Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2), п р ед став ленны х в виде о тн ош ени я целы х чисел.З а м е ч а н и е 2. Если а п , (3 — n -е п риближ ени я с н ед о статк о м , а а п ,/Зп — п -е п р иб лиж ени я с и зб ы тко м чисел а и (3 со о тве тств ен н о , то и з правила ср ав н ен и я в ещ ествен н ы х чисел следует, что:1)^^ сёп, S3 ^ (3(Зп для лю бого п £ « ;2) а < /3 => З п : а п < f3 .в)Транзитивность правила сравнения. Докажем, что если а < (3и (3 < 7 , то а < 7 . Ограничимся доказательством для случая, когдасравниваются неотрицательные числа. Пустьа = и0, a ia 2 ...a„...,/3 = bo,b1 b2 -.bn...,7 = с0 ,с 1 с2 - с п...Пусть р и то — наименьшие номера, для которых нарушаются соответственно равенства= Ък и Ък = Ск (к = 0 , 1 , 2 ,...), и пусть,например, р ^ то. Тогда р — наименьший номер, при котором нарушается равенство йк = Ск и имеет место неравенство ар < ср.
Поправилу сравнения вещественных чисел отсюда следует, что а < у.5.Свойства вещ ественных чисел, связанные с неравенствами.Л е м м а 1. Если а и (3 — вещественные числа, причем а < (3, тонайдется такое рациональное число г, чтоа < г < [3.(7)О а) Пусть а и (3 — рациональные числа (а £ Q, (3 £ Q). Тогдадля них определены арифметические операции, и в качестве г можноа + (3взять число —, так как^ a Т /3 дa < —^ < (3.б)Пусть по крайней мере одно из чисел а, (3 является иррациональным.
Будем считать, что (3 £ J. Предположим для определенности, что а 0 и чтоа = ао,а\а 2 ...ап...Так как (3 > а и а 0, то (3 > 0. Пусть/3 = b0 ,b 1 b2 ...bn...Пусть р — наименьший номер, при котором нарушается равенствоа-k = Ьк (к = 0,1, 2,...). Будем считать, что р > 0.
Тогдасi q— Ьо,••••,Ир —1 —k p —i ,Ир <С Ьр.(8)§1. Р ациональны е числа. Бесконечны е десят ичны е дроби13По условию /3 £ J, и, значит, /3 не может быть конечной десятичнойдробью (бесконечной периодической дробью с периодом 0). Поэтомунайдется номер, больший р (обозначим его р + то) и такой, чтоЪР+т > 0.(9)Покажем, что рациональное число г = ao,ai...ap-ibp...bp+m- i (0 )удовлетворяет условию (7). Из (8 ) следует, что а < г.
Далее, г == bo,bi...bp+m-i(0) < Ь0, bi...bp+m-ibp+т— в силу условия (9), т. е.г < (3. Итак, доказано, что а < г < (3, причем г 6 (?. •С л е д с т в и е . Если о (г R. I (г R и о < I. то3r £ QЗг' £ Q : а < г < г' < /3.R, /3 £ R и а <37 е J: а < у < (3.У п р а ж н е н и е 4.П у сть а £(10)/3. Д о к азать, чтоJ1 е м м a 2. Пусть 6 £ R, 6 ' £ R и пусть существуют такие последовательности рациональных чисел { х п} и {уп}, что для всех п £ Nсправедливы неравенстваX n ^ S ^ S ' ^ Уп,УпТогда(И)хп ^6 = 6 '.(13)О Пусть равенство (13) не выполняется; тогда из условия (11) следует, что 6 < S1. В силу следствия из леммы 1 существуют рациональныечисла г и г такие, что6 < г < г ' < 6 '.(14)Из (14) следует, что г 1 —г > 0, и поэтому3т о ёА/:г'(15)Из (11) и (14) следует, чтох п ^ б < г < г 1 < 6 ' ^ уп,откуда в силу транзитивности правила сравнения получаемХп < Г < Г1 < уп.(16)Используя неравенства (15), (12), (16) и свойства неравенств для рациональных чисел, получаем^< г' - г < уп - х п «С14Гл.
