Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Формула конечных приращений Лагранжа.Т е о р е м а 3 (Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, 6), то в этом интерваленайдется хотя бы одна точка £ такая, чтоm -f(a ) =m (b-a).(1 1 )О Рассмотрим функциюip(x) = f {x) + Аж,где число А выберем таким, чтобы выполнялось условие ср(а) = ip(b),т. е. /(а ) + Aa — f{b) + АЪ. Отсюда находимА=(12)о —аТак как функция ip(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале (а, b) и принимает равные значения в концах этогоинтервала, то по теореме Ролля существует точка £ Е (а, b) такая, чтоу/(£) = /'(£ ) + А = 0.
Отсюда в силу условия (12) получаем равенство/ ’к ) =: f (<,).из»равносильное равенству ( 1 1 ). •З а м е ч а н и е 4. П равая ч ас ть ф орм улы (13) равна у гло в о м у коэф ф и ц и ен ту секущ ей , ко то р ая проходи т чер ез то ч к и A ( a , f ( a ) ) и B ( b , f ( b ) ) г р а ф ика ф у н к ц и и у = /(ж ), а левая ч ас ть этой ф орм улы равна у гло в о м у коэф ф и ц и ен ту касател ьн о й к г р а ф и к у в то ч к е ( £ ,/ ( £ ) ) . П оэтом у тео р ем аЛ агр ан ж а и м еет следую щ ую ге о м е тр и ч е с к у ю и н тер п р етац и ю : су щ ес тв у е тзн ачен и е £ Е (а,Ь ) так о е, что к аса те л ь н ая к г р а ф и к у ф ун к ц и и у = f ( x )в т о ч к е ( £ ,/ ( £ ) ) параллельна секущ ей (рис.
17.7), соеди н яю щ ей т о ч к иA(a,f(a)) и B{b,f{b)).З а м е ч а н и е 5. П усть ф у н к ц и я / у д о в л етво р я ет усл ови ям т ео р ем ы 3.Если жо Е [а, Ь], а п риращ ен и е Аж ф 0 тако во , что т о ч к а жо + Аж т а к ж е при н ад л еж и т о т р е зк у [а, Ь], то, п р им ени в те о р е м у Л агр ан ж а к ф у н к ц и и /(ж )Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения154на о т р е зк е I с конц ам и хо ип олучи мхо + Ах (Ахf ( x 0 + Ах) -м о ж ет бы ть и о тр и ц а тел ь н ы м ),f ( x 0) = Дх/'(£),(14)где £ — н еко то р ая в н у т р е н н я я т о ч к а о т р е зк а I.П у стьАх> 0; т о гд а 0 < £ — хо <Ах(рис.
17.8), и п о это м у 0 < - — — < 1.АхПолагая в = -——, получаемАх’J£ = хо + 0 Д х ,где0 < 0 < 1.(15)А налогично, если Ах < 0, то 0 < хо — £ < | Д х | (рис. 17.9), и п оэтом у^ < 1., тт01 К\U<П олагая в =Ci ------- =, снова получаем р ав ен ст в о (15),—А х—А хАхгде 0 < В < 1.С ледовательно, р ав ен ств о (14) м ож но зап и са ть в видеf ( x о + А х ) - /( х о ) = А х /'( х о + 0 А х ) ,(16)где 0 < 0 < 1.Ф орм улу (16) н азы в аю т формулой конечных приращений Лагранжа.
Онадает то чн о е в ы р аж ен и е для п ри р ащ ен и я ф у н к ц и и , в о тл и ч и е от приближ енного р а в ен ств а/(х о + Ах) - / ( х 0) и Д х / '( х 0),к оторое и ногда н азы в аю тформулой бесконечно малых приращений.П р и м е р 1. Доказать, что1п(1 + ж ) < ж при х > 0,|arctgX 2 — arctgxi||жг —жг|, х \ € R,i s € R.(17)(18)Д а) Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) = ln(l + ж) на отрезке [0 , ж], где х > 0 , получаем 1п (1 + ж) =1+£х.
