Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Формула Тейлора1.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Л е м м а 1. Если функция /(ж) имеет в точке Xq производную п-гопорядка, то существует многочлен Рп(х) степени не выше п такой,чтоР п ( х 0) = f ( x o ) ,P i k) (xo) = f {k)(xo),* = м .(1)Этот многочлен представляется в видеР п ( х ) = / ( ж 0 ) + ;Ц у ^ ( ж - Жо) + ^ ^(ж - Ж0 ) 2 + ...f(n...+п\Х ^ х 0)п.(2 )О Пусть <Дж) = (ж —ж0)та, где то € N. Тогда ip(xo) = 0(fc)] 0,<^% o) =,(к!,еслиесли*#то,'’к = то.(3)Из (3) следует, что многочлен Рп(х), заданный формулой(2),удовлетворяет условиям (1).
Этот многочлен называютмногочленом Тейлора п-го порядка для функции /(ж) в точке Xq. •У п р а ж н е н и е . Д о к азать, что если Qn(x) — п р о и звол ьн ы й м ногочленстеп ени не вы ш е п, то э т о т м ногочлен м ож но за п и са ть в видеЯ [к)(хо Ь _„ ч*Q ^ x ) = Y , 4 LJzк\ r l (.*-xo)hк=0§1 8 . Формула Тейлора159Л е м м а 2. Пусть функции ф х ) и ф(х) определены в 8 -окрестности точки Хо и удовлетворяют следующим условиям:1 ) для каждого х £ Ug(xo) существуют(х) и ф(п + 1'1 (ж);2) ф х 0) = ф ( х о) =...
= ф п)(хо) = О,ф(х0) = ф'(х0) =■■■=ф{п)(хо) = 0 ;___________3) ф(х) ф О, ф(кЦх) ф О для х £ Ug(xо) и для к = 1 , п + 1.^Тогда для каждого х £ Us (xq) существует точка £, принадлежащая интервалу с концами Xq и х такая, чтоФ ) = Фп+1ч е(глф(х)^(»+!)(^)'{ JО Пусть, например, х £ (Xq,Xq + 8 ). Тогда, применяя к функциям tpи ф на отрезке [жо,ж] теорему Коши (§ 17) и учитывая, что (р(хо) == ф(хо) = 0 в силу условий (4), получаем<р(х)ip (x)-ip(xo)Ф (Ф ).fIИ = iф(r iх —тИ77тН> хо < Ci < жф(х)) - ф(х о) =Ф (ф)Аналогично, применяя к функциям ф и ф' на отрезкеКоши, находимФ (Ф )Ф'(Ф)=Ф (6 ) - у 'Ы = Ф 'Ф ФФ'(Ф) - Ф'(хо)ф"(фУ<6)[жо,^] теоремус <г(7\°Из равенств (6 ) и (7) следует, чтор{х) _ ф(ф) _ ф'(ффФ(х)ф'(ф)ф"{ф)'хо < & < ф < х < х0 + 8.Применяя теорему Коши последовательно к функциям <р" и ф", ф 3'1и ф^ , ..., ф ^ и ф(п'>на соответствующих отрезках, получаемФ ) _ ФФФ _Ф(х)ф'(ф)_ Ф п]Фп) _ Ф п+1ч еф{п)фп)Ф{П+1)(0 ’где ж0 < С < £п < ••• < Ci < х < ж0 + 8 .Равенство (5) доказано для случая, когда ж £ (жо,Жо + 5).
Аналогично рассматривается случай, когда ж £ (жо —8, Жо). •Т е о р е м а 1. Пусть существует 8 > 0 такое, что функция /(ж)имеет в 8 -окрестности точки Хо производные до (те + 1 )-го порядкавключительно.Тогда для любого ж £ Щ(хо) найдется точка £, принадлежащаяинтервалу А с концами Хо и ж, такая, что/(ж) = / ( Жо) + t - j ^ - ( x - Жо) + ... + ^ ^ ° \ х - Жо)” ++ ;(те^ / ( ж - ж о ) ^ 1.ij.(8 )Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения160_п ' мк)О Пусть ж € Us(xo), Рп(х) =\° (х —Хо)к — многочлен Тей-к=олора для функции /(ж).
Обозначимr„(x) = /(ж) - Рп(х).(9)Так как многочлен Рп(х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям (1),то из равенства (9) следует, чтог п (х0) = г'п ( х 0) = ... == 0.(10)Рассмотрим функции (р(х) = гп(х), ф(х) = (х —Жо)” + 1 . Эти функцииудовлетворяют условиям леммы 2 , и поэтому для них выполняетсяравенство (5), т.
