Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Xп— cos (к + ^ j xполучаемX. П+1. п2 sin —bn = cos - —cos I п + - Iх = 2 sin —-— x sin —xZс\c/zzоткудаsm nS',, =f ^k=1^ x sin 5 *sinfcx = ------ -— 7f---- — .Qinsm —Ti2Формула (40) справедлива при условии, что sin ^ ф 0.Если sin ^ = 0, то S',, = 0.(40)Гл. I. В ещ ест венны е числа30в) Воспользуемся тождеством(ж+ I )3 - ж3 = Зж2 + 3ж + 1.(41)Полагая в (41) ж = 1,2, ...,п и складывая получаемые равенства, наХОДИМппп^ ( ( f c + l ) 3 - f c 3) = 3 ^ f c 2 + 3 ^ f c + n.к= 1к=1к(42)= 1Так как левая часть (42) в силу равенства (37) равна (те + I )3 —1,Пак = —------ - (формула (35)), то из равенства (42) следует, чток= 13Sn = (те + I )3 - (те + 1 ) - | те(те + 1 ),откуда3п(43)Jn = ^ Г к * = п{п + 1){2п + 1).к= 1Заметим, что формула (43) была доказана в примере 1 методом математической индукции.
▲в) Бином Ньютона. Из курса школьной математики известно, что(а + Ь)2 = а2 +(,а +b f2a b+ Ъ2 ,= а 3 + За2Ь + ЗаЬ2 +Ъ3 .У т в е р ж д е н и е 6 . Для любых чисел а, Ъ и при любом те € N справедлива формула бинома Ньютона(,а + Ь)п = С%ап + С 'а п~ 1 Ь+ ... + Скап- кЪк + ... + С ^ а Ь" " 1 + СЦЬп,(44)гдеГ °У~У -1-L ^Г к — " ( " - ! ) • • • ( " - ( * - ! ) )^ .b - T ~-Lrу I -*)/V* •1 - 1 . 2 -• ••- кгь(45)Правую часть формулы называют разложением бинома, числа С к — биномиальными коэффициентами, слагаемое Скап^ кЬк —к-м членом разложения бинома.О Воспользуемся методом математической индукции. При те = 1формула (44) верна, так как ее правая часть равна С®а + С}Ь = а + Ь.Предполагая справедливым равенство (44), докажем, что вернаформулаП +1(,а + b)n+1 = ^к=0С к+1 ап+1 - кЬк.(46)§ 3 . Операции над вещ ест вен ны м и числам и31Умножая обе части равенства (44) на а + Ь, получаем(а + b)n+1 = А п + В п,гдепА п = а п+1 + ^ С кап+1 ^ кЬк,к= 1В п = Y , Спап- кЪк+1 = Y , С'*- 1 а п+1 -*Ь* + bn+1.к=0к= 1Следовательно,п(.а + b)n+1 = a n+1 ++ C ^ - 1 )an+1 ~kbk + bn+1.(47)к= 1Сравнивая правые части формул (46) и (47), заключаем, что для доказательства равенства (46) достаточно показать, что+= С кп+1.(48)Используя формулу (45), находимp k - i _ п(п ~ !)•••(« —(к —2)) _ кп(п —1 )...(п —(к —2))п ~(к —1 )!~~М'ПоэтомуСк + С Г 1 = w(w - 1}- (; - {к^ 2)) (п - (к -1 ) + к) =_ (w + l)((w + 1 ) - l)...((w + 1 ) - (к - 1 )) _к\п+1'Формула (48) верна, и поэтому справедливо равенство (46).
Следовательно, формула (44) верна при любом ri € N. •Отметим, что_ п(п ~ !)•••(« —(к —1 )) _ n(n —l)...(n —(fc —1 ))(п —&)!” ~~fc!~~к \{ п - к ) \’т. е.(49){ J_С к = ____—"к\ (п — к)!'Поэтому формулу (44) можно записать в виде"!(а + Ь)п = У „ .,,, ап- кЪк,' к\ (в —к)\к=Огде 0! = 1.Из формулы (49) следует, чтоС к = С ^ к.(50)32Гл. I.
