Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Найти / ^ ( ж ) , если:a) f ( x) = sin3 х;б) f ( x) =х 2 —З х + 2А а) Из равенства sin3 х = 3 sin х —4 sin3 х следует, что sin3 х =31= - s i n x — -sin 3 x . Применяя формулы (8 ) и (17), получаем, .3Ч(п )3./,7Г\3”■ /о,(sm жу 1 = - sm I x + те ■—J — —sm I Ax + n ■—J.б) Так как —— ------- = —------ ----— , то, применяя формулу (13),ж2 — Зж + 2 ж—2 ж— 1получаем( ____ 1V ") = ( - l ) " n ! ( r___ -__________ -Vх" — З.г — 2 /ч(ж — 2 )” +1V(ж — 1 ) п +1)▲в) Формула Лейбница.Т е о р е м а .
Если функции и и v имеют в точке х производные п-го порядка, то функция uv также имеет в точке х производную п-го порядка, причем(■uv)(n) = uv (n) + C l t^ 1 У " " 1) + C lu (2 )v ('г а - 2 )... + C£-+ u {n)v,(18),n(n —l)...(n —(k —1 )) , . , .где C„ = —------------ — ------- —, 1 < k < n.nklФормулу (18) называют формулой Лейбница и записывают в видеП(uv)in) = Y CnU{k)v {n- k),(19)k=Огде и(°) = и, i/°) = v, С® = 1 .О Докажем формулу (18) методом индукции. При ri = 1 эта формулаверна, так как(uv)' = uv 1 + v u '.Пусть формула Лейбница верна для производной те-го порядка.Докажем справедливость этой формулы для производной (те + 1)-гопорядка, предполагая, что существуюти i / n+1).
Так как функции н и » имеют производные те-го порядка включительно в некоторой окрестности точки х, то в силу индуктивного предположения равенство (19) справедливо в окрестности точки х. ДифференцируяГл. IV . П роизводная и ее прилож ения148это равенство и учитывая, что(u (k)v ( n - k ) y =получаемu (k+l)v (n-k) +пu (k)v ( n + l - k ) ^п(uv){n+1) = Y C kn u ik+1 )v in- k) + Y C kn u ik)v in+1- k).(20)k= 0k= 0Преобразуем суммы в правой части равенства (20), выделяя в первойсумме последнее слагаемое, а во второй — первое и сдвигая индекссуммирования в первой сумме на единицу. ПолучимППY C ku {k+1 )v in- k) = u in+1)v + Y C£_ 1 u (fc)v in+1- k\k=0к= 1ППY C l u (k)v (n+1- k) = u (n+1) + Y C l u (k)v (n+1- k).k=0k= 1Следовательно,n(■uv)(n+1) = uv(n+1) + Y ( ° ynn ^ + Ck)u(k)v (n+1- k) + u (n+1 )v.k= 1Используя равенство C k 1 + C k = C *+1 (§ 3, (48)), получаемП+1(■uv)in+1) = Y Cn+lu{k)v{n+1~k) ’k=0т.
e. формула Лейбница справедлива для производных (те + 1)-го порядка. •П р и м е р 5. Найти f ( n\ x ) при те > 2, если:а) f ( x ) = (х — I )2 sin х sin(a: —1 );б) f ( x) = (1 —2ж2) 1п(1 —Зх)3.А а) Так как sina: sin(a: —1) = -(c o s l —cos(2a: —1)), то, применяяформулу Лейбница (18), вторую из формул (17) и учитывая, что( ( ж- 1 )2) « = 0 при к > 2 , получаем (при те > 2 )/(») (ж) = _ ( ж х cos ( 2 х -1 ) 22” - 1 cos ( 2 х - 1 +- те(ж -1 )2 ^х1 + iH z IlA ) _ п [п _ i ) 2 » - 3 cos ( 2 а: - 1 + С71" 2)71-) .б) Применяя формулы (18) и (14), получаем (те > 2)1)! +/'Ап),'(.т)ч=/0(2.т2 -Г з”+1(п—, ,3” (п —2)!,лч3”_1(п —3)!+ 4жте -— -—+ 2те те —1 ---- -—г— V(1 - Зж)” -1v; (1 - Зж )« -2А§1 6 .
