Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 16
Текст из файла (страница 16)
П о казать, ч то ф у н к ц и я /(ат) =х sin— я в л я е т с я бесконечно малой при ат —>• 0.У п р а ж н е н и е 8. П у сть с у щ е с т в у е т число 8 > 0 т ак о е, ч то а(х) фФ 0 для всех х € Us (а). Д о к азать, что ф у н к ц и я а ( х ) я в л я е т с я бесконечно1малой при х —¥ а тогда и только тогда, когда функция ———■является беса(х)конечно больш ой при х —¥ а, т. е.lim= оо.х-ю а ( х )г) Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.Если функции f ( x) и д(х) имеют конечные пределы в точке а,причем lim f ( x) = A, lim д(х) = В, то:84Гл. III.
Предел и непреры вност ь ф ункции1)2)lim ( f ( x ) +g ( x ) ) = A + B;х —valim (f(x)g(x)) = AB;(11)X —>Q-3) limх-ла д { х )= Д при условии, что В ф 0.ВДля доказательства этих свойств достаточно воспользоватьсяопределением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей (§ 5, п. 3). Другой способ доказательства — использование замечания 5 и свойств бесконечно малых функций. •Отметим частный случай утверждения (11):lim ( Cf (x)) = С lim /(ж),Ох —>ах —>ат. е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.5.Пределы монотонных функций.
Понятие монотонной функции было введено в § 9 (п. 7). Докажем теорему о существованииодносторонних пределов у монотонной функции.Т е о р е м а 2. Если функция / определена и является монотоннойна отрезке [а,Ь], то в каждой точке X q G ( а,Ь ) эта функция имеетконечные пределы слева и справа, а в точках а иЪ — соответственноправый и левый пределы.О Пусть, например, функция / является возрастающей наотрезке [а,Ь]. Зафиксируем точку Xq G (а,Ь]. ТогдаУх G [а, жо) ->■ /(ж) ^ /(ж 0).(12)В силу условия (12) множество значений, которые функция / принимает на промежутке [а,хо), ограничено сверху, и по теореме о точнойверхней грани существуетsup /(ж) = М, где М ^ f ( x о).а< ^х< хоСогласно определению точной верхней грани (§ 2) выполняютсяусловия:а) Ух € [а, Жо) —^ f ( x) ^ М;(13)б) Ve > 0 Зже € [а, ж0): М - е < / ( х е).(14)Обозначим 6 = Хо — х е, тогда 6 > 0, так как х е < X q .
Е с л и ж G€ (х£,хо), т. е. ж € (жо —фжо), то/ Ы ^ /(* ),(15)так как / — возрастающая функция. Из условий (13)Д15) следует,чтоVe > 0 35 > 0 : Vж € (жо —<5,жо) —>■/(ж) € (М —е ,М].Согласно определению предела слева это означает, что существуетlim /(ж) = / ( жо - 0) = М.х-У'Хо—ОИтак,/ ( ж0 - 0) = sup /(ж).а< ^ х< х о§10. Предел ф ункции85Аналогично можно доказать, что функция / имеет в точке Xq ££ [а, Ь) предел справа, причемf { x о + 0 ) = inf /{х). •xo<x^bС л е д с т в и е .
Если функция / определена и возрастает на отрезке [а,Ь], жо € (а, Ь), то/(ж 0 - 0) < /(ж 0) ^ /(ж 0 + 0).(16)З а м е ч а н и е 6. Т ео р ем а о пределе м онотонной ф у н к ц и и сп р авед ли вадля лю бого конечного или бескон ечн ого п р о м е ж у т к а . При этом , если / —в о зр астаю щ ая ф у н к ц и я , не о гр ан и ч ен н ая с в е р х у на (а, Ь), то lim /(ж ) =х —>Ь — О= + о о (в сл у чае, к о гд а Ь = + о о , п и ш у тlim/( ж ) = + о о ), а если / —Ж-++00в о зр астаю щ ая и не о гр ан и ч ен н ая с н и зу на п р о м е ж у т к е (а,lim /(ж ) = ^ о о ( lim /( ж ) = —оо).ж —+ а +0Ь)ф у н к ц и я , тох -А —оо6.Критерий Коши сущ ествования предела функции.
