Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если последовательность {хп} является возрастающей и ограниченной сверху, то существуетlim х п = sup {хп}.п —УооЕсли последовательность {хп} является убывающей и ограниченной снизу, то существуетlim х п = inf {хп}.п —УооО Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченнойсверху и возрастающей последовательности. Если последовательность {хп} ограничена сверху, т. е. множество чисел ад,ж2 , х п, ...ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани (§ 2 )существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями (7), (8 ). Так как {хп} — возрастающая последовательность, тоVn ^ N £ -> x Ne ^ х п.(9)Из (7)-(9) следует, чтоMe > О 3N£ : Vn ^ N £ —>• а —е < xjy£ ^ х п ^ а,т. е.
х п Е U£(a).Это означает, согласно определению предела, чтоlim х п — а — sup {хп}.п —Уоо•З а м е ч а н и е 1. Т ео р ем а 1 о с т а е тс я сп равед ли вой для последовательности, о грани чен н ой св ер х у (сн и зу ) и в о зр астаю щ ей (убы ваю щ ей), н ач и ная с н екоторого номера.У п р а ж н е н и е 2. Д о к азать, что м он отонн ая п оследовательн ость сход и т ся то гда и только тогда, когда она ограни чен а.52Гл. II.
Предел последоват ельност иП р и м е р 1. Доказать, что если х п = — , где а > 0, тоlim х п = 0 .П —¥ ООА Так какХп+ 1 — П +, -|1 ХПч(Ю)то x n+i ^ х п при всех п ^ щ , где щ = [а], т. е. {х п} — убывающаяпри п ^ по последовательность. Кроме того, х п ^ 0 при всехп € N, т. е. последовательность ограничена снизу. По теореме 1последовательность { х п} сходится. Пусть lim х п = Ъ. Тогда, перехоп—>оодя к пределу в равенстве (10), получаем 6 = 0-6, т.
е. Ъ = 0. Итак,апlim —у = 0 . ▲(1 1 )п —>оо п\З а м е ч а н и е 2. У тв ер ж д ен и е (11) сп р авед ли во не то л ько при а > 0, но/и при лю бом е е / ? , т а к к а к14п\П р и м е р 2. Последовательность {хп} задается рекуррентной формулой(1 2 )х п+ 1 = 1 (х„ + — ) ,Z\Хп *где Х\ > 0, а > 0. Доказать, чтоlim х п = у/а.(13)П —¥ ООА Докажем сначала методом индукции, чтоVfc G N -> х к > 0.(14)Всамом деле, из формулы (12) и условий х± > 0, а > 0 следует, чтоХ2 > 0. Предполагая, что х п > 0,из равенства(12) получаем x n+i > 0Утверждение (14) доказано.Далее, применяя неравенство для среднего арифметического исреднего геометрического, из ( 1 2 ) получаемх п+ 1 = \ { х п + — ) > \2 Vхп)уХп —хп= /априriGЛ/,Vn > 2 ^> /а .(15)Итак, последовательность { х п} ограничена снизу.
Докажем, чтоона является убывающей. Запишем равенство (12) в видеа —х~„Хгг+1 ^ Х п = — ----- -,2 Хпоткуда в силу (14) и (15) получаемVn ^ 2 ^ х п+ 1 ^ х п§ 6. Предел м онот онной последоват ельност и53т. е. последовательность является убывающей при те / 2. По теореме 1существует lim х п = а, где а / у/а > 0 в силу условия (15). Переходяп—>оо~)> 0ТКУДа о 2 = aiв равенстве (12) к пределу, получаем а =а = у/а, т. е.
справедливо утверждение (13). ▲3. Число е. Рассмотрим последовательность { х п}, гдехпи покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем11х п — 1 + С„ — Ь С- -77Ппгдеп к _ п(п^ П1с1 ) . . . ( п - (к - 1))к!Пп кпПк = 1, те,С “ = 1.Запишем х п в следующем виде:П■• = 1 + Е в ( 1 - ;к-11- -тек=1(16)тогдап+1Д++1 = 1 +1^11П+ 1fc=l1п+1fc-1п+1(17)Все слагаемые в суммах (16) и (17) положительны, причем каждоеслагаемое суммы (16) меньше соответствующего слагаемого сумг а число слагаемых в1-77 так как 11 ----т < 1 -----------,т то = 1,те1------мы /(17),—1,vпп+ 1сумме (17) на одно больше, чем в сумме (16). Поэтому х п < x n+i длявсех те € Л/, т.