е.ф )ф(х)_г п {х)_ г Г 1}Ю _ / (Д+1)Ю( х ^ х 0)п+1(п + 1)!ПП(п +1)! ’’1 'так как Р ^ +1 \ х ) = 0, ф(п+1 Цх) = (п + 1)!. Из равенств (11) и (9)следует формула (8 ). •£(П+1)/£\З а м е ч а н и е 2. Ф у н кц и ю г п (х) =iT| (* — жо)п+1 н азы в а ю т оста-(п + 1).т о ч н ы м членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Ф орм ула (8) сп раведли ва и при х = Х{).С л е д с т в и е . Если функции { р и ф дифференцируемы п раз прих ф Xq и удовлетворяют условиям ipW(xo) = ф ^ Ц х о), к = 0 , п —1 ,(р^'Цх) > ф^'Цх) при X >то ps{x) > ф(х) при X >О Для ri = 1 утверждение доказано в § 17 (следствие 4 из теоремыЛагранжа). Обозначим f ( x ) = (р(х ) —ф(х). Тогда /^ (ж о ) = 0 при к == 0 , п —1 , и по формуле (8 ) получаемX q ,/(ж) =X q.1 (Ж- Ж0) " / (П)(0 .Если X > Хо, ТО £ > Жо,(£) = + (-") (£) - Ф ^ (С) > 0, и поэтому /(ж) >> 0, т.
е. tp(ж) > ф(х) при X >•П р и м е р 1. Доказать, что:фа) | sin t —t\ ф — для t € R;X q.335б) ж — —< sin ж < ж —— + — при ж > 0 .3!3!5!( 12 )А а) Применяяформулу (8 ) при те = 2 и ж о = 0 к функции f(t ) =S1H^= sin С получаем sint = tt 2, откуда следует, что | sint —t\ sCt € R.б) Если /(ж) = sin ж, то /(0 ) = f ^ ( 0 ) =0) = 0, /'(0 ) = 1,/^ ( О ) = —1, f (n)(x) = ( з т ж ) ^ = sin ^ж + п •Применяя форму-§1 8 .
Формула Тейлора161лу (8 ) при те = 5, Хо = 0, получаем* 3 , х ° ■ ( с , с 71sm Ж= ж — —+ — sm I £ + 5 • —3!откудаХ Л _■j sinследует/V.г5!Vправое неравенство7Г\2.( 1 2 ),таккак,очевидно,^ при ж > 0. Используя формулу (8 ) для /(ж) =^Х Л5>"= sin ж при те = 3, Хо = 0 , докажем левое неравенство ( 12 ).
▲2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Т е о р е м а 2. Если существует f ( n\ x о), тоПf( x) =-f{k ) (\— fc! ° (х ~ Х°^кк°((х ~хж°-(^ )=ОО Из существования / ( ”) (жо) следует, что функция /(ж) определена иимеет производные до (те —1 )-го порядка включительно в^-окрестности точки жц. Обозначим </?(ж) = г„(ж), *ф(ж) = (ж —Жо)п,где функция гп(ж) определяется формулой (9). Функции </?(ж) и *ф(ж)удовлетворяют условиям леммы 2 , если заменить номер те + 1 на номер те —1 (см. равенства (10)).
Используя лемму 2 и учитывая, чтог ^ 1 }(ж0) = 0 , получаемг » (ж )_( х - х 0) пг ^ Ю - г ^ Г У о )n ! ( t - хо)’п,[Jгде £ = £(ж) иж о < С < ж < ж о + 5 или ж0 —5 < ж < £ < ж0.(15)Пусть ж —1 Жо, тогда из неравенств (15) следует, что £ —1 жо, и вг.ж ^ г ^ Ысилу существования f ^ ( x o ) существует lim п_- JГ n - 1 ), (ж0)I" 1(ж0) == lim —---- ”-------------1— L= r Wх^хо£ — ЖоЖ-»ЖоЖ — Жо0 , так как выполняются ра-венства (10). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет приж —1 Хо предел, равный нулю, а поэтому существует предел левойчасти этой формулы, также равный нулю. Это означает, что гп(ж) == о((ж —Ж о ) ” ) , ж —1 Ж о , или /(ж) —Р „ ( ж) = о((ж — Ж о ) ” ) , откуда следует равенство (13).
•З а м е ч а н и е 3. Ф орм улу (13) часто н азы в аю т формулой Тейлора сос та то ч н ым членом в форме Пеано или локальной ф орм улой Т ейлора.Р а зл о ж и т ь ф у н к ц и ю /(ж ) по ф орм уле Т ейлора в о к р е ст н о с т и т о ч к и жодо о((ж — жо)") — зн а ч и т п р ед с т ав и ть ее в виде (13).Т е о р е м а 3.
