Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть выполняется условие (1) и пусть х±,Ж2 — произвольные точки интервала (а,Ь), причем Жг < Ж2 - Применяяк функции /(ж) на отрезке [жг,Ж2] теорему Лагранжа, получаем/ ( ж2) - /(жг) = /'(С)(ж 2 - Жг),где /'(£ ) ^ 0, так как £ € (а, Ь). Отсюда следует, чтоУжг,Ж2 € (а,Ь): Ж2 > Х\ —¥ /(жг) ^ f ( xi ) .(4)Это означает, что функция /(ж) является возрастающей на интервале (а, Ь). •б)Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.Т е о р е м а 2. Если для всех ж € (а, Ь) выполняется условие/'(ж ) > 0,(5)то функция /(ж) строго возрастает на интервале (а,Ь), а если дляесеж ж € (а, Ь) справедливо неравенство/'(ж ) < 0 ,(6 )то функция /(ж) строго убывает на интервале (а,Ь).О Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие (5).
Пусть Жг и Ж2 — произвольные точки интервала(а, Ь) такие, что х± < Ж2 - По теореме Лагранжа/(ж 2) - /(жг) = /'(С)(ж 2- жг), где С G(а, Ъ).Отсюда и из условия (5) следует, что / ( Ж2 ) > f ( x i ) . Этоозначает, чтофункция /(ж) строго возрастает на интервале (а,Ь). •П р и м е р 1.
Доказать, что функции вЬж и Л ж строго возрастаютна R.А Так как ( sh ж)' = сЬж > 0 и ( th ж)' = , „ > 0 для всех ж € R, тоС П 2Жпо теореме 2 функции вЬж и Л ж являются строго возрастающимина R. ▲Гл. IV . Производная и ее прилож ения178З а м е ч а н и е 1. Условие (5) не я в л я е т с я н еобходи м ы м для строгогов о зр ас т ан и я ф ункц ии . Н априм ер, ф у н к ц и я /(ж ) = х 3 стр ого в о зр а ст ае т на R(§ 9, п рим ер 9), но условие (5) не вы п ол н яется, т а к к а к / '( 0 ) = 0.Т е о р е м а 3.
Если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (а,Ь) и удовлетворяет условию (6 ), тоэта функция строго убывает на отрезке [а, Ь].О Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулыконечных приращений Лагранжа. •П р и м е р 2. Доказать, что если 0 < х < —, то2sin ж > - X.2(Д7ГД Рассмотрим функцию /(ж) =рывна на отрезкепричем /'(ж) =cos хcos^xх-, /(0) = 1. Эта функция непреи дифференцируема на интервалеч(х —tgx) < 0 , так как на интервале ^0 , ^выполняются неравенства cos ж > 0, tg x > х (§ 12, (3)).
По теореме 3 функция /(ж) строго убывает на отрезке |о,, и поэтому /(ж) >г(с\sin ж > —2 , равносильдля жЕ 0 , — , т. е. выполняется неравенство ----V2х/7гное на интервале ^0, ^ неравенству (7).Геометрическая интерпретация неравенства (7): на интервале ^0, ^ график функции у = sin ж лежит выше2графика функции у — —ж (рис. 20 .1 ). От7Гметим, что sin ж ^ - ж при ж Е 0, — ,Рис. 20.17гL2Jпричем при ж = 0 и ж = ^ неравенство (8) обращается в равенство. Ав)Возрастание (убывание) функции в точке. Будем говорить, чтофункция /(ж) строго возрастает в точке жо, если существует 5 > 0такое, чтоVx£ (х 0 - 5 , х 0)f ( x ) < /(жо),Vx е (ж0,ж0 + S) -» /(ж) > /(ж 0).Заметим, что условие (9) равносильно условиюf(x) -/(ж о )> 0,X С и д ( х о) .(10 )X —ЖоАналогично вводится понятие строгого убывания функции /(ж) вточке жо- В этом случае/ ( * ) ~ / Ы <0)ж — Жох е щ Хо)_§ 2 0 .
И сследование ф ункций с помощ ью производных179Т е о р е м а 4. Если f ' ( x о) > 0, то функция /(ж) строго возрастаетв точке Хо, а если f ' ( x о) < 0 , то функция /(ж) строго убывает в точке ХоО Пусть, например, f ' ( x о) > 0. Из определения производной следует,что по заданному числу е = f ' ( x о) > 0 можно найти 6 > 0 такое, чтоf i x) —±А—fixci)1 —ф'(х Л <для всех х £ Us(xo) выполняется неравенство ELJ.—х— Хо< f ' ( x о), откуда следует утверждение (10 ).Аналогично рассматривается случай f ' ( x о) < 0.