откуда следуетнеравенство (17), так как 0 < £ < х.б)По теореме Лагранжа для функции arctg ж на отрезке с концамиЖг и Ж2 находимarctgх 2 — arctg жг =1откуда получаем | arctgЖ2 — arctgжг| =1о< —Ц - «с 1 . ▲1 + £21+?■(жг —х±),^^ |жг —Жд |, так как1 +?"Полагая в соотношении (18) Ж2 = ж, х± = 0, получаем| arctgж| ^ |ж|,ж € R,(19)и, в частности,0 ^ arctg ж ^ ж, ж ^ 0 .(20 )§17. Основные т еоремы для диф ф еренцируемых ф ункций1554. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.С л е д с т в и е 1. Если функция /(ж) дифференцируема на интервале(а, Ъ) и /'(ж ) = 0 для всех х € (а, Ъ), то/(ж) = С = const,х € (а,Ь).О Пусть Хо — фиксированная точка интервала (а,Ь), х — любаяточка этого интервала.
Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж)на отрезке с концами Xq и х , получаем/(ж) - f ( x о) = (ж - жо)/'(О )где £ G (а, Ь), /'(£ ) = 0, откуда /(ж) = / ( ж0) = С. •С л е д с т в и е 2. Если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а,Ь],дифференцируема на интервале (а, Ъ) и для всех ж G (а, Ъ) выполняетсяравенство /'(ж ) = к, где к — постоянная, тоf ( x ) = kx + B ,ж € [а, Ь],т. е. / — линейная функция.О Применяя теорему Лагранжа к функции / на отрезке [а,ж], гдеа ф ж ^ Ь, получаем /(ж) —/(а ) = к (ж —а), откуда следует, что /(ж) == кх + В, где В = f ( a ) —fca. •С л е д с т в и е 3.
Пусть функция /(ж) дифференцируема на интервале (а,Ь), за исключением, быть может, точки Xq € (а,Ь), и непрерывна в точке Xq. Тогда если существует конечный или бесконечныйlim/'(ж ) =(2 1 )А,х—^хо —Ото в точке Xq существует левая производная, причемГ - Ы = А.(22)Аналогично, если существуетlimх—^жоН“0/'(ж ) =В,(23)тоГ+(хо) = В.(24)О ПустьприращениеАж таково, что Ажф0иточкаЖо + Аж принадлежит интервалу(а,Ь). Запишем равенство(16) в видеДж° + Аж) - /(жо) =Если существует предел (21), т.+gе.limж—5-жо —од ж);0 < 6>< 1 ./'(ж ) =А х —>—О(25)lim/'(жо + Аж) == А, то правая часть (25) имеет предел, равный А, а поэтому существует предел в левой части (25) и справедливо равенство (22).Аналогично, из соотношения (23) следует равенство (24).
•Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения156Предположим, что функция /(ж) дифференцируема в точке Xq,тогдаf'-(xo) = Д (ж 0) = f ' ( x 0).(26)Если пределы (21) и (23) существуют и конечны, то из соотношений (22), (24) и (26) следует, чтоlim /'(ж ) = lim /'(ж ) = f ( x 0).x — —0%—^жо+0Это означает, что если функция /(ж) дифференцируема на интервале(а, Ь), то ее производная /'(ж ) не может иметь точек разрыва первого рода. Иначе говоря, каждая точка Xq € (а, Ъ) является либо точкой непрерывности функции /'(ж ), либо точкой разрыва второго рода.2жП р и м е р 2. Найти /1(1) и /+(1), если /(ж) = arcsin j-j-—тА Функция / определена на R, так как 1 + ж2 2|ж|.
Вычислив производную, получим.12(1 —аг)2(1 - аг). . ,J (х > = ----,----------------77)J х J12Л2 75-------------(1 + а:2)2 = -75----1 - +х727(15 ----++ а:2)’ 1Ж| гФ 1,’Л+жоткуда/f(x) = <1о+а:2’2, _ 1~+~ж2 ’1если|х| <еслиI|ж|I >! 1 .Применяя следствие 3, получаемf'_( 1 ) =lim / ' ( ж) =lim nT^ - y = l.х —^1 —0х —^1 —0 1 + Х~Аналогично находим/ 1 (1 ) = П тJ + y J Ж—>1+0 V1+=а:2-1.П р и м е р 3. Найти точки разрыва функции /'(ж ), еслиt t x \ _ / х 2 sin - ПРИ х ф О,[О* при ж = 0 .А Если ж ф 0, то /'(ж ) = 2жвт ——cos —, а если ж = 0, то по опреде9-1х~ sm лению производной /'(0 ) = lim ------- — = 0.
