Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 2
Текст из файла (страница 2)
I. В ещ ест венны е числаэто число называют разностью чисел а и Ь и обозначают а —Ъ; в частности, разность 0 —Ь обозначают —Ъ;б) если Ьф 0 , то существует единственное число г такое, чтоbz = а;это число называют частным чисел а и Ь и обозначают а/Ь.Отметим еще основные свойства неравенств для рациональныхчисел:а) если а > Ь и Ь > с,то а > с (транзитивность);б) если а > Ь, то а + с > b + с при любом с;в) если а > Ъ и с > d, то а + с > b + d;г) если а > Ъ и с > 0 ,то ас > Ьс;д) если а > Ъ и с < 0 ,то ас < Ьс.В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:N — множество натуральных чисел,Z — множество целых чисел,Q — множество рациональных чисел.В множестве Q можно выполнять не только четыре арифметических действия, но и решать уравнения и системы уравнений первойстепени.
Однако даже простейшие квадратные уравнения вида х 2 = а,где а £ А/, не всегда разрешимы в множестве Q. В частности, уравнение х 2 = 2 не имеет решений в множестве Q.Таким образом, уже проблема решения простых уравнений типах 2 = а, х 3 = а, где а £ N, приводит к необходимости расширениямножества рациональных чисел путем добавления к этому множествуновых элементов, называемых иррациональными числами. Ниже (безизложения всех подробностей) показывается, как такое расширениестроится.3.
Бесконечные десятичны е дроби и их приближения.а)Периодичные десятичные дроби. Из школьного курса алгебрыизвестно, что любое рациональное число можно представить либо ввиде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичнойдроби, используя алгоритм деления “уголком” . Например, рациональному числу 3/8 соответствует конечная десятичная дробь 0,375, т. е.3/8 = 0,375. Аналогично, рациональному числу —27/11 соответствует бесконечная периодическая десятичная дробь —2.15 15... = —2,(45),т.
е. -2 7/11 = -2,(45).Обратно: зная бесконечную периодическую десятичную дробь,можно найти рациональное число, представлением которого эта дробьявляется. Для этого используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии а + aq + aq2 + ... = —^—, |g| < 1 .1 Q§ 1 . Р ациональны е числа. Бесконечны е десят ичны е дроби9Например,452 (45) = 2 + ^ Н — h’+100 1002"= 2Н122=2+ — = —9911'100Рациональное число, представимое конечной десятичной дробью,будем отождествлять с соответствующей бесконечной десятичнойдробью с нулем в периоде.
Заметим, что рациональное число, представимое конечной десятичной дробью, можно записать и в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 2,5 == 2,5(0) = 2,4(9).Таким образом, между множеством всех рациональных чисел имножеством всех бесконечных периодических десятичных дробейустанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде.Условимся употреблять такие бесконечные периодические десятичные дроби, которые не имеют цифры 9 в периоде. Если бесконечная периодическая десятичная дробь с цифрой 9 в периоде возникаетв процессе рассуждений, то будем такую дробь заменять бесконечнойдесятичной дробью с нулем в периоде.У п р а ж н е н и е 1.
Д о к азать, ч то если -(р € Л/, q € N) — рациональ-<1ное число, со о тв е тств у ю щ е е бескон ечн ой п ериодической д еся ти ч н о й дробиа , то рац ион альное число I 0 k - (k € N ) с о о т в е тс т в у е т бесконечной пери<1о ди ческой д еся ти ч н о й дроби, п олучаем ой и з а сдви го м зап ято й вправо нак разрядов.
И спользуя это правило, п о к азать, ч то если беск он ечн ая период и ч ес к ая д е с я т и ч н а я дробь и м е е т вид а. = ао, ai...a„(bi...bm ), тоa \a 2 ...an b\b2 ...bm 0,10,2 ...anа = ао Н-----------------------------------.9 9 ...9 0 0 ...0б)Множество вещественных чисел. Рассмотрим бесконечную десятичную дробь вида±ao,aia, 2 ...an...(2 )Эта дробь определяется заданием знака + или —, целого неотрицательного числа ао и последовательности десятичных знаковai, «2 ,..., ап, ...
(множество десятичных знаков состоит из десяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9). Всякую дробь вида (2) будем называтьвещественным числом. Если перед дробью (2) стоит знак + , его обычно опускают и пишутa 0,a ia 2 ...a„...(3)Число вида (3) будем называть неотрицательным вещественным числом, а в случае, когда хотя бы одно из чисел a o ,a i,a 2 , ...,ап, ... отличноГл. I. В ещ ест венны е числа10от нуля, — положительным вещественным числом. Число вида- а о ,а 1 а 2 -.ап...,(4)где хотя бы одно из чисел ао, oti, 0,2 , ••• отлично от нуля, будем называть отрицательным вещественным числом.Если а = ao,aia,2 ...an..., Ъ = —ao,aia 2 —an..., то число Ь называютпротивоположным числу а, а число а — противоположным числу Ь.Если дробь (2) является периодической, то ее называют рациональным числом, а если эта дробь не является периодической, то ееназывают иррациональным числом.