Будем говорить, что функция f i x ) удовлетворяет в точке ж = а условиюКоши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки а иVe > 0 35 = (5(e) > 0: Уж',ж" £ Ug{a) -+ |/(ж ') —/(ж ")| < е. (17)Л е м м а . Пусть существует число 6 > 0 такое, что функция /(ж)определена в проколотой S-окрестности точки а, и пусть для каждойпоследовательности { х п}, удовлетворяющей условию х п £ Ug{a) привсех п £ N и сходящейся к а, соответствующая последовательностьзначений функции {/(ж„)} имеет конечный предел. Тогда этот предел не зависит от выбора последовательности {х п}, т.
е. еслиlim f i x n) = А иlim / ( х п) = А,П —¥ ООП —¥ ООгде х п = Us ia) при всех п £ N и х п —¥ а при п -б- оо, тоА = А.О Образуем последовательностьЖ| . Ж| . ж2, ж2, ..., х п, х п, ...и обозначим к-й член этой последовательности через уу. Так какlim у у = а (см. § 4, пример 3) и уу £ Us{a) при любом к £ N, то пок —* ооусловию леммы существует конечный lim f{yu) = А' .
Заметим, чток -А о о{/(жп)} и {/(*„)} являются подпоследовательностями сходящейся последовательности {fiyk)}- Поэтому А = А ', А = А ', откуда получаем,что А = А. •Т е о р е м а 3. Для того чтобы существовал конечный предел функции /(ж) в точке ж = а, необходимо и достаточно, чтобы эта функцияудовлетворяла в точке а условию Коши (17).Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции86О Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть lim /(ж) = А; тогдах —>аVe > О 3<5 > 0: Уж € Us {a) -+ |/(ж) - А\ < | .(18)Если ж', ж" — любые точки из множества Us(a), то из (18) следует,что|/(ж ') - Дж")| = |(/(ж ') - А) - (f(x") - А)\ «С«С |/(ж ') - А\ + |/(ж") - А\ < | + | = е,т. е. выполняется условие Коши (17).Д о с т а т о ч н о с т ь .
Докажем, что если 3<5о: Us (а) С D ( f ) и выполняется условие (17), то существует предел функции / в точке а. Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть { х п} —произвольная последовательность такая, что х п G Us (а) и lim х п = а.х —>ооДокажем, что соответствующая последовательность значений функции {/(жп)} имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности { х п}.Если выполняется условие (17), то для каждого е > 0 можно найтичисло 5 = 5е > 0 такое, чтоУж',ж" G Us (a) -> |/(ж') - /(ж ")| < е.(19)Так как lim х п = а, то, задав число S = 6 (e) > 0, указанное вх —>ооусловии (19), найдем в силу определения предела последовательностиномер щ = Ne такой, чтоУте > Ne —1 0 < \хп —а\ < 5.Это означает, что для любого ri ^ N e и для любого тег Ne выполняются условия х п € Us{a), х т € Us (а) и в силу (19) |/(ж п) —/ ( х т)\ < е.Таким образом, последовательность {/(жп)} является фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности (§ 8) имеетконечный предел.
В силу леммы этот предел не зависит от выбора последовательности {хп}, сходящейся к точке а. Следовательно, функция /(ж) имеет конечный предел в точке а. •З а м е ч а н и е 7. Теорема 3 остается в силе, если точку а заменить одним из символов а — 0, а + 0, —о о , + о о ; при этом условие (17) должно выполняться в окрестности этого символа.§ 11. Непрерывность функции1. Понятие непрерывности функции.Оп р е д е л е н и е .
