Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Числовые ф ункции67Аналогично функцию / называют ограниченной сверху на множестве X С D( f ), еслиН О : Уж G X -+ /(ж) «С с 2.Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X , называют ограниченной на этом множестве.Функция / является ограниченной на множестве X тогда и толькотогда, когда3С > 0: Уж G X -+ |/(ж)| «С С.(4)Если неравенство |/(ж)| ^ С выполняется для всех ж £ D( f ), говорят,что функция / ограничена.Геометрически ограниченность функции / на множестве X означает, что график функции у = /(ж), ж £ X , лежит в полосе —С^С .Например, функция у = sin —, определенная при ж £ R, ж ф 0, ограничена, так какхsin - < 1.хФункция / не ограничена на множестве X , если условие (4) невыполняется, т.
е.У<7>0 Зжс € X: \ f ( xc )\ > С.(5)Если X = D( f ) и выполнено условие (5), то говорят, что функция /не ограничена.П р и м е р 8. Доказать, что функция у = — не ограничена.х1А Функция — определена при ж € R, ж ф 0. Пусть С — любое положительное число, и пусть жс = —7 = 1 тогда у(хс) = 2С > (7, т. е.Vвыполняется условие (5). ▲Пусть У — множество значений, которые функция / принимаетна множестве X С D( f ). Тогда точную верхнюю грань множества Yназывают точной верхней гранью функции / на множестве X и обозначают sup /(ж), а точную нижнюю грань множества Y — точнойх£Хнижней гранью функции / на множестве X и обозначают inf /(ж).хЕХЕсли X = D( f ), то в этих определениях указание на множество Xопускают.Пусть существует точка Xq G X С D( f ) такая, что для всех ж G Xвыполняется неравенство /(ж) 7 f ( x о)- Тогда говорят, что функция /принимает в точке Xq наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут / ( Жо) = m ax/(ж).
В этом случае sup /(ж) = / ( Xq).х^Хх£ХАналогично, если Зжо £ X С D ( f ): Уж G X/(ж) ^ / ( жо), то говорят, что функция / принимает в точке Xq наименьшее (минимальное)значение на множестве X , и пишут / ( жо) = min /(ж). В этом случаехЕХГл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции68inf /(ж) = /(ж 0).хЕХМаксимальные и минимальные значения называют экстремальными.Например, если /(ж) = sin ж, то su p /(ж) = m ax/(ж) = /(ж*), где7Гж* = —+27г/й,~X'e R~7Гf c e z , inf /(ж) = ш ш /(ж) = f ( x k), где х к = - - + 2тгк,Ix ERx ERIк £ Z.7.Монотонные функции. Функцию / называют возрастающей(неубывающей) на множестве X С D( f ), если для любых точек х± ££ X , Ж2 £ X таких, что х± < Ж2 , выполняется неравенство f ( x i ) ^<С / ( Ж2 ).
Если это неравенство является строгим (f ( xi ) < / ( Ж2 )), тофункцию / называют строго возрастающей на множестве X.Таким образом, функция / называется:а) возрастающей (неубывающей) на множестве X , еслиУж1 £ XУх2 £ X :Х\ < Ж2 —У / ( ж 1 ) ^ f ( x 2);б) строго возрастающей на множестве X , еслиУж1 £ XУж2 £ X : Xi < ж2 —У /( ж 1 ) < / ( ж2 ).Аналогично функция / называется:а) убывающей (невозрастающей) на множестве X , еслиУж1 £ XУж2 £ X : Xi < ж2 —У /( ж 1 ) > f ( x 2 );б) строго убывающей на множестве X , еслиУж1 € XУжг € X :Ж1 < Ж2 —^ / ( * i )> / ( Ж 2 ).Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названиемстрого монотонные.Если X = D( f ) , то в этих определениях указание на множество Xобычно опускают.П р и м е р 9.
Доказать, что функция / строго возрастает на множестве X , если:а) /(ж) = ж3, X = R;б) /(ж) = sin ж, Х =А а) Если 0 ^ Х\ < Ж2 , то ж3 < ж3, а если Х\ < Ж2 ^ 0, то 0 ^ —ж2 << —Ж1 , откуда(—ж2)3 < (—Ж1 )3.(6 )Так как ж3 — нечетная функция, то неравенство (6) можно записать в виде —ж| < —ж3, откуда ж| < ж|.
