Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 19
Текст из файла (страница 19)
График этой функции изображен нарис. 12.5. По свойствам взаимно обратныхфункцийcos(arccosx) = ж, ж Е [—1,1],агссо8(со8 ж) = ж, ж Е [0 , 7г].ЕП р и м е р 2. Доказать, что для всех ж Е[—1,1] справедливы равенстваarccos(—ж) = 7г —агссояж,агсятж + агссояж =(9)( 10 )Рис. 12.5Д а) Обозначим агссояж = а. Тогда согласно определению агссояж0 ^ а ^ 7г,cos а = ж.Из этихсоотношений следует,что 0 ^ 7г — ^ 7г и cos(7r —а) == —cos oi = —ж, откуда поопределению агссовж находим тг — а == arccos(—ж). Формула (9) доказана.б) Обозначим а = агсвтж.
Тогда —— ^ а ^ — и sirm = ж, откуда0 ^ ^ —< т ^ 7ги cos ^ — a^j = sin а = ж. Отсюда согласно определениюарккосинуса следует, что ^ —а = агссовж. Равенство (10) доказано. АУпражнение2.гр аф и к ф ункц ии :а) у = a rc co s(c o sx );б) у = a rc s in (c o sж).П остро и тьФункция71^ 7ГУ = tgж,'2 < Х < 2 ’непрерывна и строго возрастает.Обратная к ней функция, которуюобозначаюту = агс!^ж, ж Е /?,непрерывна и строго возрастает. График этой функции изображен нарис.
1 2 .6 .Отметим, что в силу свойств взаимно обратных функций имеемtg ( arctg ж) = ж,жЕ/?,§12. Н епрерывность элем ен т а р н ы х ф ункций101arctg (tg х) = х,a rctg (—ж) = —arctg ж,ж £ R.Функцию, обратную к функцииУ = ctgx,0 < X < 7Г,обозначают у = arcctgx. Эта функция определена на /?, непрерывна истрого убывает. Ее график изображен на рис. 12.7.У п р а ж н е н и е 3.
Д о к азать, что для всех х £ R сп равед ли во р ав ен ство7Гa rc tg х + a rc c tg х = —.3.Степенная функция с рациональным показателем. Степенная функция с натуральным показателем, т. е.у = жп,ж £ /?,где п £ Л/, непрерывна на /?. Если п = 2k + 1, то эта функция строго возрастает на /? (§ 9, пример 9) и поэтому обратима. На рис. 12.8натуральным показателем, т. е.Рис 12 8функция у = ж2/е, /с £ /V, ж £ /?,необратима. Однако ее сужение на множество [0,+оо), т. е. функцияу = х 2к, к е N, х £ [0 , +оо), обратима и обратной к ней является функция у = 2^/х. На рис.
9.10 изображены графики взаимно обратныхфункций у — ж2, ж £ [0 , +оо), и у — л/х.Очевидно, функция у = Х2к, fee N, х £ (—оо, 0), т. е. сужение функции х 2к на множество (—оо, 0), также обратима, и обратной для нееявляется функция у = —2^[х. На рис. 9.11 изображены графики функций у = ж2, ж ^ 0 , и у = —у/х.Если ж > 0, то при любом п £ N функция х п обратима, а обратнаяк ней функция обозначается ж1//п или ^/ж. Функция у = ж- п , п £ Л/,102Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииопределена и непрерывна при ж ф 0 и записывается в виде у = 1 / х п.При п = 2k + 1(к Е А/) эта функция обратима на множестве Е = {х:ж Е /?, ж / 0}, а при п — 2к (к Е А/) обратима на множествах (—оо, 0)и (0 , +оо).Дадим определение степенной функции х г с рациональным показателем г.
