Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 7
Текст из файла (страница 7)
д.Отметим, наконец, что последовательность {хп} можно изобразить:а) точками с координатами ( щ х п), те G А/, на плоскости;б) точками х п, те € А/, на числовой оси.2. Определение предела последовательности.О п р е д е л е н и е . Число а называется пределом последовательности {хп}, если для каждого е > 0 существует такой номер N e, что длявсех те > iV, выполняется неравенство\хп - а\ < е.Если а — предел последовательности, то пишут lim х п = а илип —»оох п —Уа при те —¥ оо.С помощью логических символов это определение можно записатьв виде{ lim х п = a}Ve > О 3N e : Vn ^ Ne —^ |жп —а| < е.(1)П—¥ООПоследовательность, у которой существует предел, называют сходящейся.Таким образом, последовательность {хп} является сходящейся,еслиЗа G R: Ve > О 3N e : Vn > N e -> \хп - а\ < е.(2)Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.Заметим, что если х п = а для всех те € N (такую последовательность называют стационарной), то lim х п = а.п —>ооИз определения (1) следует, что последовательность {хп} имеетпредел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность{хп —а} имеет предел, равный нулю, т.
е.{ lim х п = a) 4V { lim (х п - а) = 0 }.п —>ооп —>оо§4■ О пределение предела последоват ельност и37П р и м е р 1. Записать с помощью логических символов отрицания следующих утверждений:а) А = {число а — предел последовательности {ж„}};б) В = {{ж„} — сходящаяся последовательность}.А а) Используя указанное в п. 1 § 1 правило построения отрицанияутверждения, содержащего символы V, 3, из (1) получаем~\А = {Зе0 > 0 : Vfc € NЗте ^ к: \хп —а\ ^ £о},где п зависит, вообще говоря, от к, т. е. п = п(к).б) Из (2) следует, что~\В = {Va € RЗе0 > 0 : Vfc € NЗп ^ к: \хп —а\ ^ £о}- АП р и м е р 2. Пользуясь определением, найти предел последовательности {хп}, если:а) х п = - —пб) х п =в) x n = qn, |<?| < 1 ;Пa G R, г = — , то G N;________т_г) х п = y/n + 2 - y / n + l ;Пд ) * П= Х У -1 , М < 1 ;к= 1пге) ж» = Ещ + !)■к= 1А а) Докажем, что lim х п = 1.
Так как х п = 1 —1/те, то \хп — 1| =п —too= 1/те. Возьмем произвольное число £ > 0. Неравенство \хп — 1| < £будет выполняться, если 1/те < £, т. е. при те > 1/е. Выберем в качестве N e какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условиюNe > 1/е, например, число N e = [1/е] + 1, где [ж] = Е(х) —целая часть числа х, т. е.
наибольшее целое число, не превосходящее х. Тогда для всех теNe будет выполняться неравенство\хп —1| = 1/те ^ 1/ N e < е. По определению предела это означает,что lim х п = 1 , т. е. lim —---- = 1 .П—¥ООП—¥ОО 71б) Так как |жп| ^ |а|/тег, а неравенство |а|/тег < е, где е > 0, равносильно каждому из неравенств тег > |а|/е, те > (|а |/е )та, то при всехте N e, где N e = [(|а|/е)та] + 1, справедливо неравенство |жп| < е. Следовательно, lim а / п г = 0 .п —tooв) Если q = 0, то х п = 0 для всех те G А/, и поэтому lim х п = 0.п—>ооПусть q ф 0.