е. {хп} — строго возрастающая последовательность.Кроме того, учитывая, что 0 < 1 ----- < 1 (то = 1, те —1), из равенстПва (16) получаем х п < 1 +—. Так как — sC- при к € N, то,к= 1используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем х п <1 ■Vк= 11ok-i—! +т1 —(V 2)” _ з _/ 521 -—1 1/1 -j-. Следовательно,Ж" = ( 1 + п ) < 3 ,т. е. {х п} — ограниченная последовательность. По теореме 1 существует lim х п.
Этот предел обозначается буквой е. Таким образом,1\ пlim (( 1 -1—= е.га-)-оо ч п /( 1 8)54Гл. II. Предел последоват ельност иЧисло е является иррациональным, оно служит основанием натуральных логарифмов и играет важную роль в математике.
Справедливо приближенное равенствое и 2,718281828459045.У п р а ж н е н и е 3. Д о к азать, ч то limп—>оо^л /п \= П.У п р а ж н е н и е 4.Д о к азать, что п оследовательн ость {хп }, зад ан н аяпри п € N ф орм улой x n+i = л/а + х п и услови ем xi = л/а, сх од и тся, и н ай тиее предел.У п р а ж н е н и е 5. Д о к азать, что п оследовательн ость {хп }, зад ан н аяпри х € N р ек у р р ен т н о й ф орм улой х п+\ = х п (2 — х „) и условием x i = а,где 0 < а < 1, сх о д и тся, и н ай ти ее предел.4.Теорема Кантора о вложенных отрезках. Назовем последовательность отрезков Д 1 , Д 2 , ..., Д п, ..., где Д п = [ап,Ьп], стягивающейся, если выполнены следующие условия:а) каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, т.
е.Vn € N —1 Д п+1 С А п;(19)б) длина n-го отрезка Д п стремится к нулю при ri —1 00, т. е.lim (bn - ап) = 0 .(20 )П —¥ ООУсловие (19) означает, что(1 \ / 0>2 / ■■■ / &П // ■■■ / &п-\-1 ^/ ■■■ ^ ^2 ^ ^1 • (^^)Т е о р е м а 2 (Кантора). Если последовательность отрезков является стягивающейся, то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.О а) С у щ е с т в о в а н и е . Из условия (21) следует, чтоVn G А/Vto £ N —1 а п ^ Ьт. (22)По теореме об отделимости числовых множеств (§ 2, теорема 2)из (22 ) заключаем, что существует sup{a„} = с, причемVn € Nа п ^ с ^ Ьп ,т. е.
существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы {Д„}.б)Е д и н с т в е н н о с т ь . Пусть существуют две различные точкис и с', принадлежащие всем отрезкам последовательности {Д„}, т. е.с £ А п и с' € Д„ при любом п € N. Так как с ф с', то либо с < с', либос' < с. Пусть, например, с < с'. Тогда ап ^ с < с1 ^ Ьп при любом ri£Nоткуда по свойствам неравенств Ъп —ап ф с1 —с = а > 0 при любомп € N, что противоречит условию (20). Итак, а = 0, т.
е. с' = с. •У п р а ж н е н и е 6. Д о к азать, что если вы полнены усл о ви я (20) и (21),то п о следовательн ости { а п } и {Ьп } я в л я ю т с я сх о дящ и м и ся, п ричемlim а„ = lim Ь„ = с, где с = su p { a„} = in f {Ьп }-§ 7. П одпоследоват ельност и. Част ичные пределы55§ 7. Подпоследовательности. Частичные пределы1.Подпоследовательность. Пусть задана последовательность{хп}. Рассмотрим строго возрастающую последовательность {те*,} натуральных чисел, т. е. такую, чтоте* < те2 < ... < те*, < •••Тогда последовательность {ук}, где ук = х Пк при к € N, называется подпоследовательностью последовательности {хп} и обозначается {хПк}. Например, последовательность нечетных натуральныхчисел 1, 3, 5, 7, 9, ..., взятых в порядке возрастания, является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел 1 , 2 , 3, ...,а последовательность 3, 5, 1, 9, 11, 7, ...