Следовательно, функция /'(ж ) определена на Я и непрерывна при ж ф 0. В точке ж = 0эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции/Чж) = 2 ж sin —— cos —приJ v'ххж +0.▲§17. Основные т еоремы для диф ф еренцируемых ф ункций157С л е д с т в и е 4.
Если функции ( р и ф дифференцируемы при ж ф Жои удовлетворяют условиям р(хо) = ф(хо), р'(х) > ф'(х) при х > X q ,то р(х) > ф(х) при х > Жо0 Применяя теорему Лагранжа к функции /(ж) = р(х) —ф(ж) наотрезке [жо, ж], где ж > Жо, получаем /(ж) = /'(^)(ж — Жо), так как/ ( Жо) = 0. Отсюда, учитывая, что£ > ж 0,/'(С) = </?'(£) - Ф '( 0 > о,получаем /(ж) > 0 , т.
е. р(х) > ф(ж) при ж > Жо- •П р и м е р 4. Доказать, что9Т~1п(1 + ж) > ж —при ж > 0.(27)9х~А Пусть р(х) = 1п(1 + ж), ф(ж) = ж — —, тогда уфО) = ф(0),р'(х) = —-—, ф'(ж) = 1 —ж, и при ж > 0 справедливо неравенство1+х1 > 1 —ж, так как при ж > U это неравенство равносильно очевид1+хному неравенству 1 > 1 —ж2. Применяя следствие 4 к функциям р(х)и ф(ж), получаем неравенство (27). ▲5.Обобщенная формула конечных приращений (формулаКоши).Т е о р е м а 4.
Если функции /(ж) и д(ж) непрерывны на отрезке[а,Ь], дифференцируемы на интервале (а,Ь), причем д'(ж) ^ 0 во всежточках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка £ € (а, Ъ)такая, чтоf(b) ^ f(a)f (£)y(b)-g(a)g'W{S)О Рассмотрим функциюр(х) = /(ж) + Хд(х),где число А выберем таким, чтобы выполнялось равенство р(а) == р(Ь), которое равносильно следующему:m - f ( a ) + X(g(b)-g(a)) = 0.(29)Заметим, что д(Ь) ф д(а), так как в противном случае согласно теореме Ролля существовалабы точка с G (а, Ь) такая, чтод' (с) = 0 вопрекиусловиям теоремы 4.Итак, д(Ь) —д(а) ф 0, и изравенства (29) следует, чточ _ f(b) - f(a)/-опчА“ У й - j W(30)Так как функция р при любом А непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а,Ь), а при значении А, определяемомформулой (30), принимает равные значения в точках а и Ь, то по158Гл.
IV . П роизводная и ее прилож ениятеореме Ролля существует точка £ € (а, Ь) такая, что </?'(£) = 0, т. е./'(£ ) + Л<?'(£) = 0, откуда /'(£)УД = —Л. Из этого равенства и форму5 (?)лы (30) следует утверждение (28). •З а м е ч а н и е 6. Т ео р е м а Л а гр а н ж а — ч ас тн ы й сл у чай тео р ем ы Коши( у ( х) = х).З а м е ч а н и е 7. Т е о р е м у 4 н ельзя п о л у ч и ть п ри м ен ен и ем тео р ем ы 3к ч и сл и телю и зн ам ен ател ю дроби, стоящ ей в левой ч а с ти р ав е н с тв а (28).Д ей стви тельно, э т у дробь по т е о р ем е 3 м ож но зап и са ть в виде/ '( 6 ) ,гдеУ (&)£i € (а ,Ь ),€ (а,Ь ), но, вообщ е говоря, £i / £ г У п р а ж н е н и е . П усть ф у н к ц и я f ( x ) ди ф ф ер ен ц и р у ем а на о т р е зк е [а, Ь]и f(a) <Д о к азать, что для лю бого А, у д о вл етвор яю щ его условию/ ' (а) < А < / ' (Ь), су щ е с т в у е т х о тя бы одна т о ч к а £ € (а , Ь) т а к а я , ч то / ' (£) == А ( теорема Дарбу).§ 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