Обозначим г = 1 /1</|, тогда г > 1, так как |g| < 1.Поэтому г = 1 + а, где а > 0, откуда-L\я\= г ” = (1 + а ) ” > а пв силу неравенства Бернулли (§ 3, п. 5, (33)). Следовательно,Ы1 1= ы11п < — ,(3)4'Гл. II. Предел последоват ельност и38и для всех те > АД, где АД = [1/(ае)] + 1, выполняются неравенства|жп| < — Д —— < е. Это означает, что lim х п = 0, т. е.anaNeп —s-oolim qn = 0 ,п—>оо\q\ < 1 .еслиг) Умножив и разделив х п на \/п + 2 + \/п + 1, получимхп =( л / п + 2 )2 — ( л / п + I ) 2 _\/п11 2 + \/п 1 I\Д//..
1.2 + -^/те +1откуда |жп| < —^=. Неравенство — < е будет выполняться, если2 ^/п2 ^/пУп > — ,т. е.при п > —т-. Пусть АД = —г + 1 , тогда для всех те Д: АД2е4е2“ L4e2J“выполняются неравенства |жп| < — Д — = = < е. Это означает, что2v « 2уЛДlimжп = 0 , т. е. lim (Уп + 2 —+ 1 ) = 0.П—¥ООП—¥ООд)Используя формулу для суммы геометрической прогрессии (§ 3,п. 5,6), (36)), получаем х п = —— — = -— - —-— - , откуда в силу (3)следует, что неравенствахп1_1 -91<?Г </1 —q1 ;— < е, где71(1----—q)anе > 0, выполняются для всех п У АД, где N * = \—.—-—г—1 + 1, а =I1L a (l — q)e l= —- - 1 , т.
е. lim х п = ----- .\q\1 _ 9п->оо\ ГГ11 11 1 , 1 1 ,е) TaR RaR Д Г Т Т ) = к ~ Г Т Т ' т0~ 2 2 ~ 3*1111,1... + -------------- 1=1, откуда находим lim жп = 1. Ап —1ппп + 1п+ 1п —>ооП р и м е р 3. Пусть lim х п = а, Ипт уп = а. Доказать, что послех —>ооу-У оодовательностьXI, 2/1 , Х2, У2Хк, ук ...(4)сходится и ее предел также равен а.А По определению предела для любого е > 0 существуют АД = АД(е)и АД = АД(е) такие, что для всех те Д; АД выполняется неравенство|ж„ —а| < е, а для всех те Д: АД выполняется неравенство |уп —а| < е.Обозначим те-й член последовательности (4) через zn. Тогда еслиАД = тах(АД, АД), то для всех те Д: 2Ne будет выполняться неравенствоIz„ —а| < е.
В самом деле, если те = 2к и те Д: 2АД, то= ук, где к УД; АД Д; АД, и поэтому \zn — а| = |у* —а| < е. Аналогично, если те == 2к —1 и те Д: 2Ne, то zn = х к, где к > А" у А). и поэтому |z„ —а\ == |х к - а\ < е. АП р и м е р 4. Доказать, что если lim х п = а, топ —>ооrlimXI + Х 2 + ... + Х пП= а.§4- О пределение предела последоват ельност и39Л ГЛ*ОЖ1 + Ж 2 + . . .
+ Ж п, тогдаДОбозначим ук = Xk — а, Ьп= ---------------------пСоп„ _У1+У2 + - + У пи—п•Так как lim уп = 0, то по заданному г > 0 можно найти номер N =п —Уоо= N £ такой, что для всех п ^ N выполняется неравенство \уп \ < г/2.Обозначим С = \у\ + у 2 + ... + Vn\- Тогда, если п > IV, то|g _ а | <Ы+ 2/2 + ... + Щу|\v n + i \+ ••• + bn| << Спe n - N2п< Сп^е2Выберем номер N = N £ такой, что C / N < г/2.
Тогда для всехN будет справедливо неравенство С /п < г/2.Пусть, наконец, п£ = т а x(N £,N £); тогда для всех п ^ п £ выполняется неравенство \Sn —а\ < г. Следовательно, lim Sn = а. Ап—УооОбратимся еще раз к определению предела. Согласно определениючисло а является пределом последовательности {жп}, если при всехn ^ N £ выполняется неравенство \хп —а\ < г, которое можно записатьв видеа — £ < х п < а + г.Другими словами, для каждого г > 0 найдется номер N £, начиная скоторого все члены последовательности {хп} принадлежат интервалу (а —г, а + г).Этот интервал называют г-окрестностью точки а (рис.