Если существует f t 71'1 (жо) и если при ж —1 Жо/(ж) = а 0 + ai(x - ж0) + ... + ап(ж - ж0)” + о((ж - ж0)” ),(16)тоак = —к = 0, п.(17)Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения162О По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условиювыполняется равенство (16), тоа0 + а\(х - ж0) + ... + ап(ж - ж0)” + о((ж - ж0)” ) == /(жо) + / '( жо)(ж - жо) + ... + / (n)(s 0) (ig~ f o)n + о((х - Жо)” ).(18)Переходя к пределу при ж -Д Жо в равенстве (18), получаем ао == / ( Жо).
Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые ао и / ( жо) и разделив обе части полученного равенствана ж —Жо, имеема\ + а2(ж - ж0) + ... + а п(ж — ж0)” - 1 + о((ж —ж0)”-1 ) == Г Ы + т(ж - жо) + ... +- жо)” - 1 + о((ж - жо)”- 1).Переходя в этом равенстве к пределу при ж -А жо, находим / '( жо) == ai. Продолжая эти рассуждения, получаем равенства (17). •З а м е ч а н и е 4.
Т ео р ем а 3 о зн ачает, ч то п р едставлен и е в виде (16)ф у н к ц и и , им ею щ ей в т о ч к е хо п р о и зв о д н у ю п -го п о р яд ка, еди н ствен но:коэф ф и ц и ен ты разл о ж ен и я (16) в ы р а ж а ю т ся по ф о р м у л ам (17).П р и м е р 2. Разложить функцию— по формуле Тейлора вокрестности точки Xq = 0 до о(ж” ).А Воспользуемся равенством (1 + ж + ... + ж”)(1 —ж) = 1 —ж”+1, от11 —Xкуда ------- =х1 + ж + ... + ж” + гп(ж), где гп(ж) = ------- = о(ж” ) при—1 0. Таким образом,1 —X—— = 1 + ж + ...
+ ж” + о(ж” ).1 —х(19)Так как функция —-— бесконечно дифференцируема при ж ф 1 (имеет1 —хпроизводные любого порядка), то по теореме 3 формула (19) даетискомое разложение. ▲3.Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Если Жо = 0 и существует /*”^(0), то равенство (13)принимает вид/ ( ж) = £ / ^ М ж* + 0 (ж"), ж ^ О .к=0Формулу (20) называют формулой Маклорена.(20 )З а м е ч а н и е 5.
П у сть ф у н к ц и я /( ж ) бескон ечн о ди ф ф ер ен ц и р у ем а наи н тер вал е ( —1,1). Если э т а ф у н к ц и я я в л я е т с я четн о й , то ее п р о и зво дн ая —н е ч е т н ая ф у н к ц и я , и, наоборот, п р о и зв о д н ая н ечетн ой ф у н к ц и и — ч е тн аяф у н к ц и я (§ 15, п рим ер 9)). О тсю да следует, что для н ечетн ой ф ун к ц и и /§1 8 . Формула Тейлора163вы п о л н яю тся усл о ви я f (2k\ 0 ) = 0, к € А/, а для четн ой ф ун к ц и и / — услов и я /®2,г-1*(0) = 0, fc € А/, т а к к а к л ю б ая н еп р ер ы вн ая н еч ет н а я ф у н к ц и яп р и н и м ае т при х = О зн ачен и е нуль.П оэтом у ф о р м у л у (20) для бескон ечн о ди ф ф ер ен ц и р у ем ой четн ой ф у н к ции м ож но зап и са ть в виде=ilк=охЛ + Ф ы+1),(21 )х^О ,а для н ечетн ой ф у н к ц и и — в виде=1 ” 1‘ + ° ( 1 “ г'>’4=0*-> *•(Я )В ф орм уле (21) о ст ат о ч н ы й член зап исан в виде о(*®2п+1*), а не в виде о ( х 2п),т а к к а к для четн о й ф у н к ц и и / в ы п о л н яется условие /®2п+1*(0) = 0, и поэf (2П) ( 0 )9т о м у член м ногочлена Т ейлора, ко то р ы й следует за сл агаем ы м -------— х~п.,(2я)!равен нулю .
А налогично р а с с м а т р и в а е тс я вопрос о зап и си о статочн о го члена ф орм улы (22).а) Показательная функция. Если /(ж) = ех , то /(0 ) = 1 и / ^ ( О ) = 1при любом те. Поэтому формула (20) для функции ех записывается ввидеOf*2илиrf* 3ff* П"ех = 1 + ж + | г + |г + ... + ^ т +о(ж "),2 ! 3!в!пж^0,(23)кех = ^+ о(ж"),х ^ 0.к=Об)Гиперболические функции. Так как /(ж) = shx — нечетнаяфункция, / ( 2*+ 1 )(ж) = d i x ,/ ( 2fc+1 )( 0 ) = 1 при к = 0, 1 , 2 ,..., топо формуле (22 ) получаем32п +15s h s = s + | j - + |j- + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