Если г = ш /n , т Е Z, п Е А/, то положимжг = (ж1/" )"1,ж > 0.(11)Функция ж1/ ” непрерывна и строговозрастает (рис. 12.9).Функциянепрерывна при t > 0,строго возрастает, если т > 0, и строго убывает, если т < 0. Поэтомуфункция жг непрерывна при ж > 0 , строго возрастает, если г > 0 , истрого убывает, если г < 0 .Перечислим некоторые свойства рациональных степеней вещественных чисел:(а1/ ” )"1 = (а™)1/ ” , а > 0 ,( 12 )ar > 1 приг Е (J, а > 1, г > 0,аГ1 а Г2 = а Г1+Г2 при а > 0, ri Е О, Is2 е О,(а Г1)Г2 = а Г1Г2 при а > 0, r\ Е Q, r 2 Е Q,(13)(14)(15)(16)ап > а Г2 при а > 1 , /д е (?, r 2 е Q, п > г2.Свойства (12)—(16) легко проверяются, если воспользоватьсясвойствами целых степеней и тем, что при а > 0 , b > 0 из ап = Ьп,п Е А/, следует а = Ь.
Проверим, например, равенство (12).Так как( ( а 1 / п ) т ) п = ((а 1 /» )п )т = а п((а™)1/ ”)" = а ”(17)то из равенств (17) следует равенство ( 1 2 ).4. П ок азател ьн ая ф ункция.а) Свойства функции аг, где а > 1, г Е (?.У т в е р ж д е н и е 5. Е'сли а > 1 , тоVs > 0> 0: Vr Е Q: |r| < J —>• [аг —1| < s.(18)О В § 4 (пример 8) было показано, что если а > 1, тоОтсюда следует, чтоlim а1/п = 1 .п—Уоо(19)lim а~1/п = 1 .(20)TL—гО ОЗаметим, что соотношения (19) и (20) справедливы и в случае, когда 0 < а ^ 1 .§1 2 . Н епрерывност ь элем ен т а р н ы х ф ункций103Из (19) и (20) следует, что если а > 1, тоVe > 0 З р е /V: 0 < а1^ - 1 <откуда получаем1—е <е,( Г 1^0 < 1 —( Г 1!1’ << а 1//р <1е,гдер =р(е),+ е.Пусть г — любое рациональное число такое, что |г| < l /р, т.
е.—1/ р < г < 1/р. Тогда в силу монотонности функции аг при а > 1(неравенство (16)) получаема - 1/р < а г < а1/р.Таким образом, для любого е > 0 существует число 6 = 1/р > 0 такое,что для всех рациональных чисел г, удовлетворяющих условию |r| < 6 ,выполняются неравенстваar < а 1//р < 1 + е ,откуда находим ^ е < аг —1 < е , т. е. справедливоутверждение 5. •У т в е р ж д е н и е 6 . Если последовательность рациональных чисел{г„} сходится, то последовательность {аг"}, где а > 1 , также сходится.О Из сходимости последовательности {г„} следует ее ограниченность, т.
е.3a,f3: Vn € N —1 а ^ гп ^ /), a € Q, /3 € Q,откуда в силу (16) получаем1 — е <( Г1//р<аа «С а г" «Са13.Учитывая, что аа > 0, и обозначая С = а! 3 , находим, что3 0 0: VnG А / ^ 0 < а г" ^ С.В силу (18)Ve > 0(21)35 > 0 : Vr € Q: |г| < <5 ^ |аг ^ 1| <(22)ОТак как сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Коши (§ 8 ), то по найденному в соотношении (22 ) числу 6 > 0 можноподобрать номерN e : Vn ^ N e, Vm 0 N e —1 \rn —rm\ < 6.(23)Из неравенств (22) и (23) следует, чтоIa r „ - r m _ 1| < £ .(24)ОИз неравенств (21) и (24) получаем|аг" —аГт| = \аГт (аг" _Гт - 1)| < С ^ = е .ОТаким образом,Ve > 0 3iVe : Vn )> Ne, Vm > N e -> |ar" - a r"*|< e,т.
e. {ar"} — фундаментальная последовательность. В силу критерияКоши она сходится. •104Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииб) Определение показательной функции. Пусть х — произвольнаяточка числовой прямой, и пусть {г„} — последовательность рациональных чисел, сходящихся к х, т. е. lim гп = х. Предполагая, чтоп —»ооа > 0 , положим по определениюах = lim а г".(25)п —tooЕсли а > 1, то предел (25) существует в силу утверждения6 . Если0 < а < 1, то а г" =, где Ъ= - > 1, откуда следует, что существуетпредел (25) и при а £ (0,1), так как lim ЪГп = Vх > 0 (см. доказанноеп —tooниже неравенство (29)).