4.1) и обозначают U£(a), а также 0 £(а), т. е.U£(a) = {х: а — г < ж < а + г} = {ж: \х —а\ < г}.Итак, число а — предел последовательности {жп}, если для каждойг-окрестности точки а найдется номер, начиная с кои£(а)торого все члены последовательности принадлежат этойокрестности, так что вне этойокрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное числочленов.С помощью логических символов определение предела последовательности “на языке окрестностей” можно записать так:{ lim х п = а} о Уг > О 3Ne : Vn ^ N £ —>• х пп—УооЕU£(a).П р и м е р 5. Доказать, что последовательность {жп}, где х п == (—1 )п, является расходящейся.40Гл.
II. Предел последоват ельност иД На числовой оси члены последовательности {хп} изображаютсяточками —1 и 1, причем ж2к = 1, %2k -i — —1? к е N. Любое числоа, где а ф ± 1 , не может быть пределом последовательности, так каксуществует г-окрестность точки а (достаточно взять г = min(|a + 1 |,[а —11)), не содержащая ни одного члена последовательности. Число 1также не является пределом последовательности, так как существуеттакая г-окрестность точки а (г = 1 / 2 ), что вне ее содержится бесконечно много членов последовательности (все члены с нечетныминомерами).
Аналогичное утверждение справедливо и для точки —1.Таким образом, ни одно число не является пределом последовательности, т. е. {хп} — расходящаяся последовательность. АУ п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, что если lim х п = а, топ —>ооlim \хп \ = М,п —>ооlim ( xn+i ~ х п) = 0.п —>оо3. Единственность предела последовательности.Т е о р е м а 1. Числовая последовательность может иметь толькоодин предел.О Предположим, что последовательность {хп} имеет два различныхпредела а и 6, причем а <Ъ (рис. 4.2). Выберем г > 0 таким, чтобыг-окрестности точек а и b не пересекались (не имели общих точек).Возьмем, например, г = (Ъ — а )/3.
Так как число а — предел последовательности {жп}, то по заданному г > 0 можно найти номер Nтакой, что х п G U£(a) для всех п ^ N. Поэтому вне интервала U£(a)может оказаться лишь конечное число членов последовательности.В частности, интервал U£(b) может содержать лишь конечное числочленов последовательности.
Это противоречит тому, что b — пределпоследовательности (любая окрестность точки b должна содержатьбесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет толькоодин предел. •4. Ограниченность сходящейся последовательности. Последовательность {хп} называется ограниченной снизу, если существует такое число Ci, что все члены последовательности удовлетворяютусловию х п ^ Ci, т. е.3 C i : Vn G N —>• х п ^ С\.§4■ О пределение предела последоват ельност и41Последовательность {х п} называется ограниченной сверху, еслиЗС2: VnG N ^ t x n ф С 2■Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т.
е. последовательность {х п} называется ограниченной, еслиНГ, 3С2 : Vn G N -> Ci «С х п ф С2.(5)Таким образом, последовательность называют ограниченной, еслимножество ее значений ограничено.З а м е ч а н и е 1. Условие (5) равноси льно следую щ ем у:3(7 > 0: Vn е N - 1 |ж„| ^ (7.(6)В сам ом деле, и з усл о ви я (6) сл еду ет (5), если в зя т ь С\ = —С, С% = (7, а изусл ови я (5) следует (6), если в з я т ь (7 = m a x ( |(7i|, |<7г|).Геометрически ограниченность последовательности означает, чтовсе члены последовательности содержатся в С-окрестности точкинуль.Т е о р е м а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
