Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Е сли д ( ж) ф 0в н ек о то р о й пр окол отой о к р е с т н о с т и точ к и жо, то со о т н о ш ен и е (27)м о ж н о за п и са ть в ви деlim 4 4 =х ^ х 0 д{х)0или в ви деlim ° М = 0 .х - * х одСледует иметь в виду, что функции / и д, о которых идет речь взаписи (27), не обязательно являются бесконечно малыми при ж -A X q .Например, если ж -А оо, то ж2 = о(ж4), а функции ж2 и ж4 являютсябесконечно большими при ж -А оо.В случае когда функция д в записи (26) является бесконечно малой, говорят, что при ж -А Хо функция / — б е с ко н е ч н о м а л а я болеевысо ко г о порядка, чем д. Например, при ж -А 0 функции ж2, совжв^ж,§13. В ы числение пределов ф ункцийtg х119бесконечно малые более высокого порядка, чем*тому справедливы равенстваs inх 2 = о(х),c o s a r s h 2х = о ( х ) ,t g 3arsin — = о ( х ) ,х.Поэ-х —у 0.Символ о ( х ) в этих равенствах служит для обозначения множества или, как принято говорить, класса функций, бесконечно малыхболее высокого порядка, чем х при х —1 0.
Поэтому правильнее былобы вместо, например, равенства х 2 = о ( х ) , х —1 0 , писать х 2 £ о ( х ) ,х —1 0. Однако вторая запись неудобна для применения при выполнении операций над функциями.Из сказанного следует, что равенство вида (27) не является равенством в обычном смысле. Такое равенство в соответствии с определением записи (27) следует читать только слева направо, посколькуправая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по сравнению с д ( х ) при х —1 Хо, a f ( x ) — какая-либо функция этого класса.Отметим некоторые важные для дальнейшего изложения (см. § 18)свойства символа о ( д ) , считая, что х —1 X q , а равенства, содержащиеэтот символ, читаются слева направо (здесь С — постоянная):°(Сд) = о(д)Со(д) = о(д)о(д) + о(д) = о(д)о(о(д)) = о(д)° (9 п )° (9 т )9 п 1о{д)(о (д ))по(дп )=о(д п + т ),= о(д п),= о(д п ) ,= о(д П—1 \п £ А/,п £ Nто £Nп £ Nп £N, д ф0 в Us(xo)о(д + о(д)) = о(д)Докажем первое из этих свойств.О Надо показать, что любая функция, принадлежащая классу функций о(Сд), принадлежит и классу функций о(д), т.
е. если / = о(Сд),то / = о(д), х ->■ X q .По определению запись / = о(Сд) означает, что f ( x) = Сд(х)а(х),где а(х) —¥ 0 при х —¥ Хо- Но тогдаf ( x) = д(х)Са(х) = д(х)а i(x),где ai(x)—1 0 при х —1 Хо, т. е. / = о(д), х —1 хо- •Упражнениех —1 хо, то:3. Д о к азать, что если т € N, п £ N , а д (х ) —1 0 приа) о(дп ) = о ( д т ) при тб) о !Cugk I = о ( д ) ,п;— п остоян ны е.Наряду с символом о(д) в математике употребляют символ 0(g).Записьf ( x) = 0 (д(х)), х -Л хо,(28)120Гл.
III. Предел и непреры вност ь ф ункцииозначает, что в некоторой проколотой окрестности Ug(xо) точки Xqопределены функции / , д, (р такие, что/(ж) = д ( х ) ф ) ,(29)где р ( х ) — функция, ограниченная на Us (xq), т. е.ЗС > 0: Уж € Us(x0) -> Н ж )| «С С.Соотношение (28) читается так: “/(ж) есть О большое от д(ж) при ж,стремящемся к Жо” .Например,ж2 +2 ж3 = 0 (ж2), ж -¥ 0 ;ж2 + 2 ж3 = 0 (ж3), ж —¥ оо.Аналогично запись/(ж) = 0(д(х)),ж е Е,означает, что на множестве Е справедливо равенство (29), где ip —функция, ограниченная на этом множестве. Отсюда следует, что|/(ж)| «С С\д(х)\,х еЕ.В частности,если /(ж) = 0(1), ж G Е, то функция / ограничена намножестве Е.
