Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 36
Текст из файла (страница 36)
\г (t) = ^ 2 — ^ ~ ( t - t 0) k + e ( t - t 0),(2 9 )к =0где e ( t —to) = o ( ( t — t o) n ) — вектор-функция такая, что e ( t —to) == (t - t o) n £ i ( t - to), где Si (t - to) - ^ 0 при t ->• t 0.Эта формула справедлива в предположении, что существует(to). Длядоказательства формулы (29) достаточно воспользоваться локальной формулой Тейлора для компонент вектор-функции г (t).§ 22. Кривые1.Понятие простой кривой. Пусть в трехмерном пространствевыбрана прямоугольная система координат O x y z, и пусть на отрезке [а,(3\ заданы непрерывные функции х = x(t), у = y(t), z = z(t).Тогда говорят, что заданонепрерывное отображение отрезка [а, /3\ в трехмерное пространство.
Числа x(t), y(t),z(t) можно рассматриватькак координаты точки М(рис. 22.1), где М = M ( t),или как координаты вектораг (t) с началом в точке Ои концом в точке М , т. е.О Й = г (t) = (x(t), y(t), z(t)).Если считать, что переменное t есть время, то уравненияX = x(t),y = y(t),z = z(t),a ^t^/3 ,(1)§22. Кривые201определяют закон движения точки M (t), а множество точек M(t),соответствующих всевозможным значениям t из отрезка [а ,/3], можно рассматривать как след (путь) точки, движущейся по закону ( 1 ).З а м е ч а н и е 1. В общ ем сл у чае закон д в и ж ен и я м ож ет бы ть оченьслож ны м .
Н апри м ер, су щ е с т в у ю т т а к и е н еп р ер ы вн ы е на о т р е зк е \а, /3]ф ун к ц и и x( t ) , y( t ) , z( t ) , что т о ч к а M ( t ) , д в и ж у щ а я ся в с о о т в е тс тв и и с законом ( 1 ), п р о й д ет ч ер е з к а ж д у ю т о ч к у некоторого куба.Предположим, что любым двум различным значениям t\ и t -2 изотрезка [а, (3\ соответствуют различные точки M (t\) и M f a ) пространства, и обозначим через К множество всех точек М (х, у, z )пространства, координаты которых определяются формулами ( 1 ).Будем говорить, что точка M f e ) £ К следует за точкой M (t\) ££ К или точка М (ti ) предшествует точке М (^ ), если а ^ t\ < t -2 ^ (3.Введенное правило следования точек устанавливает порядок на множестве К . Упорядоченное указанным способом множество К будемназывать простой кривой Г и записывать уравнение этой кривой либов координатной формеГ = {х = x(t), у = y(t), z = z(t), a ^ t ^ / 3 } ,(2)либо в векторной формеГ = {г = г (t),ft},(3)ГД 6г = (х, у, z ), r(t) = (x(t),y(t), z(t)).Условимся переменное t в уравнениях (2), (3) называть параметромкривой Г.
Точки М (а) и М((3), соответствующие значениям а и (3параметра кривой Г, будем называть начальной точкой (началом)кривой и конечной точкой (концом) кривой.Согласно определению простой кривой отображение (1) является взаимно однозначным: каждому значению t £ [а, (3\ соответствуетединственная точка М (t ) £ Г, и наоборот, каждой точке М £ Г соответствует единственное значение t £ [a,ft\.Если простая кривая Г лежит в некоторой плоскостито этукривую называют плоской. В частности, если плоскостьсовпадаетс плоскостью О ху, то уравнение кривой Г имеет видГ = {х = x(t), у = y(t), г = 0, a ^ t ^ / 3 } .Обычно в этом случае опускают уравнение z = Он записывают уравнение кривой в видеГ = {х = x(t), у = y(t),ft}.Например, уравнениемГ = {х = Rcost, у = R sin t, 0 ^ t ^ 7г},Гл.
IV . Производная и ее приложения202где R > 0, задается полуокружность радиуса R, лежащая в верхнейполуплоскости (у ^ 0) и “пробегаемая” против часовой стрелки. График функции у = f(x ) , непрерывной на отрезке [а, (3\, можно рассматривать как простую плоскую кривую Г, заданную уравнениемГ = {х = t, у = f(t), a ^ t ^ / 3 } .2.П ар ам етр и зу ем ы е кри вы е. Если существуют два различных значения t\ и t -2 из отрезка [а,(3\ таких, что M (t\) = M (t 2 ), тоотображение ( 1 ) отрезка в трехмерное пространство не является взаимно однозначным.Предположим, что отрезок [а,(3\ можно разбить на отрезки А*, == [tk- i , t k], к = 1 ,п, где а = to < t i < ...
< t n- 1 < t n = fi, такие, чтокаждое из непрерывных отображенийx = x(t),y = y(t),z = z(t),t € А к,к=1,п,является взаимно однозначным и, следовательно, определяет простуюкривуюТ к = { х = x ( t ) , у = y ( t ) , г = z ( t ) , t G А к }.Тогда будем говорить, что уравнения (2) задают параметризуемуюкривую Г или что кривая Г параметризована при помощи уравнений (2), где под кривой Г понимают упорядоченную совокупность(Fi, ...,Г„) простых кривых таких, что конечная точка кривой Г*, совпадает с начальной точкой кривой Гfc+i, к = 1,п — 1. В этом случаеговорят также, что “кривая Г разбита на простые кривые Г 1 ,...,Г П”или что “кривая Г составлена из простых кривых Гк, к = 1.
