Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. содержит хотя быодин элемент. Возможны два случая:1 ) множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;2 ) все элементы множества X отрицательны.П е р в ы й с л у ч а й . Предположим, что все элементы множества Xнеотрицательны. По условию множество X ограничено сверху и поэтому выполняется условие (1).
Пусть С = со,CiC2 -..cn...; тогда Со —неотрицательное целое число, причем С < Со + 1, где Со + 1 = щ G N.Следовательно,Уж G X —^ ж ^ С < щ(5)Если ж = а-о, Ода.2 ... = ао, {ап} — произвольный элемент множества X , то из (5) следует, что 0 ^ ао < Щ. Рассмотрим множество Ецелых частей элементов множества X. Так как Е — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве18Гл. I. В ещ ест венны е числаесть наибольший элемент ао- ОбозначимХ 0 = {х € X : х = ао, {а„}}.Множество Хо состоит из всех тех элементов множества X , у которых целая часть равна ао; множество Хо непустое, причем X D ХоПусть Ei — множество первых десятичных знаков элементов множества Хо- Так как множество Е\ конечно (его элементами могутбыть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9) и непусто, то существует <н == max ai — наибольший из первых десятичных знаков элементовмножества ХоПусть X i = {х € X : х = ао,<Н(Т2...}; тогда X D Х 0 D Х \.
Обозначим а,2 = max 02 наибольший из вторых десятичных знаков элементовx(E.Xiмножества X i,Х 2 = {х € X i : 02 = а2} = {х € X : х = ао,<йа2(Тз...}.Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {X*}непустых множеств и последовательность десятичных знаков {а*,}такие, что X D Хо D Х \ D ... D X k^i D X *. D ...,ак = max ак,xEXk —iХ к = {х G X fc_ i : а* = а*} = {ж € X : ж = a 0,ai...afc(Tfc+i —}•Рассмотрим десятичную дробь ж = ао,<н... = ао,{а„}. Покажем,что х = supX , т.
е. чтоУж € X —1 ж ^ х,Уж' < ж Зж € X : ж > ж'.(6 )(7)Возьмем произвольное число ж G X и пусть ж = ао,{а„}. Чтобыпроверить выполнение условия (6 ), рассмотрим три возможных случая:ж £ Х * при к = 0 , 1 , 2 ,...,х £ Х к при к = 0,1,2,...,Зто: ж е Х то_ь х & Х т.(8 )(9)(10)Из (8 ) следует, что ао < (То и поэтому ж < ж. Если выполнено условие (9), то ак = ак при к = 0,1, 2,..., откуда, по определению числа ж,справедливо равенство ж = ж. Наконец, из (10), согласно определениюмножества Х то и числа ж, следует, чтож —ад, оц...
am—iam... <Сад; ОН... om—ia m (0 Кж,и поэтому ж < ж. Таким образом, неравенство (6 ) доказано.Проверим условие (7). Если ж' < 0, то (7) имеет место при любомж G X , так как все элементы множества X неотрицательны.§ 2 . Точные грани числовы х множ еств19Пусть 0 ^ ж' < ж и ж' = а!0, {а!п}. Тогда либо а '0 < ао, либо а'к = арпри к = 0, то —1,а'т < ат. В первом случае в качестве ж можно взятьлюбой элемент множества Хо, так как из условий а '0 < ао и ж £ Хоследует, чтож' < ж = а0 ,а 1 ...ап... ^ ж,т. е.х1 < ж ^ ж иж £ Х 0 С X.Во втором случае условию (7) удовлетворяет произвольный элементх £ Х то, так какх — ао, а^... ат—iam...<1 ао, а\...
ат—\а тат-$-\... —хх.Таким образом, х 1 < ж ^ ж, где ж £ Х т С X. Условие (7) проверено.Итак, условия (6 ) и (7) выполняются, т. е. х = supX . Тем самымдоказано существование точной верхней грани в предположении, чтовсе элементы множества X неотрицательны.Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент Хо г? 0 , то множество {X = х £ X : х ^ Хо} состоит из неотрицательных чисел, причем supX = supX (упр.