Множество всех десятичных дробей вида (2 ) называют множеством вещественных чисел и обозначают R, а его подмножество, состоящее из непериодических десятичныхдробей, — множеством иррациональных чисел и обозначают J.Приведем примеры иррациональных чисел.1)а = 0,1234567891011...(5)Здесь после запятой стоят натуральные числа, выписанные подряд,начиная с единицы.2)Ь = 27,1010010001000010...(6 )Здесь после запятой выписаны подряд числа 10, 102 = 100, 103 = 1000,Ю4 = 10000 и т. д.У п р а ж н е н и е 2.
П о казать, что чи сла а и Ь, зад ан н ы е р ав ен ств ам и (5)и (6), я в л я ю т с я и рр ац и о н альн ы м и .в)Десятичные приближения вещественных чисел. Поставим в соответствие неотрицательному вещественному числу (3) конечные десятичные дробиа п = а 0,оц...ап +а п = а0,а 1 ...апи будем называть их п-ми десятичными приближениями числа а == ao,aia, 2 ...an... соответственно с избытком и недостатком. Если а— отрицательное вещественное число вида (4), то для него п-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами_1а п = - а 0,а i - .a n, а п = - а 0,а i...a„ - — .Десятичные приближения найдут применение при определении арифметических операций на множестве R (§ 3).У п р а ж н е н и е 3.
П о казать, что для лю бого в ещ ествен н о го чи сла егод е с я т и ч н ы е п р иб лиж ени я о блад аю т следую щ и м и сво й ствам и :а)б),к € /V;^ а, ^ ... ^ ап ^ ...;ак - а к = ^в) a i ^ a . 2 ^ ... ^ а п ]>: ...;г) а п < а т для лю бы х п и т , .§1. Р ациональны е числа. Бесконечны е десят ичны е дроби114. Сравнение вещ ественных чисел.а) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных вещественных числаа = a 0,a ia 2 ...a„...и (3 = Ь0, bib2 -..bn...называют равными и пишут а = [3, если ар = Ър при к = 0,1, 2 ,т.
е.{а = /3}{ак = Ък, к = 0 ,1 , 2 ,...}.В частности, {а = 0}{ар = 0, к = 0,1,2,...}.Дадим определение соотношений а < (3 и а > (3. Говорят, что число а меньше числа (3, и пишут а < (3, если либо ао < Ьо, либо ао = Ьои существует такой номер те, что сц = Ъ\, а 2 = Ь2, •••, « n -i = bn_i, ноа п < Ьп, т. е.{а < /3}{а 0 < Ьо} V {Зте G А/: а*, = Ър, к = 0 ,те —1; ап < Ъп}.Запись к = 0, те —1 означает, что равенство ар = Ър выполняетсяпри значениях к от 0 до те —1 включительно, так что те — наименьшийномер, для которого это равенство не выполняется и имеет местонеравенство ап < Ъп. Аналогично{« > Д?} -ФФ- {а 0 > Ь0} V {Зте £ N : ар = Ър, к = 0, те —1; ап > Ъп}.Из определения равенства а = (3 и неравенств а < (3 и а > (3 следует, что для любых неотрицательных вещественных чисел а и (3выполняется одно из трех условий: а = [3, а < (3, а > (3.Отметим еще, что для любого неотрицательного вещественногочисла а справедливо неравенство а ^ 0 .б) Сравнение произвольных вещественных чисел.
Назовем модулем вещественного числа а вещественное число, обозначаемое символом |ск|, представимое той же бесконечной десятичной дробью, что ичисло а, но взятое со знаком + . Таким образом, еслиа = ±ao, a ia 2 ...an...,то|а| = a o ,a ia 2 ...an...,откуда следует, что |а| — неотрицательное вещественное число прилюбом а.Введем теперь правило сравнения двух вещественных чисел а и (3для случая, когда хотя бы одно из этих чисел отрицательно (правилосравнения неотрицательных чисел введено выше).Если а — неотрицательное, (3 — отрицательное число, то считают,что а > (3.Если оба числа а и (3 отрицательны (а < 0, (3 < 0), то будем считать, что:1) а = [3, если |п| = \(3\,2 ) а < [3, если \(3\ < |а|.Таким образом, правило сравнения сформулировано для любыхвещественных чисел.12Гл. I.
В ещ ест венны е числаЗ а м е ч а н и е 1. Л егко у б е д и т ь с я в то м , что сф о р м ул и р ован н о е п рави ло ср ав н ен и я вещ ествен н ы х чисел в п рим енен ии к р ац и он ал ьн ы м числам ,зап и са н н ы м в виде б еск о н ечн ы х д е с я т и ч н ы х дробей, п ри в о д и т к т о м у ж ер е зу л ь т а т у , ч то и правило ср ав н ен и я р ац и о н ал ьн ы х чисел (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