Например, можно записать, что cos ж2 = 0(1), ж G R.г) Критерий эквивалентности функций.Т е о р е м а 4. Для того чтобы функции /(ж) и д(ж) были эквивалентными при х -б- Хо, необходимо и достаточно, чтобы/(ж) = д(х) + о(д(х)),хч-хо-(30)О Пусть / ~ д при ж —1 Жо; тогда выполняются условия (24), и поэтому /(ж) —д(ж) = g(x)(h(x) —1 ) =д(х)а(х), гдеа(х) = h(ж) ^ 1 ^ 0 приж —1 Хо- Отсюда по определению символа о(д) следует, что / —д = о(д),х —1 Хо, т.
е. справедливо равенство (30)Обратно: из равенства (30) следует, что / ~ д при х Ч- хд. Действительно, если выполняется равенство (30), то /(ж) = д(ж) + д(х)а(х),где а(х) —10 при ж —1 Жо, откуда /(ж) = g(x)h(x), где h(ж) = 1 + а(х) —1—¥ 1 при ж —¥ Жо, т. е. /(ж) ~ д(ж) при ж —¥ Хо- •Уп р а жн е н и е 4. Доказать, что{/ ~ 5 ПРИ * ->• *о} О- (р(ж) = /(ж) +o(f(x)), х- 1 жо}-Теорема 4 позволяет приведенную в п.
5, а) таблицу эквивалентных функций записать в виде8ШЖ = Ж + о(ж ),Ж ^0tgж = ж + о(ж),arcsin ж = ж + о(ж),arctgж = ж + о(ж),ж ^0ж ^0ж ^0(1ех —1вЬж1п (1 + ж)+ х) а —1====ж + о(ж),ж + о(ж),ж + о(ж),а х + о( ж),ж —У 0ж^ 0ж —У 0ж —1 0§13. В ы числение пределов ф ункций121С помощью этой таблицы можно вычислять пределы функций.П р и м е р 11. Найти lim — ----- ^ + х— .ж-»о 2 arctg х —arcsin хА Так как ех —1 = ж + о(ж), \/1 + х —1 = -ж + о(ж), arctg ж =3= х + о(х), arcsin ж = ж + о(ж), то\/1 + ж = | ж + о(ж),ех -2 arctg ж —arcsin ж = ж + о(ж) при ж —¥ 0 .Поэтому„хе-а/-, | „y i +ж_2 arctg х —arcsin хгде 2 ^ 1 =2*вен —.
А322х+ о(х)- ж + о(ж)зv ; _о(х)- Н— —зх^ о(х) ’х.о при ж —1 0. Следовательно, искомый предел ра-/ c o s r t 1/ ^ 1п(!+®))П р и м е р 12. Найти lim ( —— ).ж-m ч сЬж /А Используя результат примера 9 и асимптотическую формулу1п (1 + ж) ~ ж при ж —1 0 , получаемcos ж —1 = —+ о(ж2),сЬж —1 = ^ + о(ж2),ж 1п (1 + ж) = ж(ж + о(ж)) = ж2 + о(ж2),ж —У0 .Применяя формулу (16), находим„ , „/~2\ 1 /(ж2+ о(ж2)),lim (cos ж)1^ 1" ^ » = lim ( 1 ^ - + о ( ж 2))= е^ 1/ 2,ж—>07х^О \24 Vтак как9,lim —| += lim —= —1 .ж-m ж2 +о(ж2)ж-m 1 + о ( 1 )2Аналогично получаем, чтоlim ( c h ж)1/ ^ ln(1+:r)) = lim ( 1 + — + о(ж2)') ^я—>0я—>0 \2/+ °(* ” = е1/ 2.—1/2Следовательно, искомый предел равен — -j— = е-1 .
▲е 1/ 2В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов, основанные на использовании понятия производной (§ 18, 19).122Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииУ П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ III1. П усть ф у н к ц и и / и у не и м е ю т предела в то ч к е хо. С ледует ли отсю да,что ф у н к ц и и f + у и f у т а к ж е не и м е ю т предела в этой то ч к е?2 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а в т о ч к е хо, а ф у н к ц и я ур азр ы вн а в т о ч к е хо, то ф у н к ц и я f + у р азр ы вн а в этой точке.3 .