2). Поэтому непустоеограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнююгрань.В т о р о й с л у ч а й . Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент х £ X записывается в видех =-ао,a ia 2... а п ...(11)Пусть вд — наименьшее из чисел ао в записи (11) для всех х £ X , aj —наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множестваX , у которых ao = aj); aj) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X , у которых ao = ag, ai = aj и т. д. Указанным способом определяется число х* = —ag, a^.-.a* ...
= ^a( 5,{a*}.По аналогии с первым случаем доказывается, что число х* являетсяточной верхней гранью множества. •Т е о р е м а 2. Если X u Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого х £ X и любого у £ Y справедливонеравенствох ^ У,( 12 )то существуют sup X и inf X, причемУж £ X Уу £ Y —i х ^ supX^ ^ inf У ^ у.(13)О Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любымэлементом множества У в силу (12), то по теореме 1 существуетsup У.
Аналогично из ограниченности непустого множества У снизу любым элементом множества X следует существование inf У. Поопределению точных гранейУж £ X —1 х ^ supX% Уу £ У —i inf У ^ у.(14)20Гл. I. В ещ ест венны е числаИз (14) следует, что для доказательства утверждения (13) достаточнопоказать, чтоsupX ^ inf У.(15)Из неравенства (12) следует, что каждое число у £ У являетсяверхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X ,т. е. число supX , есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого у £ Y выполняется неравенствоsupX ^ у.(16)Из неравенства (16) следует, что supX есть нижняя грань множества Y . Точная нижняя грань множества У, т. е.
число inf У, естьнаибольшая из всех нижних граней множества У. Значит, supX sC^ inf У. •З а м е ч а н и е 3. П у сть £ — лю бое в ещ ествен н о е число т ак о е, чтоsu p Xin f Y.(17)Т огд а и з (13) и (17) сл еду ет н ер авен ство* ^ С ^ У,(18)к оторое сп равед ли во для лю бого х £ X и лю бого у £ У . П ро число £, удовл етво р яю щ ее н ер авен ству (18), го во р ят, что оно о тд ел я ет м н о ж еств о X отм н о ж е с тв а У . П оэтом у т е о р е м у 2 часто н а зы в аю т теоремой об отде лимост и числовых множеств.§ 3. Операции над вещественными числами1. Сложение и вычитание вещ ественных чисел. Суммойдвух вещественных чисел а и (3 называется такое вещественное число 6 , что для любых рациональных чисел г, s, г', s', удовлетворяющихусловиямr^a ^s,г' sC 1 <С(1 )выполняется неравенствоr + r ' ^ 6 ^ s + s'.(2 )Сумма чисел а и (3 обозначается а + (3.Т е о р е м а 1.
Для любых вещественных чисел а и (3 их сумма существует и единственна.О а) С у щ е с т в о в а н и е с у м м ы. Из условий (1) в силу транзитивности знака неравенства следует, что г ^ s, г 1 ^ s'. Отсюда, используясвойства неравенств для рациональных чисел, получаемг + г' ^ s + s'.(3)Пусть Е — множество чисел вида г + г', Е\ — множество чисел видаs + s'. Тогда по теореме об отделимости числовых множеств (§ 2, теорема 2) существуют числа sup Е и inf Е\ и выполняется неравенствог + г' ^ sup Е ^ inf Ei ^ s + s'.§ 3 .
Операции над вещ ест вен ны м и числам и21Поэтому число 6 = sup Е удовлетворяет условиям (2), т. е. 6 — суммачисел а и (3.б)Е д и и с т в е и и о с т ь с у м м ы . Пусть 6 и 6 ' удовлетворяют условиям (2) и пусть 6 ^ 6 '. Тогда г + г' ^ 6 ^ 61 ^ s + s '. Докажем, что6 = 6 1. Заметим, что неравенства (1) будут выполняться, если в качестве г и г' (s и s') взять (те + 1 )-е десятичные приближения (§ 1 ,п.