уже не является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.Согласно определению подпоследовательность {х Пк} образована изчленов исходной последовательности {хп}, причем порядок следования членов в подпоследовательности такой же, как и в данной последовательности {хп}. В записи {х Пк} число к означает порядковыйномер члена последовательности х П1, х П2,..., а те*, — номер этого члена в исходной последовательности. Поэтому те*, к, откуда следует,что Пкоо при к —¥ оо.Введем теперь понятие частичного предела. Пусть {х Пк} — подпоследовательность последовательности {х п}, и пусть существует конечный или бесконечный lim х Пк = а. Тогда а называют частичнымk —t оопределом последовательности {х п}.
Например, последовательность{( —1)” } имеет два частичных предела, а именно —1 и 1. Последовательность { 1 + ( —1 )”те} имеет два частичных предела, а именно ОИ +00.Если {х п} — ограниченная последовательность, a L — множествовсех ее частичных пределов, то числа sup L и inf L называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности иобозначают соответственно символами lim х п и lim х п.П—^ООП—¥00Например, для последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... имеемlim х п = 3, lim х п = 1 .ооп —?-ооУ п р а ж н е н и е 1.
Д о к азать, что если н еко то р ая подпоследовательн ость {х„к} монотонной п о следовательн ости {хп} с х о д и тся и lim хПк = а,то с у щ е с т в у ет limn—tooхп = а.к—*00У п р а ж н е н и е 2. Д о к азать, что если п оследовательн ость и м еет предел,то лю б ая ее п о дп оследовательн ость и м ее т т о т ж е предел.У п р а ж н е н и е 3.
П р и в ести п рим ер н еогр ан и чен н о й последовательности:а) не и м ею щ ей к онеч ны х ч а с ти ч н ы х пределов;б) им ею щ ей конечное число конеч ны х ч а с ти ч н ы х пределов;Гл. II. Предел последоват ельност и56в) им ею щ ей бескон ечн о много ч ас ти ч н ы х пределов.У п р а ж н е н и е 4.
П р и вести п рим ер п о следовательн ости та к о й , что:а) ее ч ас ти ч н ы м и п р еделам и я в л я ю т с я все члены данной последовател ьн о сти ;б) к аж д о е в ещ ествен н о е число — ее ч а с ти ч н ы й предел.2.Существование частичного предела у ограниченнойпоследовательности.Т е о р е м а (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.О Пусть {х п} — ограниченная последовательность, тогда все членыпоследовательности принадлежат некоторому отрезку, т. е.З а ,b: Vn G N -+ х п £ Д = [а, Ь].(1)Разобьем отрезок А = [а, Ь] пополам точкой d.
Тогда по крайнеймере один из отрезков [a, d], [d,b] содержит бесконечное число членовпоследовательности {х п}. Если оба отрезка обладают этим свойством,возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членовданной последовательности, обозначим Ai = [ai,bi], его длина равна,b —аb l -a i=—Разделив отрезок Ai пополам, выберем указанным выше способомиз двух получившихся отрезков отрезок Д 2 = [02 , 62]) содержащийбесконечное число членов последовательности {х п}.Продолжая эти рассуждения, получим последовательность {Д„ == [a„,b„]} отрезков таких, что:1 ) A i D Д 2 D ...2) Ъп - а п =DА пэАп+1 А - ;->■ 0 при п ->■ оо.Следовательно, {Дп} — стягивающаяся последовательность отрезков.
По теореме Кантора существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам, т. е.Зс: Vfc G Л/ —^ с G А*.(2)Покажем, что найдется подпоследовательность { х Пк} последовательности {х п} такая, чтоlim х Пк = с.(3)К —¥ ООТак как отрезок Ai содержит бесконечное число членов последовательности { х п}, то3ni G N: х П1 G Ai.§ 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