П усть ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а в т о ч к е а и для каж д ого S > 0 су щ еств у ю т т о ч к и x's € Ug(a) и x'J С Ug(a) та к и е , ч то f ( x ' s )f (x' g) < 0. Д ок азать,что / ( а ) = 0.4 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на п р о м е ж у т к е[а, + 00) и су щ е с т в у е т ко н еч н ы й lim f ( x ) , то э та ф у н к ц и я огр ан и чен а нах — ^+ ООп р о м е ж у т к е [а ,+ о о ).5 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [а, Ъ] и f ( x ) > Одля всех х € [а, Ь], то су щ ес т в у е т число М > 0 так о е, ч то f ( x ) > М для всехх € [а, Ь].6. Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на R, то ф у н к ц и и \f ( x ) \и f ( \ x \ ) т а к ж е н епреры вн ы на R.7. Д о к азать, что если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [а, 6], то ф у н к ции т ( х ) = in f /( £ ) и М ( х ) = su p /( £ ) т а к ж е н епреры вн ы на этомо трезк е.8 .
Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я / определена на о т р е зк е [а, 61, я в л я е т ся в о зр астаю щ ей и м н о ж еств о ее зн ач ен и й — о тр езо к [ / ( a ) , / ( b ) ] , то э таф у н к ц и я н еп р ер ы вн а на [а,Ъ].9 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я н еп р ер ы вн а на о тр е зк е и о б р ати м а, тоона стр о го м онотонна на это м о тр езк е.10 .
Д о к азать, ч то если / и у — н епр ер ы вн ы е на Я и п ериод ич ескиеф у н к ц и и , у д о вл етво р яю щ и е услови ю lim ( f ( x ) — у ( х ) ) = 0, то f ( x ) = у ( х ) .х —*+ о о11 . Д о к азать,ч то если а > 0,то1 2 . Д о к азать, что еслиа 1^™ = 1-1пIn а + о ( — ) при п —1 оо.\п/а > О, Ъ> 0, то lim2П—tOO\/13 . Д о к азать, что lim п " { л / а — п+\ / а ) = 1 п а , а > 0.n—too1 4 . Д о к азать, ч то еслиаь > 0(k = 1 , т ) ,________________________________________= rtyai...am.то1 Шlim ( — >n-too \ т_____1 5 . П о казать, ч то \ J х + л / х ~ f f x при И + О их—1 + 00.______\ J х + л / х ~ л / х при1 6 .
Н ай ти ф у н к ц и ю у ( х ) вид а у ( х ) = С х а , э к в и в а л е н тн у ю ф ун к ц и и f ( x )при х —¥ а, если:4а)Пх) =2х 4х+ 3 ’а = ° ’ а = °°;б) f ( x ) = ' { / х й + 3-^®, а = 0, а = оо;ln ( l + * + * 2)в) /(*) =^2> а = °;. . . .cos2 3* — cos2 5*г) f ( x ) =, а = 0.Г Л А В А IVПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ§ 14. Производная и дифференциал1. Задачи, приводящие к понятию производной.а)Задача о скорости. Пусть материальная точка движется по прямой, и пусть S = S(t) — путь, пройденный точкой за время t от началадвижения. За промежуток времени от t до t + At точка пройдет путьS(t + At) —S(t), поэтому средняя скорость за этот промежуток вреS(t + A t ) - S ( t )мени равна г?ср = —----- ^. Если рассматриваемое движение неявляется равномерным, то г?ср при фиксированном t будет менятьсяпри изменении At, и чем меньше At, тем лучше г?ср будет характеризовать движение точки в момент t.Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называютпредел, к которому стремится средняя скорость, когда At —>• 0 , т.
е.скорость v в момент t определяется равенствомv=r5(t + A t ) - 5 ( t )hm — ----------г--------— .At—>-0AtТаким образом, скорость движения в момент t — предел отношения приращения пути A S = 5(t + At) —S(t) за промежуток времени от t до t + At к приращению времени At, когда At —>• 0 .Например, если материальная точка движется по законуS = gt212 (закон свободного падения), то_ S(t + At) - S(t) _Atили=A«i +A*)2откуда ^lim^^cp = gt,t . e. v*2),= gt.б) Задача о касательной.Пусть функция / определена в ^-окрестности точки ж0 и непрерывнапри х = Xq. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функцииу = f ( x) в точке М 0 (хо,уо), где у 0 = f ( x о).Если Аж — приращениеаргумента такое, что 0 < |Аж| < S, то уравнение прямойI(ри124Гл. IV .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