Функция /(ж), определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, еслиlim /(ж) = /(а ).х —va(1)§ 1 1 . Н епрерывност ь ф ункции87Таким образом, функция / непрерывна в точке а, если выполненыследующие условия:а) функция / определена в некоторой окрестности точки а, т. е.существует число <5q > 0 такое, что Ug0 (a) С D ( f );б) существует lim f ( x ) = А;в) А = f(a).Определение непрерывности функции /(ж) в точке а, выраженноеусловием (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке е- 6 ), с помощью окрестностей и в терминах последовательностейсоответственно в видеVe > 0 35 > 0: Уж: |ж —а\ < 5 -А |/(ж) —/(а )| < е,Ve > 0 3(5 > 0: Уж € Us (a) -> /(ж) G Ue(f(a)),У{ж„}: lim х п = а -A lim / ( х п) = /(а ).П —¥ ООП —¥ ООПодчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки а, и пределом функции является значение этой функциив точке а.Назовем разность ж —а приращением аргумента и обозначим Аж,а разность /(ж) —/(а ) — приращением функции, соответствующимданному приращению аргумента Аж, и обозначим А у.
Таким образом,Аж = ж —а, А у = /(ж) —/(а ) = / ( а + Аж) —/(а ).При этих обозначениях равенство (1) примет видlim Ay = 0.Да^ОТаким образом, непрерывность функции в точке означает, чтобесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечномалое приращение функции.П р и м е р 1. Доказать, что функция /(ж) непрерывна в точке а,если:а) /(ж) = ж3, а = 1; б)/ ( ж) = ^ , а ф 0; в) /(ж) = у/х, а > 0;г)f ( x ) = l xsinhЖ#0’о = 0.[0,ж = 0,А а) Если ж —>■ 1, то по свойствам пределов (§ 10, (11)) получаемж3 —^ 1, т.
е. для функции /(ж) = ж3 в точке ж = 1 выполняется условие (1). Поэтому функция ж3 непрерывна в точке ж = 1.б) Если ж —Уа, где а ф 0, то, используя свойства пределов (§ 10),^1 непрерывна в точке ж = аполучаем 1 У1 1 1 -г, т. е. функцияха х 1а1х1(а ф 0).Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции88в) Так как |л/ж —\/а\ = — -----у=, то отсюда получаем 0/ х + л/а—/а \ < ^\\/х —^ . Следовательно, / х —у/а -Л 0 при х -Л а. Это означает,Vачто функция у/х непрерывна в точке а, где а > 0.г) Функция / определена на R, и при любом х € R выполняетсянеравенство 0 ^ |/(ж) —/(0 )| = |/(ж)| ^ |ж|, так как sin — ^ 1 прих ф 0. Следовательно, lim /(ж) = /(0 ) = 0, т.
е. функция / непрерывнаж-»Ов точке х = 0. ▲По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятиенепрерывности слева (справа). Если функция / определена на полуинтервале (а —фа] и lim f ( x ) = f(a), т. е. / ( а —0) = /(а ), то этух-*а—Офункцию называют непрерывной слева в точке а.Аналогично, если функция / определена на полуинтервале [а,а + S) и f( a + 0) = /(а ), то эту функцию называют непрерывной справа в точке а.Например, функция f ( x ) = [ж] непрерывна справа в точке х = 1 ине является непрерывной слева в этой точке (§ 9, пример 1), так как/ ( 1 - 0 ) = 0, /(1 + 0) = /(1 ) = 1.Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и толькотогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.2.Точки разрыва. В п.
2 будем предполагать, что функция /определена в некоторой проколотой окрестности точки а.Точку а назовем точкой разрыва функции /, если эта функция либоне определена в точке а, либо определена, но не является непрерывнойв точке а.Следовательно, а — точка разрыва функции / , если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:а ) о € !>(/);б) существует конечный lim f ( x ) = А;в) А = /(а ).Если а — точка разрыва функции / , причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, т. е. lim f ( x) = f ( a — 0) иж—»а—Оlim f ( x) = f ( a + 0), то точку а называют точкой разрыва первогох —* а + Орода.З а м е ч а н и е 1. Если х = а — т о ч к а р азр ы ва первого рода ф у н к ц и и f ( x ) ,то р азн о с ть / ( а + 0) — / ( а — 0) н азы в а ю т скачком функции в точке а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
