Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 11
Текст из файла (страница 11)
К рит ерий К ош и сходимост и последоват ельност и57Отрезок Д 2 также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтомуЗте2 > in- х П2 £ Д 2.Вообще,Ук £ NЗпр'- х Пк £ Ак,где щ < те2 < ... < n*_i < п*.Следовательно, существует подпоследовательность {х Пк} последовательности {хп} такая, чтоУк £ N -+ ак ^ х Пк ^ Ък.(4)Условия (2) и(4) означают, что точки с их Пк принадлежат отрезкуАр = [а-к,Ьк], и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка Д*.,т. е.\хПк - с | «С Ък - а к =(5)Так как j p r j — бесконечно малая последовательность (§ 4, пример 2, в)), то из (5) следует, что справедливо утверждение (3).
•З а м е ч а н и е . Т е о р е м у В ольцан о-В ейерш трасса м ож но сф ор м ул и р ов а ть т а к : л ю б ая о гр ан и ч ен н ая п оследовательн ость и м е е т х о тя бы один части ч н ы й предел.У п р а ж н е н и е 5. П о казать, что в с я к а я н ео гр ан и ч ен н ая п оследовательн ость и м е ет ч ас ти ч н ы й предел, равны й оо.У п р а ж н е н и е 6. Д о к азать, что для того, чтоб ы а, где а — число илиодин и з сим волов + о о , —оо, было ч а с ти ч н ы м пределом п оследовательност и , необходим о и до стато ч н о , чтобы в лю бой о к р е с т н о с т и а содерж алосьб ескон ечн ое число членов это й п оследовательн ости.§ 8. Критерий Коши сходимости последовательности1.Фундаментальная последовательность.
Последовательность {хп} называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого е > О существует такое натуральное число пе,что для любого п ^ пе и любого гп ^ пе справедливо неравенство\хп — х т\ < е. Кратко это условие можно записать так:Ve > О 3пе : У п ^ п е Ут ^ п£ —¥ \хп —х т\ < е,(1)или в другом виде:Ve > О 3пе : Уп ^ п£ Ур £ N -+ \хп+р —х п\ < е.Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной.О Пусть е = 1, тогда согласно условию Коши (1) найдется номер щтакой, что для всех п ^ п о и для всех г п ^ п о выполняется неравенствоIХп - х т\ < 1 , и, в частности, \хп - х щ>| < 1 .Гл.
II. Предел последоват ельност и58Так как \хп\ = \{хп - х По) + х По\ ^ |жПо| + \хп - х По\ < |жПо| + 1 длявсех п ^ п о, то при всех п € N справедливо неравенство |жп| < С , гдеС = max ( | x i | , | x no_i| , |жПо| + 1). Это означает, что {хп} — ограниченная последовательность. •У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, что п ро и зведен и е двух ф у н д ам ен тал ьн ы хп оследовательн остей ест ь ф у н д ам е н та л ь н ая последовательн ость.2.Н еобходимое и достаточное условие сходимости последовательности.Т е о р е м а (критерий Коши). Для того чтобы последовательностьимела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной.О Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть последовательность {х п} имеет конечный предел, равный а.
По определению пределаVe > 0 3Ne : Vp > N e -> \хр - а\ < | .(2)Полагая в (2) сначала р = п, а затем р = то и используя неравенстводля модуля суммы (разности), получаем\%п%т| — | (%п El) (^т El) | $5 \%п El\ ~\~ \хт о\ <С — Т — — Е.Следовательно, для любого п~^ N e и для любого m , ^ N e выполняетсянеравенство \хп —х т\ < е, т. е. выполняется условие (1) при пе = Ne.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть {хп} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательностиVe > 0 3пе : Уп'Д пе Vto пе —¥ \хп —х т\ < | .(3)Так как фундаментальная последовательность {хп} является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность {х Пк}.
Пусть ее предел равен а, т. е.lim х Пк = а.к—^оо(4)Покажем, что число а является пределом исходной последовательности {х п}. По определению предела (4)Ve > 0 3ке : Vfc ке —^ \хПк —а| < | .(5)Пусть N e = maх ( п е,к е). Фиксируем в (5) номер прNe (такойномер найдется, так как пр —¥ оо при коо). Тогда при то = пр ипри всех п~^ N e в силу (3) выполняется неравенство\ Х п - Х Пк \ < ^ .Из (5) и (6 ) следует, что при всех пN e справедливо неравенство\хп —а| = |(хп - х Пк) + (хПк - а)| ^ \хп - х Пк\ + \хПк - а\т.
е. lim х п = а. •п —>оо(6 )< | + | = е,Упражнения к главе I I59Пр и м е р . Доказать, что последовательность {х п}, гдехп =1 + -2 + ... Н—п ,расходится.А Последовательность { х п} расходится, если не выполняется условие Коши (1), т. е.Зео > 0: Vfc € NЗп ф к 3то ^ к: \хп —жто| ^ £о-(7)Пусть задано любое к € N, положим п = 2к, т = к. ТогдаI\ ^ ^ х п]I =I \х2 к ^ х к\I = —1+ —1, 1- .+ .