3, в)) с недостатком (с избытком) соответственно для чисел о и I.т. е.П„. , «с И SC п„.§_п+1 <С/3 «С Рп+1.(4)Так как сумма вещественных чисел а и (3 существует,то из условий (4)с учетом неравенства 6 ^ 6' получаемгп = а п+1 + /Зп+1 ^ 6 ^ 61 ^ a n+i + ]Зп+1 = sn,где__sn ~ r n = а п+1 - а п +1 + (Зп+1 - §_п+1 =2(5)1<— .(6 )Последовательности {г” } и {«” } удовлетворяют условиям (5) и (6 ) ипо лемме 2 (§ 1, п.
5) справедливо равенство 6 = 6 •Вычитание вещественных чисел по аналогии с вычитанием рациональных чисел вводится как действие, обратное сложению (§ 1 , п. 2 ).2.Умножение и деление вещ ественных чисел. Произведением двух положительных вещественных чисел а и (3 называют такоевещественное число 6 , что для любых рациональных чисел г, s, г', s' ,удовлетворяющих условиямО< r ^ a ^ s ,0 < г ' ^ /3 ^ s',выполняется неравенство(7)гг 1 ^ 6 ^ ss'.(8 )Произведение чисел а и (3 обозначается а(3.Т е о р е м а 2. Произведение любых двух положительных вещественных чисел существует и единственно.О Доказательство существования произведения проводится поаналогии сдоказательством существования суммы (теорема 1).
В качестве 6можновзять supG, где G — множество чисел вида гг', а г иг' — рациональные числа, удовлетворяющие условиям (7). Докажемединственность произведения.Пусть ао — целая часть числа а, Ьо — целая часть числа (3, а т,Р — десятичные приближения с недостатком, а т, /Зт — десятичные приближения с избытком для чисел а и (3 соответственно. Тогдаа т ^ а ^ а т ^ а0 + 1 ,(3_т ^ (3 ^ ]Зт ^ Ь0 + 1-Выберем к £ N так, чтобы выполнялось неравенствоар + Ьо +2 < 10 *.22Гл. I. В ещ ест венны е числаТогда для любого то справедливо неравенствоа т + ё т < Ю",(9)так как а т ^ ао + 1 и [Зт ^.Ьо + 1 .Предположим, что существуют числа 6 и 6 ', удовлетворяющиеусловию (8 ), причем 6 ^ 6 '.
Возьмем в неравенствах (7) и (8 ) в качестве чисел г, s, г', s' соответственно а п+к, а п+к, Рп+к-, Рп+к иобозначим rn = a n+k(in+k, sn = а п+к/Зп+к. Тогда, используя (8 ) и (9),получаемп+к®_п+к)$п+к Т —п+ к(Р п+ кРп+к . —п+к <•- Ю1— 1 Qп+к\Qn+k\Qn+k ~ Юпдля любого п € N.Применяя лемму 2 § 1, получаем 6 = 6 '. •Произведение любых вещественных чисел а и (3 определяется следующими правилами:1) если а = 0, то а[3 = 0 для любого (3 GR;2 ) если а < 0, (3 < 0, то а(3 = |а| • \/3\;3) если а > 0, (3 < 0, или а < 0, (3 > 0, то а(3 = —|а| • \(3\.Ниже будет показано (п.
3, утверждение 2), что уравнение х а = (3,где а и (3 — произвольные вещественные числа, имеет при а ф 0единственное решение. Это решение называется частным от делениячисла (3 на число а и обозначается через (З/а.3.Свойства вещ ественных чисел. Можно показать, что операции сложения и умножения вещественных чисел обладают темиже свойствами, что и соответствующие операции для рациональныхчисел (§ 1, п. 2). Ограничимся доказательством свойства ассоциативности.У т в е р ж д е н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