Наконец, если Ж1 < 0, аЖ2 > 0, то ж3 < ж3. Таким образом, неравенство ж3 < ж3 справедливодля любых X l £ R , x 2 £ R таких, что х± < х 2. Поэтому ж3 — строговозрастающая на R функция.§ 9. Числовые ф ункции69б) Пусть —~ ф Х\ < .r-> ф ~ : тогда„.Х9 ^ XIХ'> + XIsm ж2 —sm Х\ = 2 sm — -— cos — -— > О,так как о < X 9 X 1 < -7Г, - -7Г < * 9 + * 1 < 7Г-.Таким образом, неравенство втж 2 > s in ii выполняется дляXi ,X 2 £ — —, — , если ж2 > Х\. Следовательно, функция sin ж строгоL 2 2Jгвозрастает на отрезке I ——, —I. ▲8. Периодические функции.
Число Т ф 0 называют периодомфункции / , если для любого х £ D( /) значения ж + Т и ж —Т такжепринадлежат D( f ) и выполняется равенство/(ж —Т) = /(ж) = /(ж + Т).Функцию, имеющую период Т, называют периодической с периодом Т.Отметим, что если Т — период функции / , то каждое число вида пТ, где ri £ Z, п ф 0, также является периодом этой функции.Примерами периодических функций могут служить тригонометрические функции. При этом число 2п — наименьший положительный период функций sin ж, cos ж, а я — наименьший положительныйпериод функций tgж и Ф^ж.П р и м е р 10. Доказать, что функция /(ж) = sin ах, где а > 0, является периодической, и найти ее наименьший положительный период.А Предположим, что / — периодическая с положительным периодом Т функция.
Тогда для любых ж £ R должно выполняться равенствозтаж = зт а(ж + Т),(7)откуда при ж = 0 получаемsin а Т = 0, Т = — , где к € N.аТаким образом, положительными периодами функции sin аж могутбыть только числа к п /а , где к £ N. Заметим, что число п /а не является периодом функции sin аж, так как в противном случае привсех ж £ R выполнялось бы равенство sin аж = sin а(ж + п/ а) == sin(7r + аж) = —sin аж, т. е.
sin аж = 0, что невозможно.Число 2 п /а — период функции sin аж, так как при любых ж £ Rсправедливо равенство sin аж = в т а (ж + 2 п/ а).Таким образом, 2 п /а — наименьший положительный периодфункции sin аж. ▲9. Обратная функция. Пусть задана числовая функция у = /(ж),ж £ D(f ). Тогда каждому числу Xq £ D ( f ) соответствует единственное число уд = / ( Жо) £ E( f ) . Нередко приходится по заданному значению функции уо находить соответствующее значение аргумента,70Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункциит. е.
решать относительно ж уравнениеf ( x ) = Уо,Уо е £■(/).(8)Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечномного решений. Решениями уравнения (8) являются абсциссы всехточек, в которых прямая у = уо пересекает график функции у = /(ж).Например, если /(ж) = ж2, то уравнениеX2 = Уо,Уо > о,имеет два решения: Xq = y/уо и Xq = ^уП/о- Если /(ж) = sin ж, тоуравнениеsin ж = уо, |У о К 1,имеет бесконечно много решений вида х п = (^ 1 )”жо + пп, где ri £ Z,Жо — одно из решений этого уравнения.Однако существуют функции, для которых уравнение (8) при каждом уд £ E ( f ) однозначно разрешимо, т. е. имеет единственное решение Хо £ D(f ).
Этим свойством обладают, например, следующиефункции:а) /(ж) = Зж + 4, £>(/) = R;б) / ( ж) = ж3, D( f ) = R;в) /(ж) =D{f ) = {ж G R, х ф 0}.Если функция / такова, что каждое значение гуо € E ( f ) она принимает только при одном значении Хо € D( f ), то эту функцию называютобратимой. Для такой функции уравнениеf (x) = Уможно при любом у £ E ( f ) однозначно разрешить относительно ж,т. е. каждому у £ E ( f ) соответствует единственное значение ж £ D(f ).Это соответствие определяет функцию, которую называют обратнойк функции / и обозначают символом / -1 .Заметим, что прямая у = уо для каждого гуо £ E ( f ) пересекаетграфик обратимой функции у = /(ж) в единственной точке (жо,уо),где / ( ж0) = уоОбозначая, как обычно, аргумент обратной функции буквой ж, аее значения — буквой у, обратную для / функцию записывают в видеу = ГЧх),ж е D i r 1)-Для упрощения записи вместо символа / -1 будем употреблять букву 9 Отметим следующие свойства, которые показывают, как связаныданная функция и обратная к ней:1)если g — функция, обратная к / , то и / — функция, обратнаяк 9 ; при этомD(g) = E( f ) , E( g) = D( f ),§ 9.