Производные и дифференциалы вы сш их порядков1492.Д иф ф еренциал те-го п орядка. Пусть функция у = /(ж) дифференцируема на интервале (а,Ь). Тогда ее дифференциалdy = f ' ( x ) dxв точке х € (а,Ь), который называют также первым дифференциаломфункции / , зависит от двух переменных, а именно от ж и dx.Если дифференциал dx, совпадающий с приращением Аж независимого переменного ж, не меняется (фиксирован), то дифференциал dyявляется функцией только от ж.
Дифференциал этой функции, т. е.дифференциал от f ' ( x ) dx , где dx — постоянная величина, называютвторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции у = /(ж) в точке ж и обозначают сРу или d2/ . При этом предполагается, что при вычислении дифференциала d(dy) (если он существует) приращение dx независимого переменного выбрано таким же,как и при вычислении первого дифференциала.Пусть функция / имеет вторую производную в точке ж. Тогда,пользуясь тем, что dg = g'(ж) dx и d(Cg) = С dg, где С = const, получаемd2y = d(dy) = d ( f ( x ) d x ) = d x d ( f ( x j ) = d x f " { x ) d x = f " ( x ) d x 2Таким образом, при указанных выше условиях второй дифференциалфункции у = /(ж) в точке ж существует, причемd2y = f " ( x ) d x 2 = у " dx2,(2 1 )гдеdx 2 = (dx)2.Аналогично, предполагая, что функция у = /(ж) имеет в точке жпроизводную те-го порядка, определим те-й дифференциал dny как дифференциал от дп^ 1 уг , т.
е.dny = d(dn^ 1 y).Предполагая, что приращение независимого переменного при вычислении первого и всех последующих дифференциалов выбираетсяодним и тем же, легко доказать методом индукции формулуdny = f (n\ x ) d x n.Из формулы (22) следует, чтоМJ(22 )=dxn ’т. е. производная те-го порядка функции у = /(ж) равна отношениюдифференциала те-го порядка этой функции к те-й степени дифференциала независимого переменного.Из формулы (22) следует, чтоdnх =0 при те > 1 ,Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения150т.
е. дифференциал те-го порядка независимого переменного при те 2равен нулю.Отметим еще следующие свойства дифференциалов те-го порядкав предположении существованияи.1) dn(Au + B v ) = A d nu + В dnv, А, В — постоянные;П2 ) dn(uv) = J 2 Cn d ku d n- kv.k=0Первое из этих свойств следует из равенств (22) и (8 ), а второе —из равенства (22) и формулы (19).З а м е ч а н и е .
Д и ф ф ерен ци ал второго п о р яд ка, в отл и ч и е от первогоди ф ф ерен ц иала, не обладает св о й ств о м и н в а р и а н тн о с ти ф орм ы , т. е. ф орм ул а (21 ) не со х р ан яется при зам ен е х на ф у н к ц и ю ip(t).О Д ей стви тельно, п у сть х = <f(t), то гд а у = f(x) = f(<p(t)). Если с у щ еств у ю т } ” {х) ито, используя оп ределение ди ф ф ерен ц и ал а и прави лади ф ф ер ен ц и р о в ан и я п р о и зв ед ен и я и слож ной ф у н к ц и и , получаемdy = f'(x) dx = f'(<p(t))<p'(t) dt,о тк у д аi y = (/'(¥>(*))¥>'(*))'Я 2 = f " ( v ( m v ( t ) d t f + f ( <p ( t W( t ) d t 2.Т а к к акdt = dx , ip"(t) dt" = d x.
t od 2y = f " (x) d x 2 + f (x) d 2x,илиdry = y" dx 2 + y d 2x.(23)Из р ав ен ств (21) и (23) следует, что при зам ен е х на ф у н к ц и ю ip{t) и зм ен я ет с я вид второго ди ф ф ер ен ц и ал а — в нем п о яв л яется сл агаем ое y'd~x. Еслих = tp(t) = at + Ь, где а, Ь — п остоян ны е, то d~x = 0, и в это м сл у ч ае видвторого ди ф ф ер ен ц и ал а не м ен яе тся . •§ 17. Основные теоремы для дифференцируемых функций1.Локальный экстрем ум и теорема Ферма.
