Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При такой геометрической интерпретации пространства Я" доказательство неравенства треугольника следует из того, чтодлина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двухдругих его сторон.На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественныхчисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:Р(х,у) = m ax(|xi - y i \ , \ x 2 —2/2 D(1 )§ 2 3 .
П ространство R n223Аксиомы метрики 1°) и 2°), очевидно, выполняются. Проверимнеравенство треугольника.О Из (1) следует, что1*1 - У1 К Р(*,У),|*2 - у 2 \ ^ р ( х , у ) ,а поэтому\ x i - y i \ ^ \ x i - Z i \ + \ z i - y i \ ^ p ( x , z ) + p(z,y)приг=1 , 2.Следовательно,р(х,у) = max(|xi —г/i |, |ж2 —г/г)) ^ р(х, z) + p(z,y). •Уп р а жн е н и е 1. Показать, что на множестве пар вещественных чиселможно определить расстояние между точками формулойр{х,у) = |xi - г/ i | + \х2 - г/г|.Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел х = (ж1 ,Ж2 ,*з) и для х = (ж1 ,Ж2 ,*з) иУ = (УьУз, Уз) определить расстояние р(х,у) при помощи формулыр(х,у) = ((xi - y i )2 + (х 2 - у2)2 + (*з - Уз)2)1/2,то получим метрическое пространство Я3.Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством Я3 устанавливается взаимно однозначное соответствие, прикотором расстояние между любыми двумя точками евклидовогопространства совпадает с расстоянием между соответствующими имточками пространства Я3.
Проверка аксиом метрики проводится также, как и в Я2.2.М етрическое пространство Яп. Точками пространства Я”являются упорядоченные совокупности из п вещественных чиселX = ( Х ! , . . . , Х П ) , у = (У1 , . . . , У„) , z = (zb ...,zn).Расстояние между точками х и у определяется формулой/ »Р(*,У) = f ^ 2/*)2 )^ i- 1\ i /2•/(2)Свойства 1°) и 2°) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.Докажем сначала неравенство Коши/п\ i- 1\ 2/пп« С ^ а 2^2,i=l i=lсправедливое для любых вещественных чисел ai, bi, ..., а П1 bn.Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х224О Рассмотрим квадратный трехчленпР ( 0 = 5 > * + t h i f = А + 2-ВС + с е ,(3)г= 1пппгде А = ^ 2 е , B = '^ 2 a ibi, С = ^ Щ .г= 1г= 1г= 1Так как квадратный трехчлен Р(£) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,В 2 —ДС ^ 0.
Подставляя в неравенство значения коэффициентов А,В и С, получаем неравенство Коши. •Докажем неравенство МинковскогоО Используя неравенство Коши, получаемпп5 5 К + bif55г=1г=1пп~ 2 5 5 a ibi + 5 5 b2i ^г=1г=1Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни,получаем неравенство Минковского (4). •Полагая в неравенстве (4) а, = ж, —г,, Ь, = г, —у,, получаем неравенствот. е. неравенство треугольника для расстояния р(х,у), определяемогоформулой (2 ).На множестве всех упорядоченных совокупностей из п вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положитьПр(х,у) = max \ X i -Уг\, р{х,у) = 5 5 \Хг ~ Уг\г=1,пi =1Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же,как в случае п = 2.
Расстояние, определяемое формулой (2), будемназывать евклидовым.§ 2 3 . П ространство R n225Уп р а жн е н и е 2. Доказать неравенства^ Р(х, у) ^ р(х, у) ^ р(х, у) ^ пр(х, у).(5)В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство Rn. Но те свойствапространства Rn, при доказательстве которых существенны лишьсвойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.3.Сходимость последовательности точек в метрическомпространстве.
Пусть {ж ^} — последовательность точек метрического пространства X . Говорят, что последовательность точек {ж ^}сходится к точке а (имеет предел а) и пишут lim ж ^ = а, еслик-* ООlim р(х^к\а ) = 0. Последовательность точек {ж ^} называется огра-к - Доониченной, если З С £ R и За £ X такие, что для любого к £ N выполнено неравенство р(х^к\а )С.Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.Л е м м а 1. Если последовательность {ж ^} имеет предел, то онаограничена.О Пусть lim ж ^ = а, тогда lim р(х^к\а ) = 0.
Поэтому числоваяк-Доок —* оопоследовательность {р(х^к\ а ) \ ограничена, т. е. З С £ R такое, чтодля любого к £ N выполнено неравенство р(х^к\ а) ^ С. •Л е м м а 2. Последовательность {ж ^} не может сходиться к двумразличным точкам.О Пусть lim ж ^ = а и lim ж ^ = Ъ. В силу неравенства треугольk - Доок —t o oника для любого к £ N выполнено неравенство0 «С р(а,Ь) «С р(а ,х (к)) + р(х(к],Ь).Так как числовые последовательности р(а,х(к)) и р(х^к\Ь) бесконечно малые, то р(а, Ъ) = 0. Поэтому а = Ъ. •Шаром радиуса г с центром в точке а £ X будем называть следующее множество точек метрического пространства X:S r(a) = {ж: ж £ X , р(х,а) < г}.У п р а жн е н и е 3. Доказать, что для сходимости последовательноститочек метрического пространства к точке а необходимо и достаточно, чтобы любой шар Sr(a) содержал все точки последовательности {ж^Д, заисключением, быть может, конечного числа точек.Л е м м а 3. Для того чтобы последовательность точек {ж ^}метрического пространства Я” , где ж ^ = (х[к\ ..., xffi), сходилась кГл.