I. В ещ ест венны е числаоткуда следует, что1110 ™ < 10 " ■, .^ 'Неравенство (17) должно выполняться при фиксированном т Е А/ ипри любом n G А/. Однако при п — т неравенство (17) не выполняется.Поэтому неравенство S < S' не может иметь места, т. е. справедливоравенство (13). •6. Геометрическая интерпретация вещ ественных чисел.Рассмотрим прямую I (рис. 1.2), выберем на ней начало отсчета (точку О) и масштабный отрезок ОЕ длины 1. Числу 0 поставим всоответствие точку О, числу 1 — точку Е, числу —1 — точку Е ' ,симметричную точке Е относительно О. Положительному числуа = ао, ai<22...an...
поставим в соответствие точку М, находящуюся справа от О на расстоянии а , а отрицательному числу(5 = —bo, bib2 ---bn... — точку М ', находящуюся слева от О на расстоянии \(3\.Эту прямую будем называть числовой прямой или числовой осью.Из аксиом геометрии и свойств вещественных чисел следует, чтомежду множеством вещественных чисел R и числовой прямой I устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому вещественному числу соответствует единственная точка числовой прямой и,наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует некотороевещественное число.
Поэтому в дальнейшем будем отождествлятьмножество R с множеством точек числовой прямой, а вещественныечисла часто будем называть точками.Условимся о следующих обозначениях для некоторых наиболееупотребительных числовых множеств:1 ) отрезок [а,Ь] = {х: а ^ х ^ Ь};2 ) интервал (а, Ь) = {х: а < х < Ь};3) полуинтервалы [а, Ь) = {х: а ^ х < 6}, (а, Ь] = {х: а < х ^ Ь } .Точки а и b называют концами отрезка, интервала, полуинтервала(а — левым концом, b — правым); отрезок [а, Ь], интервал (а, 6), полуинтервалы [а, 6) и (а, 6] называют конечными промежутками (илипромежутками), а точки х такие, что а < х < Ь, — их внутреннимиточками.Наряду с конечными промежутками рассматривают также бесконечные промежутки:а) интервалы(а,+оо) = {ж: х > а}и(—оо, а) = {х: х < а};§2.
Точные грани числовы х множ ест в15б) полуинтервалы[а, +оо) = {ж: ж ^ а}и(—оо, а] = {х: х ^ а};в) (—оо,+оо) = {ж: ж G R} — множество вещественных чисел.Напомним также, что если каждый элемент множества А является элементом множества Б , то пишут А С В или В D А и говорят, чтоА является подмножеством множества В.
Например, J С /?, Q С R.Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и Б , называетсяобъединением множеств А и В и обозначается Л и Б .Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называетсяпересечением множеств А и В и обозначается АП В.Например, если А = [1,3], В = (2, 5), то A U В = —[1, 5), А П В == (2,3] (рис. 1.3).Отметим, чтоJ U Q = R, J П Q = 0 ,где 0 — пустое множество, т. е.
множество, не содержащее элементов.§ 2. Точные грани числовых множеств1.Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Множество X вещественных чисел (X С R) называется ограниченным сверху,если существует вещественное число С такое, что все элементы множества X не превосходят С, т. е.ЗС е R: Ух е X ^ х ^ С .(1 )Всякое вещественное число С, обладающее свойством (1), называют верхней гранью числового множества X .Аналогично множество X С R называется ограниченным снизу,еслиЗС' £ R: Уж G X -> ж ^ С .(2 )Всякое число С', удовлетворяющее условию (2), называют нижнейгранью числового множества X .Если числовое множество ограничено как сверху, так и снизу,его называют ограниченным, т. е. { X — ограниченное множество} <£>^ {ЗС' е R ЗС е R: Уж G х -> С' ^ ж <С С}.Гл.
I. В ещ ест венны е числа16П р и м е р 1. Записать ],4 с помощью кванторов, еслиА = {С — верхняя грань множества X С R}.А По условию А = {Уж £ X —1 ж ^ С}. Используя правило построенияотрицания (§ 1 , пример 2 ), получаем~ | . 4 ={ З жо € Х: Жо > С}. ▲П р и м е р 2. Записать ~\В, еслиВ = {множество X ограничено снизу}.А По условию В = {ЗС £ R: Уж € 1]В = { У С е Я-1 жС}. ПоэтомуЗжс € X : х с < С}.