В ещ ест венны е числаЗ а м е ч а н и е 1. Р азл о ж ен и е бином а (44) со д ер ж и т n + 1 член, п ричемв си лу р а в ен ст в а (49) ко эф ф и ц и ен ты членов р азл о ж ен и я, равноудален н ы хот концов р азл о ж ен и я, о ди н аковы , а с у м м а степ еней чисел а и Ь в каж д омчлене разл о ж ен и я равна п.З а м е ч а н и е 2. И з ф орм улы (44) при а = 1, Ь = х н аходи мП(l + x)n = J 2 ^ x k =ii2, s~tk к |= 11+гмН---—- х 1)+ ...+С, пх+ ...+ п х|п —1+ х| .п/сг-|\(51)Если х > 0, то все сл агаем ы е в п равой ч а с ти р а в е н ст в а (51) п олож и тельн ы ,и п оэтом у(1+ х )" > 1 + пх, * > 0 ,(52)(1 + х ) п > С кх к ,х > 0,/,• = I .
п.О т м е т и м , что н ер авен ство (52) сп р авед ли во приние 4).(53)х> —1 (у т в е р ж д е 6.Счетность множества рациональных чисел. Множества Xи Y называют эквивалентными и пишут X ~ Y , если между нимиможно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает,что:а) каждому элементу х £ X соответствует единственный элементУ € Y;б) каждый элемент у £ Y при этом соответствует некоторому элементу х £ X;в) разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества Y .Множество X , эквивалентное множеству натуральных чисел N,называется счетным.
Если обозначить через х п элемент счетногомножества X , соответствующий числу ri £ N, то образуется последовательность {х п}. Говорят также, что элементы счетного множестваможно занумеровать числами натурального ряда.У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, ч то лю бое бескон ечн ое п одм н ож ествосчетн ого м н о ж еств а ест ь сч етн о е м н ож ество.У п р а ж н е н и е 2.
Д о к азать, что объ ед ин ени е конечного или счетн огочисла сч е тн ы х м н о ж еств е ст ь сче тн о е м н ож ество.Т е о р е м а 3. Множество рациональных чисел Q счетно.О Пусть Е — множество положительных рациональных чисел.Это множество состоит из всех несократимых дробей вида p/q, гдер £ N, q £ N. Выпишем подряд все несократимые дроби, у которыхсумма числителя р и знаменателя q равна двум, трем, четырем, пятии т. д. Получим последовательность11 2X jYP+Q= 21 31 2 3 43_ЧУ 4 ’ 3 ’ 2’ ГP+q=3P+q=iP+q=51 55ЧУp+q=6,.^ ’Упражнения к главе I33В этой последовательности, состоящей из разных чисел, содержатся все элементы множества Е. Обозначим п-й член последовательности (54) через гп.
Тогда все рациональные числа, т. е. все элементымножества Q, содержатся в последовательностиО, ГЬ -Г 1 , Г2 , Г2 , ..., Гп, - г п, ...Поэтому Q — счетное множество. •7.Н есчетность множества вещ ественных чисел. Множество, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.Т е о р е м а 4. Множество вещественных чисел R несчетно.О Докажем, что множество положительных вещественных чисел R+несчетно. Предположим противное. Тогда все элементы множества/?+ содержатся в последовательности {ар}, где(к) (к) (к)ар = a,Q , а{ щ ’...Покажем, что существует число(3 = 0, foiЬ з н е содержащеесяв последовательности {ар}. Выберем число bi так, чтобы bi ф aj1)Ъ\ф 9, Ъ\ ф 0.
Вообще, для любого к £ N выберем Ър так, чтобыЬр ф а ^ \ Ьр ф 9, Ьр ф 0. Тогда /3 ф а к при любомк£ N. Это противоречит предположению о том, что любое число (3 £ Я+ содержится впоследовательности {ар}. Таким образом, множество R+ не являетсясчетным, а поэтому и множество R также несчетно. •У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ I1. П о казать, ч то сп равед ли вы следую щ и е соотнош ения:а) ] ( А Л В ) о ] А V }В;б) } ( А V В ) о -] А А } В .2 . П у сть А , В , С — п о д м н о ж ества некоторого м н о ж еств а Е . П о казать,что:а) ( А С С) А ( В С С) «4 ( A U В ) С (7;б) (С С А) А (С С В ) & С С (А П В ) .3 . П у сть X , Y — н еп у сты е о гр ан и ч ен н ы е м н о ж еств а вещ ествен н ы хчисел, а Е — м н о ж еств о в сево зм о ж н ы х чисел вида х + у, где х £X , у €Y .П оказать, что Е — огр ан и чен н о е м н о ж еств о , п р и ч ем su p Е = su p X + su p У ,in f Е = in f X + in f Y .4 .