и" ипишут Г = Г 1 Г 2 ...Г„, а каждую из кривых Г*, называют частьюкривой Г или простой дугой кривой Г.З а м е ч а н и е 2. Одна и т а ж е к р и в а я Г м о ж ет бы ть п ар ам етр и зо ван аразл и ч н ы м и способам и. Мы будем р а с с м а т р и в а т ь то л ько т а к и е п ар ам ет ри зац и и , ко то р ы е п о л у ч аю тся и з данной п ар ам е тр и за ц и и (2) п у т е м предс тав л ен и я п ар ам ет р а t в виде непреры вн ой стр о го в о зр астаю щ ей ф ун к ц и идруго го п ар ам етр а.Э то о зн ачает, что если н а р я д у с п р едставлен и ем кр и вой Г ч е р е з п арам етр t у р ав н ен и ем (3) э т а к р и в а я п р ед ставлен а ч е р е з п ар а м етр s у р ав н ениемГ ={(> =1>(н).п- ^ к ^I}.(4)то долж но в ы п о л н я ть ся условие: s = s(t ) — н еп р ер ы вн ая стр о го в о зр ас та ю щ ая ф у н к ц и я на о т р е зк е [а, /3], п ричемs(a) = ai,s(/3) = /3i, p ( s ( t ) ) = r ( t )для всех t €[ a.
, / 3].(5)В это м сл у чае на о т р е зк е [ai,/3 i] определена н еп р ер ы вн ая и стр о го возр астаю щ ая ф у н к ц и я t = t ( s) , о б р атн ая к ф у н к ц и и s = s(t ), и для всехs G [ai,/3 i] в ы п о лн яется рав ен ств оp(s) =r(t(s)).(6)З а м е ч а н и е 3.
У словим ся в дальнейш ем , если не оговорено п р о ти в ное, для зап и си у р ав н ен и й к р и в ы х и сп о л ьзо вать то л ько п ар ам етр и зац и и ,у к а за н н ы е в зам еч ан и и 2 , и н а зы в а ть их допустимыми.203§22. КривыеПусть параметризуемая кривая Г задана уравнением (3), и пустьсуществуют значения t\ и £2 (£1 ф £2) из отрезка [а, (3\ такие, чтоr(£i) = г ( £ 2 ). Тогда говорят, что точка Mi (яд, 2/1, zi), где х\ — x{t\) == ж(£2), У\ = y(ti) = 2/(^2), ^1 = z(ti) = z(£2), является точкой самопересечения (кратной точкой) кривой Г.Если равенство r(£i) = г(£2) выполняется при t\ = а, £2 = /3, токривую Г называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющуюточек самопересечения, отличных от точки Mi (х (а), у (a), z (а)), будем называть простым контуром.Например, криваяГ = {х = cost, у = sin£, 0 ^ £ ^ 27г}является простым контуром.
При изменении £ от 0 до 27т точкаM(cos£,sin£) “описывает” единичную окружность, двигаясь противчасовой стрелки. Точка плоскости Оху с координатами (1,0) является одновременно начальной и конечной точкой кривой Г.3.Касательная к кривой . Пусть кривая Г задана уравнением (3), где г(£) — вектор-функция, дифференцируемая в точке £0 ЕЕ [а,/3], причем г'(£0) ф 0. ТогдаA r = r (£0 + At) - г(£0) = r'(£o) A t + Д£а(Д£),(7)где а(Д£) —>• 0 при А£ —>• 0. Из условия г'(£0)/ 0 иравенства (7) следует, что при всех достаточно малых A t ф 0правая часть (7) естьненулевой вектор, и поэтому Аг ф О,Касательнаят. е.
существует число S > 0 такое, чтоесли0 < |Д £ | < S,to + Д £ Е [а ,/3],(8 )то г (£0 + At) ф г (£0).Пусть М 0 и М — точки кривой Г,соответствующие значениям параметра £0 и £0 + Д£ (рис. 22.2). Проведемчерез эти точки прямую и назовем еесекущей.ГЕсли г'(£о) Ф 0, то при всех знаОчениях Д£, удовлетворяющих условиРис. 22.2ям (8 ), ненулевой вектор Дг = г(£о ++ Д£) —г(£о) параллелен секущей, и поэтому вектор — также параллелен секущей. Уравнение секущей имеет видг = r(t0) + ^А,X е R.(9)Пусть существует предельное положение секущей, т.
е. сущестАгвует lim —— ф 0. Тогда прямая, уравнение которой получается изAt^o Atдгуравнения (9) заменой отношения — его пределом, называется касательной к кривой F в точке М0.204Гл. IV . Производная и ее приложенияУ т в е р ж д е н и е 1. Если г '(to) ф 0, то существует касательная ккривой Г в точке M q, и уравнение этой касательной можно записатьв видег = r(to) + r'(t 0)X, Л е я .( 10 )О Если функция г (t) дифференцируема при t = to и г '(to) ф 0, тоАгсуществует Jim — = г '(to), и по определению прямая ( 10 ) являетсякасательной к кривой Г в точке M q. •В координатной форме уравнение (10) имеет видх = x (t0) + Xx'(t0),у = у (t0) + Ху'(t0),z = z(t0) + Xz'(t0),Л е Я,а в канонической форме уравнение касательной записывается в видеX - x(tp) _ у - у (to) _ Z - z(to)x'(to)у'(to)z'(to) '4.П онятие гладкой кри вой .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