Пусть существует число 6 > 0 такое, что функция f ( x ) определена в Д-окрестноститочки жо, т. е. на множестве Ug(xо) = (жо —S, Xq + 6 ), и пусть для всехх G Us (xq) выполняется неравенствоf ( x ) > f ( x о).(1)Тогда говорят, что функция f ( x ) имеет в точке Xq локальный м инимум.Аналогично, если существует число 6 > 0 такое, что для всехх G Us (xq) выполняется неравенствоf ( x ) «С f ( x о),(2 )то говорят, что функция /(ж) имеет в точке Xq локальный максимум.Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум.
Функция у = /(ж), график ко-§17. Основные т еоремы для диф ференцируемых ф ункций151торой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точкахх\ — 1, Х2 = 3, жз = 4, а именно минимумы при ж = 1 и ж = 4 имаксимум при ж = 3.Т е о р е м а 1 (Ферма). Если функция /(ж) имеет локальный экстремум в точке жо и дифференцируема в этой точке, то/ ' Ы = о.(з)Пусть, например, функция /(ж) имеет локальный минимум в точке жо- Тогда в силу (1) для всех ж Е (жо — <5, жо + S) выполняется неравенствоf (x) - f ( x о) ^ 0.(4)Если ж Е (жо —S, жо), то ж —жо < 0, и из условия (4) следует, чтоО/( ж) - /(жо)ж — Жо^0,(5)а если ж Е (жо,жо + £), то выполняется неравенство/(ж ) - /(ж о)ж — Жо> 0.(6)Так как функция / дифференцируема в точке жо, то существует предел при ж —>•жо в левой части неравенства (5), равный f'_(жо) = f ' ( x о).По свойствам пределов из (5) следует, что/ ' Ы ^ о.(7)Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (6 ), получаем/ ' Ы ^ о.(8)Из неравенств (7) и (8) следует, что /'(жо) = 0.
•З а м е ч а н и е 1. Т ео р ем а Ф ерм а и м е е т простой г е о м ет р и ч е ск и й смысл:к ас ател ь н ая к г р аф и к у ф у н к ц и и у = /(ж ) в то ч к е локального э к с т р е м у м а(ж о,/(ж о)) параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).2. Теорема Ролля о нулях производной.Т е о р е м а 2 (Ролля). Если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], принимает в концах этого отрезка равные значения, т.
е./(а ) = / ( 6),(9)дифференцируема на интервале (а, 6), то существует точка152£ GГл. IV . Производная и ее прилож ения(а, Ъ) такая, чтоО Обозначим М =А О = о(ю)sup /(ж), т = inf /(ж). По теореме Вей-ерштрасса (§ 11, теорема 4) на отрезке [а, 6] существуют такие точкиci и с2, что / ( d ) = т, f (с2) = М.Если т = М, то /(ж) = const, и в качестве £ можно взять любуюточку интервала (а, 6).Если т ф М, то т < М, и поэтому / ( d ) < / ( с2)- В силу условия (9)по крайней мере одна из точек d , с2 является внутренней точкой отрезка [а, Ь]. Пусть, например, ci G (а, 6). Тогда существует число S > 0такое, что Us(ci) С (а, Ь). Так как для всех ж G ^ ( d ) выполняетсяусловие /(ж) ^ /(c i) = ш, то по теореме Ферма / '( d ) =т- е- условие (10) выполняется при £ = с\.
Аналогично рассматривается случай,когда с2 G (а, 6). •Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумяточками, в которых дифференцируемая функция принимает равныезначения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции.Для случая /(а ) = f(b) = 0 теорема формулируется еще короче: междудвумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нульее производной.З а м е ч а н и е 2. Г ео м етр и ч еск и й см ы сл т ео р ем ы Ролля: при услови яхт ео р ем ы 2 су щ ест в у ет зн ачен и е £ G (а, Ь) так о е, что к ас ател ь н а я к гр а ф и к уф ун к ц и и у = f ( x ) в т о ч к е ( £ ,/ ( £ ) ) параллельна оси О х (рис. 17.3).Рис.
17.5Рис. 17.6З а м е ч а н и е 3. Все услови я т ео р ем ы Ролля су щ еств ен н ы . На рис. 17.417.6 и зображ ены гр аф и к и ф у н кц и й , к а ж д а я из к оторы х у д о в л етво р я ет всем§17. Основные т еоремы для диф ференцируемых ф ункций153усл о ви ям тео р ем ы Р олля, кр о м е одного. Для всех эт и х ф ун к ц и й не су щ ес тв ует т о ч к и на и н тер вал е ( —2, 2), в которой п р о и зводн ая была бы равнанулю .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