При а = 1 предел (25) существует и равен 1,так как 1г = 1 для любого г £ Q. Заметим, что определение показательной функции является корректным, т. е. предел (25) не зависитот выбора последовательности рациональных чисел, сходящейся к х,в силу леммы из § 10 (п. 6 ).в) Свойства функции у = ах , а > 1.С в о й с т в о 1. Для любых вещественных чисел х± и Х2 выполняется равенствоаХ1 а Х2 = аХ1+Х2.(26)О Пусть {г„} и {рп} — последовательности рациональных чисел такие, что lim гп = х 1 , lim рп = ж2- Тогда lim (гп + рп) = Х\ + Х2 иП —¥ ООП —¥ООП —¥ ООпо доказанному выше существуют следующие пределы:lim a r" = aXl, lim аРп = аХ2,п —> 0 0П —to olim аГп+Рп = аХ1+Х2 .п —> 0 0Так как в силу равенства (14) аГп+Рп = аГшаРш, то, переходя в последнем равенстве к пределу при п -б- оо, получаем равенство (26).
•Из этой формулы, в частности, следует, что для любого х £ Rвыполняется равенствоаГх = — .(27)ахк JС в о й с т в о 2. Функция у = ах, где а > 1, строго возрастает на R.О Нужно доказать, чтоV ii £ R, Уж2 € R: х \ < х 2 -¥ aXl < аХ2.(28)Заметим сначала, что для любого х £ R выполняется неравенствоах > 0.(29)В самом деле, пусть г £ Q и г < х. Рассмотрим последовательностьрациональных чисел {г„} такую, что lim гп = х и гп > г при п £ N.п —tooТогда а г" > аг в силу (16), откуда, переходя к пределу, получаем ах ^аг, где аг > 0.
Итак, ах ^ аг > 0, т. е. выполняется неравенство (29).Чтобы доказать неравенство (28), умножим обе части его наа~х 1 > 0 и, пользуясь свойством 1 , получим неравенствоаХ1-Х1 у |_ х.2 > .ГI .§1 2 . Н епрерывност ь элем ен т а р н ы х ф ункций105равносильное неравенству (28). Полагая Ж2 — Xi = х, получим неравенствоах > 1, если х > 0.(30)Итак, для доказательства утверждения (28) достаточно доказать равносильное ему утверждение (30).Пусть г £ Q таково, что 0 < г < х, и пусть {г„} — последовательность рациональных чисел, удовлетворяющая условиям lim гп = хп—>оои гп > г для п € N.
Тогда, используя неравенства (16) и (13), имеем а г" > ar > 1 , откуда, переходя к пределу при ri —1 оо, получаемах ^ ar > 1. Свойство 2 доказано. •С в о й с т в о 3. Функция у = ах, где а > 1, непрерывна на R.О Пусть Жо — произвольная точка множества R, А у = аХо+Ах ——ах° = ах°(аАх —1).
Нужно доказать, что аАх —¥ 1 при Аж —¥ 0 илиlim ах = 1.(31)я—>0Пусть {хп} — произвольная последовательность вещественных чиселтакая, что lim х п = 0. В силу свойств вещественных чисел найдутсяп—>оопоследовательности рациональных чисел {г„} и {г'п}, удовлетворяющие при п € N условию1 < г п < х п < г Iп < х п + 1ппоткуда, используя свойство 2 , получаемХпаГп < аХп < а г».Так как r'n0 и rn(32)0 при riоо, то из (18) следует, что lim а г" =п—too= lim а г" = 1.
Отсюда, используя неравенство (32), получаемп—>00lim аХп = 1. Утверждение (31) доказано, откуда следует, что сущестП —¥ ООвует lim аХо+Ах, равный ах°, т. е. функция ах непрерывна в точке жц.Дж-s-OТак как Xq — произвольная точка множества R, то функция ах непрерывна на R. •С в о й с т в о 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
