ние . Поскольку для функции п переменных f ( x i , ..., х„) привычислении смешанных производных д2f /dxi dxj и d2f/d x j dxi все переменные, кроме Xi и X], фиксируются, то фактически рассматриваетсяфункция только двух переменных и обе смешанные производные в точке х° равны, если они в этой точке непрерывны.Производные порядка выше первого определяются по индукции.Например, если f ( x , y , z ) — функция трех переменных, тоaP(x,y,z) = д f d2f ( x , y , z ) \ду дг дхдх\дуд г ) 'Если /(ж) — функция п переменных, тоdmfдх^.-.дх^_д (дт- 1/уdxi m \ d x i 1... dxim_ 1 / '(3)По индукции легко доказать, что если производная (3) и все производные порядка то, которые получаются при помощи всевозмож§27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