▲У п р а ж н е н и е 1. З а п и с а т ь с помощ ью к ван то р о в о т р и ц ан и я следую щ их у т в ер ж д ен и й :а) А = {м н о ж ество X С R о гр ан и чен о сверху};б) В = { С — н и ж н я я гр ан ь м н о ж е ств а X };в) D = { м н о ж ество X я в л я е т с я о гр ан и чен н ы м }.2.Определение точной верхней и нижней грани. Пустьчисловое множество X ограничено сверху, тогда выполняется условие (1), а число С является верхней гранью множества X .
Ясно,что любое число, большее С, также является верхней гранью множества X . Таким образом, ограниченное сверху числовое множествоимеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую рольиграет наименьшая. Речь идет о числе М , обладающем следующимисвойствами:а) М — верхняя грань множества X;б) любое число М ' меньшее М , не является верхней гранью множества X .Это число М будем в дальнейшем называть точной верхней гранью множества X .
Сформулируем определение точной верхней гранис помощью символов. Чтобы подчеркнуть важность вводимого понятия (и будем так поступать в дальнейшем), поставим перед ним слово“определение” .О п р е д е л е н и е 1. Число М называется точной верхней граньючислового множества X , если выполняются следующие условия:а)б)Уж G Xж^ М;Уа < М 3 х а G X : х а > а.(3)(4)Точная верхняя грань числового множества X обозначается supX(читается “супремум”). Таким образом,{М = supX } -ФУ{Уж е X ->■ ж ^ М} Л {Уа < МЗха G X : х а > а).§ 2 . Точные грани числовы х множ еств17З а м е ч а н и е 1. Число М = s u p X м о ж ет к а к п р и н ад л еж ать , т а к и неп ри н ад л еж ать м н о ж ест в у X .
Н апри м ер, если X — м н о ж еств о чисел х т а к и х, ч то 1х < 2, то s u p X = 2 0 X . Если X i — объ един ени е м н о ж еств Xи чи сла 3, то s u p Х \ = 3 € Х \ .З а м е ч а н и е 2. И з о п ределен ия точн о й верхней гр ан и следует, ч то если у числового м н о ж еств а X с у щ е с т в у е т то ч н а я в е р х н я я гр ан ь М , то онаеди н ствен н а.У п р а ж н е н и е 2. П у сть М = s u p X и хо £ X .
О бозначим X подм нож ест в о м н о ж еств а X , со сто ящ ее и з всех элем ен то в х £ X , у довл етво ряю щ и хусловию х ^ х о , т. е. X = {ж £ X : х ^ жо}- Д о к азать, что su p X = М .О п р е д е л е н и е 2. Число то называется точной нижней граньючислового множества X , если выполняются следующие условия:а) Уж € X —1 х ^ то;б) V/? > то 3 x 0 € X : х 0 < /3.Точная нижняя грань множества X обозначается inf X (читается“инфимум”). Таким образом,{то = inf X } = {Уж G X—1 х > то} Л {У/3 > то Зж,з G X : Х0 < /3}.У п р а ж н е н и е 3. З а п и с а т ь с помощ ью к ван то р о в у т в ер ж д е н и я :а) число М не я в л я е т с я точн ой верхней гр ан ь ю числового м н о ж ес тв а X ;б) число гп не я в л я е т с я точн о й н иж ней гр а н ь ю числового м н о ж ес тв а X .У п р а ж н е н и е 4.
П у сть у числового м н о ж еств а X су щ е с т в у е т его т о ч н ая в е р х н я я гр ан ь su p X . Р а ссм о тр и м м н о ж еств о 1 ', состоящ ее и з чисел,п ротивополож ны х чи слам м н о ж е с тв а X , т. е. Y = { у : у = —х, х £ X } .П оказать, что inf У = —s u p X .3. Существование точной верхней (нижней) грани.Т е о р е м а 1. Если непустое множество вещественных чисел Xограничено сверху, то существует supX ; если непустое множествоX ограничено снизу, то существует inf X .О Ограничимся доказательством существования точной верхнейграни. По условию множество X не пусто, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