•2. Экстремумы функции.а) Необходимые условия экстремума. Понятие локального экстремума было рассмотрено в § 17. Необходимые условия экстремумалегко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции /(ж) следует искать среди тех точекобласти ее определения, в которых производная этой функции либоравна нулю, либо не существует.В дальнейшем будем часто опускать слово “локальный” при формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстремума.Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которыхфункция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не существует, — ее критическими точками.
Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек.Точка х = 0 является критической точкой для каждой из функцийу = х 2, у = х 3 (рис. 9.8), у = |ж| (рис. 14.4), у = la) 1/2(рис. 14.6),у = у/х (рис.14.5), причем для функций у = х 2, у = |ж|, у = |ж|3/2точка х = 0 — точка экстремума, а для функций у = х 3, у = ж1/3 этаточка не является точкой экстремума.Таким образом, не всякая критическая точка является точкойэкстремума функции.б) Достаточные условия экстремума. Введем понятие строгогоэкстремума.
Назовем Xq точкой строгого максимума функции f(x),если35 > 0 : Уж G Us (xq) ->■ /(ж) < / ( ж0).(11)Аналогично, Xq называют точкой строгого минимума функции /(ж),если3(5 > 0 : Уж € Us (xq) ->■ /(ж) > / ( ж0).( 12 )Отметим, что если функция /(ж), определенная в (5-окрестноститочки Жо, строго возрастает на промежутке (жо —<5,Жо] и строго убывает на промежутке [жо,Жо + 6), то выполняется условие ( 1 1 ), и поэтому Хо является точкой строгого максимума функции /(ж).Аналогично формулируется достаточное условие строгого минимума.Гл. IV . Производная и ее прилож ения180Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференцируемых функций. Для формулировки первого достаточного условия ив дальнейшем (п. 5) нам потребуется понятие смены знака функции.Если функция д{х) определена в проколотой ^-окрестности точки хо и для всех х Е (жо — £, жо) выполняется неравенство д(х) < 0 , адля всех х £ (хо,хо + S) — неравенство д(х) > 0 , то говорят, что функция д{х) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку xq.Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус припереходе через точку ж0З а м е ч а н и е 2.
Если хо — т о ч к а стр о го го э к с т р е м у м а ф у н к ц и и /(ж ),т. е. вы п о л н яется одно из условий (11), (12), то р азн о сть /(ж ) — / ( жо) сох р а н я е т зн ак в U s ( x 0).О братно: если р азн о сть /(ж ) — / ( жо) со х р ан яет зн ак в Us(жо), то жо —т о ч к а стр о го го э к с т р е м у м а ф у н к ц и и /(ж ).Если ж е эт а р азн о сть м ен яе т зн ак при переходе чер ез т о ч к у жо, то ф у н к ция /(ж ) не и м еет э к с т р е м у м а в т о ч к е жо.Т е о р е м а 5 (первое достаточное условие строгого экстремума).Пусть функция /(ж) дифференцируема в некоторой окрестности точки ж*о, кроме, быть может, самой точки жо, и непрерывна в точке х$.Тогда:а) если f' (x) меняет знак с минуса на плюс при переходе черезточку жо, т.
е. существует S > 0 такое, чтоУх е (х 0 - 5 ,хо) ->■ f ( x ) < 0,Ух е (х 0 , х 0 + 6 ) -> f ( x ) > 0,то жо — точка строгого минимума функции / (рис. 20 .2 );б) если f' (x) меняет знак с плюса на минус при переходе черезточку жо, то xq — точка строгого максимума функции / (рис. 20.3).Xq—8XqЖ д + (5Рис. 20.2XXq—8XqЖ д + (5XРис. 20.3О Пусть функция f' (x) меняет знак с минуса на плюс при переходечерез точку жо, тогда выполняется условие (13).Если ж — произвольная точка интервала (жо —S, жо), то функция / дифференцируема на интервале (ж,жо) и непрерывна на отрезке [ж, жо]- По теореме Лагранжаf ( x) - f ( x о) = f ' ( 0 ( x - Хо),§ 2 0 .
И сследование ф ункций с помощ ью производных181где / '( / ) < 0, так как Xq —8 < х < S, < х ц И 1 - 1 о < 0 . Отсюда следует, чтоУж G (ж0 - 8, х 0) - 1 /(ж) > / ( ж0).(14)Аналогично,применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) на отрезке [жо,ж], где Жо < ж < Жо + 8 , получаем, чтоУж € (ж0,ж0 + 8 ) —¥ f ( x) >/(ж 0).(15)Из условий (14) и (15) следует утверждение (12). Этоозначает, чтоЖо — точка строгого минимума функции /(ж).Аналогично рассматривается случай строгого максимума.