. . + -1 ф- - к1 =Таким образом, условие (7) выполняется при £о = i , и в силу критерия Коши последовательность { х п} расходится. ▲У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ II1.Н ай ти lim х п , если:n—toОа.) х п = 2 ,3 4 3 4 ...3 4 ;б) х пП.(Зп + 2)4 + (п - З)4В) ^ = (2п(2п4+ЗУ ++ (п2 + З)2(п.22++ 1I )У2 ’;а1 + а1п '.Г)*' " =2^к (к + l)(fc + 2)к=1Д о к азать, что если п оследовательн ость {хп } сх о д и тся, а последовате л ьн о с ть {j/,,} р асх о д и тся, то при Ь ф 0 п оследовательн ость { ах „ + Ъуп}расхо ди тся.3 . Д о к азать, что если lim X 2 k = a, lim * 24-1 = Ь, где а ф Ь, то последок—toск—tooв ате л ь н о сть { х к } расх о ди тся.4 .
П р и в ести п рим ер о гр ан и ч ен н ы х п о следовательн остей { х п } и { у п },2.где у п ф 0 при всех п € А/, т а к и х , что п оследовательн ость < — > не огра-LУп Jничена.5 . И спользуя л о ги ч ески е си м волы , сф о р м у л и р о в ать у т в ер ж д е н и я:а) п оследовательн ость {х п } не огр ан и чен а сверху;б) п оследовательн ость не я в л я е т с я убы ваю щ ей.6 . П усть су щ ест в у ет число С > 0 т ак о е, ч то \уп \ ф С для всех п 6 Л/,а п оследовательн ость {хп } о гр ан и чен а. Д о к азать, что п оследовательн остьГх п 1< — > о грани чен а.LУп J7.
Д о к азать, ч т о сх о д ящ аяся п оследовательн ость {хп } д о с т и га е т хот я бы одной и з своих т о ч н ы х гр ан ей , верхней sup{ccn } =или н иж нейinf{a;n } = т , т. е. су щ ест в у е т номер к та к о й , что Хк =или су щ ес тв у е тномер р т а к о й , ч то х р = т .8 . Д о к азать, что если lim х„ = + о о , то п оследовательн ость {хп } доn —t o oс т и га е т своей точн ой н и ж н ей грани .Гл.
II. Предел последоват ельност и609 . Д о к азать, ч то если lim х п = оо и с у щ е с тв у е т число С > 0 т а к о е , чтоn —t o Одля всех п +} по в ы п о л н яется н ер авен ство |у „| ^ С, то lim х п у п = оо.n —t o О1 0 . Д о к азать, что в с я к а я м он отонн ая п оследовательн ость и м е ет то л ькоодин ч а с ти ч н ы й предел.11 . Д о к азать, ч то п оследо вател ьн о сть х п я в л я е т с я ф ун д ам ен тальн о йто гд а и то л ько то гд а, когда в ы п о л н яется следую щ ее условие:Ve > 0 3iV: Vn > N —>• \х„ —®дг| < е.12 . Д о к азать, что п оследо вател ьн о сть { х п } сх о д и тся, если сх о д я тся ееподп оследовательн ости {ссг/е}, {*24- 1 } и {*34}.1 3 .
Д о к азать, ч то если { х п } — м он отонн ая п оследовательн ость иПlim х п = 0, то подп оследовательн ость { у п }, где у п = N '( —l ) k^ 1xie, схоп —^ОО' 'Jк= 1ди тся.1 4 . П р и в ести п рим ер расходящ ей ся п о следовательн ости { х п } т ак о й , чтодля лю бого р € N в ы п о л н яется условиеlim (х п +р - хп) = 0 .п —^ОО1 5 . П р и в ести п рим ер сходящ ей ся п о следовательн ости { х п } т а к о й , чтоlim n ( x n+i — х „) = оо.п —^ОО1 6 . Д о к азать, ч то су щ е с т в у е т ко н еч н ы й lim х п , если lim ( x n +i —n —t o on —t o o— x n ) = 0 и для лю бого п € N вы п о л н яю тся условия\хп+2 - * n + l | ^ |* п + 1 - Х п \,( Хп+2 ~ * n + l ) ( ® n + l - Х п ) ^0.1 7 . Д о к азать, что п оследовательн ость { х п } сх о д и тся, если су щ ест в у ет число С > 0 т ак о е, ч то для всех п € N в ы п о л н яется н еравен ствоП\хк,+1 - Хк | < С .к =11 8 .
Д о к азать, что п оследовательн ость {хп }, г ДеХп"153 к+пУк =1и м е е т предел а так о й , ч то 1 / 2 < а < 1 .1 9 . П оследовательн ость {хп } зад ан а при всех п € N р ек у р р е н т н о й форм улой х п +1 = 1 — х ‘п и услови ем х \ = а, где 0 < а < 1. Д о к азать, что этап оследовательн ость сх о д и тся, и н ай ти ее предел.2 0 . П у стьx i = 1, Х 2 = Ь, х п = Хп~ 2 ^ Хп~ 1 Пр И ,, ':> ;; Д о к азать, что,,а + 2blim х п = --------- ..n —t o o321 Д о к азать, что если х п > 0 при п € N и lim х п = а, тоП—to onlim22.t y x i хо... х п = а.Д о к азать, что если х п > 0 при п € N и limХпn —t o o X n —ilimn —t o oа.
тоГ Л А В А IIIПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ ФУНКЦИИ§ 9. Числовые функции1. Понятие числовой функции. Пусть дано числовое множество X С R. Если каждому ж G X поставлено в соответствие понекоторому правилу число у, то говорят, что на множестве X определена числовая функция.Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторымсимволом, например, / , и пишуту = /(ж),х G X,(1)а множество X называют областью определения функции и обозначают £>(/), т. е. X = £>(/).В записи (1) ж часто называют аргументом или независимой переменной, а у — зависимой переменной. Числа х из множества D ( f ) называют значениями аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