П усть X , Y — н еп у сты е о гр ан и чен н ы е м н о ж е с тв а н ео тр и ц ател ь н ы хвещ ествен н ы х чисел, Е — м н о ж еств о в сево зм о ж н ы х чисел х у , где х £ X ,у £ Y . П о к азать ,ч т о Е — огр ан и чен н о е м н о ж еств о , п р и ч ем su p i f = su pxx su p Y , in f E = in f X ■in f Y .5 . П усть X , Y — м н о ж еств а чисел, и п у ст ь Е — м н о ж еств о всево зм о ж ны х чисел ви д а х — у, где х £ X , у £ Y .
П о казать, ч то su p Е = su p X — in f У .6 . П усть X и У — н еп у сты е м н о ж е ств а вещ ествен н ы х чисел та к и е ,что:а) V* £ X и Vy £ У в ы п о л н яется н ер авен ство х ф у;б) Ve > 0 су щ е с т в у ю т х е £ X , у е £ У т а к и е , что у е — х е < е.34Гл. I. В ещ ест венны е числаП о казать, что s u p X = in f Y .П7.ЕП у сть S„(p) =р €. N. Д о к азать, чток =1)п - + 1 ).Cm+lSn(p) = (П(П++ l1 )m+1- ( (ПЕр=1П ользуясь этой ф орм улой, д о к а за т ь , что3S n (3) = J 2 kзп- ( п + 1)-к =18.4Д о к азать ф о р м у л ук1 +к2+•••+кр=пгде су м м и р о в ан и е в ед ется по всем целы м н е о тр и ц а те л ь н ы м ki, ко, ...
, к рт а к и м , ч то ki + ко + ... + к р = п.9. Д о к азать н ер авен ствоп1 1_______ 1-$,---------- . XI + ХО+ ... + ХппЦХ1Хо...Хп $ -Х\ХоХпсв язы ваю щ ее ср едн ее гар м о н и ч еско е, средн ее гео м е т р и ч еск о е и средн ееар и ф м ети ч еск о е п оло ж и тельн ы х чисел х \ , х о , . . . , х п .Г Л А В А IIПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ§ 4. Определение предела последовательности.Свойства сходящ ихся последовательностей1.Числовые последовательности. Если каждому натуральному числу те поставлено в соответствие некоторое вещественное число х п, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность)х\.
х 2,х п, ...Кратко последовательность обозначают символом { х п} или (хп), приэтом х п называют членом или элементом этой последовательности,те — номером члена х п.Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел; множествозначений этой функции, т. е. совокупность чисел х п, те € А/, называютмножеством значений последовательности.Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементоввсегда является бесконечным: любые два разных элемента последовательности отличаются своими номерами.Например, множество значений последовательности {( —1)” } состоит из двух чисел 1 и - 1 , а множества значений последовательностей {те2} и { 1 /те} бесконечны.Последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый член последовательности по его номеру.
Например, если х п = (( —1)” + 1)/2, то каждый нечетный членпоследовательности равен 0 , а каждый четный член равен 1 .Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим. При таком способе задания последовательности обычноуказывают:а) первый член последовательности х± (или несколько членов, например, Х\, Х2)]б) формулу, связывающую те-й член с соседними (например, с(те —1 )-м и (те + 1 )-м членами).Так, арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическаяпрогрессия со знаменателем q ф 0 задаются соответственно рекур36Гл.
II. Предел последоват ельност ирентными формулами@>п+1 —3" d ,&п+ 1 =t>nQ-Зная первые члены этих прогрессий а± и Ъ\, можно получить формулы для (те + 1 )-х членов прогрессий:ап+1 = ai + nd,Ъп+1 = h q n,те G N.Рекуррентной формулойх п = x n- i + х п- 2 ,n£N,те > 3,и условиями xi = 1, Ж2 = 1 задается последовательность Фибоначчи.В некоторых случаях последовательность может быть задана описанием ее членов. Например, если х п — простое число с номером те,ТО Х \ = 2 , Х 2 = 3 , Жз = 5 , Х 4 = 7 , Ж5 = 11 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