•З а м е ч а н и е 3. Если хо — т о ч к а стр о го го э к с т р е м у м а ф у н к ц и и /(ж ),то и з это го не следует, что ф у н к ц и я / ' ( х ) м е н я е т зн а к при переходе чер езт о ч к у хо (см . упр. 9 к гл. IV ).Т е о р е м а 6 (второе достаточное условие строгого экстремума).Пусть Хо — стационарная точка функции /(ж), т. е./ ' ( жо) = 0 ,(16)и пусть существует / " ( жо).Тогда:а) если /"(ж) > 0 , то Хо — точка строгого минимума функции /(ж);б) если / " ( Жо) < 0 , то Хо — точка строгого максимума функции /(ж).О Если / " ( Жо) > 0, то по теореме 4 функция /'(ж ) является возрастающей в точке Жо, т. е. существует 8 > 0 такое, чтоУж G(ж0- 8, х 0)-1 /'(ж)< / ' ( ж0) = О,Уж G (ж0 , ж0 + £) - 1 / ' ( ж ) > / ' ( ж0 ) =О,откуда следует, что /'(ж ) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку Жо- Согласно теореме 5 точка Жо — точка строгого минимума функции /(ж).
Аналогично рассматривается случай/ " ( ж0) < 0 . •Например, если /(ж) = ж2, то /'(0 ) = 0, /"(0 ) = 2, и поэтому Жо == 0 — точка строгого минимума функции /(ж) = ж2.З а м е ч а н и е 4. Если f ' ( x o ) = 0 и f " ( x o ) = 0, то в т о ч к е хо ф у н к ц и я /м ож ет и м ет ь э к с т р е м у м (/(ж ) = ж4, жо = 0), а м о ж ет и не и м еть (/(ж ) = ж3,жо = 0). С ледую щ ая т ео р е м а дает до стато ч н ы е усл о ви я э к с т р е м у м а дляс л у ч а я / " ( жо) = 0.Т е о р е м а 7 (третье достаточное условие строгого экстремума).Пусть существует f t 71'1 (жо), где п > 2, и выполняются условия/'(жо) = /"(жо) = ... = ф ^ Ц х о ) = о,/ (П)Ы # 0 .(17)(18)182Гл. IV . П роизводная и ее прилож енияТогда:а) если п — четное число, то Xq — точка экстремума функции /(ж), а именно точка строгого максимума в случае /("■’(жо) < Ои точка строгого минимума в случае f t 71'1 (жо) > 0 ;б) если п — нечетное число, то Xq не является точкой экстремума функции /(ж).О Используя локальную формулу Тейлора для функции /(ж) в окрестности точки Хо и условия (17), получаем/(ж) - / ( ж0) = ^~ х о)п + о{ (ж - ж0)” ).(19)Из условия (18) следует, что равенство (19) можно записать в виде/(ж) - /(жо) = в ^ ( *где а(х) = о(1) —¥ 0 при ж —¥Жо,(20 )- *о)"(1 + Ф ) ) ,так как Со((ж —Жо)” ) =при С ф 0 (С = const).
Поэтому 35 > 0: Уж €откуда следует, чтоо((ж —Жо)” )жо) —t |а(ж)| <1 + а(х) > 0 для ж G Us (xq)-(2 1 )Из равенства (20) в силу условия (21) получаемsign ( /( ж Ь /( ж о ) ) = sign ( / ( ^( жоХж^жо) ”)Уж G Us(xo).(22)а) Пусть п — четное число (те = 2к), тогдаУж € Us (xq) —t (ж —жо)” = (ж —жо)2* > 0 ,и из равенства (22 ) получаемsign (/(ж) - /(ж 0)) = sign / ( ”) (ж0).Если / ( ”)(ж0) > 0, то для ж € Us(xo) выполняется неравенство/(ж) - /(ж 0) > 0 .Это означает, что Xq — точка строгого минимума функции /(ж).Аналогично, если /("■’(жо) < 0, то/(ж) —/(ж 0) < 0 дляж G Ug(x0),т. е.
Хо — точка строгого максимума функции /(ж).б) Пусть ri = 2к + 1, тогда из формулы (22) следует, что разность/(ж) —/ ( Жо) меняет знак при переходе через точку жо, так как функция (ж —Жо)2*+1 меняет знак при переходе через точку Жо- Это означает, что Жо не является точкой экстремума функции /(ж). •§ 2 0 . И сследование ф ункций с помощ ью производных183П р и м е р 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