V. Ф ункции м ногих перем енны х226пределу а = ( a i,..., ап), необходимо и достаточно, чтобы выполнялисьравенстваlim х ^ = a>i, г = 1 , те.к-* ооО Пусть lim х ^ = а. Так как lim р(х^к\ а ) = 0, то при i = 1,пк—*оок—*оополучаем/ пО «С \х(к) - Oj| ^Vj =iЧ1 /2'1 - a j f I = p(x{k), a) -+ 0/приjfe -+ oo.Наоборот, если при любом i = 1,п выполнено условие lim |ж ^ ——Oj| =к—*ОС0 , то/ пр(х(к\ а ) = (\ i- 1ч 1/ 2^ щ )2 I/->-0 при к —Уоо.
•Последовательность точек {ж ^} метрического пространства Xназывается фундаментальной, если Ve > 0 3 N € N такое, что У к ^ Nи Vto ^ N выполнено неравенство р(х^к\ х ^ т'1) < е .Л е м м а 4. Если последовательность точек {ж ^} метрического1J* "1пространства XЛГ сходится,то она фундаментальна.О Пусть lim х ^ = а. Тогда Ve > 0 3 N € N такое, что У к ^ N и Vm ^к—^оо^ N выполнены неравенства р(х^к\ а) < - и р(х^т\ а) <Ук ^ N и Vto ^ N в силу неравенства треугольникар(ж «, ж(го)) «С p{x^k\f а) + р(а, ж(го)) < | + | =е.Поэтому•Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно.
Фундаментальная последовательность может и небыть сходящейся.Метрическое пространство X называется полным, если любаяфундаментальная последовательность его точек сходится.В силу критерия Коши сходимости числовой последовательностипространство R вещественных чисел полное.Т е о р е м а 1. Пространство Rn полное.О Пусть {ж «} — фундаментальная последовательность точек в Rn.ЕслиХ к ) _ / (*)(fcbто числовые последовательности {ж,-*'*} фундаментальны при i = 1 ,п.В самом деле, Ve > 0 3 N такое, что для любых к.
то iy Л" выполненонеравенство р(х^к\ х ^ т'1) < е . Но\х(к) - жгМ I «С р{х(к), х (т) ) < £ ,i = Его.§23. П ространство R n227Числовая последовательность {ж-^} в силу критерия Коши является сходящейся при i = 1, п. По лемме 3 сходится и последовательностьточек { х ^ } в Rn. •4.Открытые и замкнутые множества в метрическомпространстве. Шар радиуса г с центром в точке а определяетсякак множество Sr (a) = {ж: х е X , р(х,а) < г}.Шар в R есть интервал (а —г, а + г), шар в R 2 — круг (х\ — ад)2 ++ (х 2 — Q-2)2 < г2, шар в /?п — множествоNSr (a) = < х: х = (xi,- a i )2 < г 2 Lп) € / ? ” ,2=1^Пусть М есть множество точек в метрическом пространстве X .Точка х° Е М называется внутренней точкой множества М, если3 5е(ж°) С М, т.
е. точка ж принадлежит множеству М вместе с некоторым шаром с центром в точке х. Совокупность всех внутреннихточек множества М называется его внутренностью и обозначаетсяint М. Очевидно, что int М С М. Если int М = М, т. е. все точкимножества М внутренние, то множество М называется открытымв метрическом пространстве X . Пустое множество считается открытым по определению.П р и м е р 1. Шар в метрическом пространстве — открытое множество.Д Действительно, пустьSc{a) = {х: р(х,а) < С },и пусть точка ж Е Sc (а), р(х,а) < С.
Положим е — С — р(х,а). ШарS£(x) С Sc (a ) (рис. 23.1). В самом деле, еслих Е S£(x), то р(х,х) < £. В силу неравенства треугольника получаемр(х, а) ^ р(х, ж) + р(х, а) < е + р(х, а) =— С — р (ж, а) + р{ ж, а) = С.Следовательно, ж Е Sc (а)- Так как ж — произвольная точка шара S£(ж), то 5е(ж) С Sc (а).Итак, любая точка ж шара S c (а) принадлежитему вместе с некоторым шаром S£(ж). ПоэтомуS c (а) есть открытое множество. АТ е о р е м а 2. Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:1 ) все пространство X и пустое множество 0 — открытыемножества;2 ) объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;3) пересечение конечного числа открытых множеств — открытоемножество.Гл. V.
Ф ункции м ногих перем енны х228О Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть G = (J Ga,a GАгде Ga — открытые множества. Пусть точка о б G. Тогда существуета € А такое, что a € Gy. Но множество Gy открытое. Поэтому существует шар Se(a) С Ga- Тем более, S e(a) С G. Итак, а — внутренняяточка множества G. В силу произвольности точки а множество Gоткрытое.ПДокажем 3).
Пусть G = f) G,, где G, — открытые множества.г=1Возьмем любую точку a € G. Тогда a € G, при i = 1,п. Так какмножества G, открытые, то существуют шары Se.(a) С Gi- Пустье = min £j. Тогда Se(a) С Gi, i = 1,ri. Поэтомуг=1 ,nпSe(a)С f|Gt=G,г=1и, следовательно, G есть открытое множество. •У п р а ж н е н и е 4. П о казать, ч то п ер есечен и е бескон ечн ого м н о ж еств ао т к р ы т ы х м н о ж еств м о ж ет не бы ть о т к р ы т ы м м н о ж ество м .5.П редельны е точ ки . З а м к н у т ы е м н ож ества. Пусть X —метрическое пространство. Окрестностью точки х° G X будем называть любое множество 0 (х°), для которого точка х° является внутренней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