Числовые ф ункции71т. е. область определения функции д совпадает с множеством значений функции / и наоборот;2) для любого ж Е D( f ) справедливо равенство9(f(x)) = х,а для любого х Е E ( f ) справедливо равенствоf(g(x)) = х;3) график функции у = д{х) симметричен графику функции у == /(ж) относительно прямой у — х\4) если нечетная функция обратима, то обратная к ней функциятакже является нечетной;5) если / — строго возрастающая (строго убывающая) функция, тоона обратима, причем обратная к нейфункция д также является строго возрастающей (строго убывающей).Свойства 1) и 2) следуют непосредственно из определения обратнойфункции, 4) и 5) — из определений обратной и соответственно нечетной истрого монотонной функции.Рассмотрим свойство 3).
Пустьточка (жо,2/о) принадлежит графикуфункции у = /(ж), т. е. у 0 = /(ж 0). Тогда ж0 = д(у0), т. е. точка (у0 , х 0)принадлежит графику обратной функции д. Так как точки (жо,2/о) и(уо,хо) симметричны относительно прямой у = х (рис. 9.9), то график функции у = д{х) симметричен графику функции у = /(ж) относительно этой прямой.На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных функций у == ж2, ж ^ 0, и у — л/х, а на рис. 9.11 — графики взаимно обратныхфункций у — ж2, ж ^ 0, и у = —у/х.10.Неявные функции. Параметрически заданные функции.
Пусть Е — множество точек М(х,у) плоскости Оху. Если каждой точке М Е Е поставлено в соответствие по некоторому правилу72Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции(закону) число z, то говорят, что на множестве Е задана числоваяфункция от переменных х и у, и пишут 2 = f ( x , y ), (х,у) Е Е.Например, объем конуса v есть функция от переменных г и /i, гдег — радиус основания, h — высота конуса. Эта функция задаетсяформулой v = - irr2 h.ОАналогично вводится понятие функции от трех и большего числапеременных.Пусть функция F( x, y) определена на некотором множестве точекплоскости. Рассмотрим уравнениеУ1\ . y = \Zl —X21Jl^Xтню0II1—i lF(x, y) = 0.(9)Графиком уравнения (9) в прямоугольной системе координат называют множество всех точекплоскости, координаты которыхудовлетворяют этому уравнению.Например, графиком уравнениях2 + у2 - 1 = 0(10)является единичная окружностьРис.
9.12(рис. 9.12).Естественной является постановка вопроса о том, можно ли уравнение (9) однозначно разрешить относительно у , т. е. найти единственную функцию у = /(ж) такую, что F(x, /(ж)) = 0, где х принимаетзначения из некоторого промежутка.Обратимся к уравнению (10). Если |ж| > 1, то не существует значений у таких, что пара чисел (х,у) удовлетворяет уравнению (10).Если |ж| ^ 1, то, решая это уравнение относительно у , получаемУ = ± л /Гж(п )Таким образом, если |ж| < 1, то из уравнения (10) у выражаетсячерез х неоднозначно: каждому значению х соответствуют два различных значения у , а именно у\ = —у/ 1 —х 2 и у 2 — у/ 1 — х 2 (у\ = у 2при х = —1 и х = 1).Отсюда следует, что всякая функция у = /(ж), которая в точкеж Е [—1,1] принимает либо значение 2/ 1 , либо значение 2/2 , удовлетворяет уравнению (10), т. е.ж2 + f 2 (x) —1 = 0,жЕ [-1,1].Например, функция у = /(ж), принимающая значение у\ при ж ЕЕ [—1,а), где —1 < а < 1, и значение у 2 при ж Е [а , 1], удовлетворяетуравнению (10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
