Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого S > 0существует такой номерчто для всех п ^ N# выполняется неравенство \хп \ > S. В этом случае пишут lim = оо и говорят, чтоп—Уоопоследовательность имеет бесконечный предел.Используя логические символы, это определение можно записатьтак:{ lim х п = оо} 4=> V(5 > 0 3Ns : Vn ^ N$\хп \ > S.(1 )п—УооДадим геометрическую интерпретацию определения (1). Назовемй-окрестностью оо (рис. 5.1) множество Е = {х Е R: \х\ > 5}. ЕслиРис. 5.1последовательность {хп} имеет бесконечный предел, то в любой5-окрестности оо лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного числа членов.Аналогично вводятся для последовательности {хп} понятия бесконечного предела, равного —оо и +оо.
Эти пределы обозначаются§ 5 . Б есконечно м алы е и бесконечно больш ие последоват ельност и47соответственно символами lim х п = —оо и lim х п = +оо и опредеп —»ооп —»ооляются так:{ lim х п = ^оо}У6 > 0 3Ng : Vn (J; Ng -+ x n < —6,(2)П —¥ OO{ lim x n = + 00} 44> У6 > 0 3Ng : Vn (J; Ng -+ x n > 6.(3)П —¥ OOМножества Eg = {x € R : x <и Еь, = {x € R : x > 5}, где S > 0,назовем ^-окрестностями ^oo и +oo соответственно (см. рис. 5.1).Тогда Е = Eg U Е 2 ■Согласно определению (3) последовательность {х п} имеет предел,равный +оо, если в ^-окрестности символа +оо содержатся все членыэтой последовательности, за исключением, быть может, конечногочисла их. Аналогичный смысл имеет определение (2).В дальнейшем под пределом последовательности будем пониматьконечный предел, если не оговорено противное.Приведем примеры последовательностей, имеющих бесконечныйпредел.Если х п = —\/п, то lim х п = —оо; если х п = п2/(п + 2), тоП —¥ ООlim х п = +оо; если х п = ( —1 )” 2 ” , то lim х п = оо.П —¥ ООП —¥ ООУ п р а ж н е н и е 1.
Д о к азать, ч т о если х п ф 0 для всех п € А/, то последов ате л ь н о сть {хп} я в л я е т с я бескон ечн о больш ой то гд а и то л ько то гд а, к огда{ 1 / х п } — бескон ечн о м ал ая п оследовательн ость.У п р а ж н е н и е 2. М ожно ли у т в е р ж д а т ь , что:а) в с я к а я бескон ечн о больш ая п оследовательн ость я в л я е т с я н еогр ан и ченной;б) в с я к а я н ео гр ан и ч ен н ая п оследовательн ость я в л я е т с я бесконечнобольш ой?У п р а ж н е н и е 3. П усть { х п } — о гр ан и ч ен н ая, а { у п } — бесконечнобольш ая п оследовательн ость.
Д о к азать, что {+„ + у п } — бескон ечн о больш ая п о следовательн ость.У п р а ж н е н и е 4. Д о к азать, что если lim х п = + 00, lim у п = + о о , то1■,п —¥ ооп —¥ ооп т х п уп = + о о .п -+ о о3.Арифметические операции над сходящ имися последовательностями.Т е о р е м а . Если lim х п = a, lim уп = Ь, то:п —Фооп —to oа) lim (хп + уп) = а + Ъ;П -Ф О Об) lim (хпуп) = аЪ;П -Ф О Ов) lim — = ^ при условии, что уп ф 0 (п € N) и Ъ ф 0.га-» оо У пОО Так как lim х п = a, lim уп = Ь, то х п = а + а п, уп = Ъ+ /Зп, гдеП -Ф О ОП -Ф О О{а п} и {(Зп} — бесконечно малые последовательности.Гл.
II. Предел последоват ельност и48а) Из равенства х п + уп = а + Ъ+ а п + /Зп, где {а п + /Зп} — бесконечно малая последовательность, следует, что х п + уп -А а + Ъ прип —¥ оо.б) Воспользуемся равенством3‘пУп — ^4^ Т &Рп Т Ь&п Т ^пРп■Так как { а п} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности, то последовательности {а/Зп}, {Ъап} и {а п(Зп} также являются бесконечномалыми, откуда следует, что {а(Зп + Ъап + а п/Зп} — бесконечно малая последовательность. Поэтому х пуп -A ab при ri -А оо.в) Докажем, что < — —- > — бесконечно малая последовательL УпЪJа (а + ап)Ь —(Ь + (Зп)а (аа \ 1= -------- —— ----- -— — = \ а п — - р п \ — . 1ак какУпоЬуп46 / уп{ а п} и {Рп} — бесконечно малые последовательности, то и последовательностьтакже является бесконечно малой.По условию у —У Ъ при ri -А оо, где Ъ ф 0 и уп ф 0 для всехп £ N .
Поэтому (см. пример 6 , § 4) последовательность < — > является„Хпность. И м еем'■Уп 'ограниченной.Отсюда следует, что | ( а п —— J — бесконечно малая последовательность как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.Таким образом, < — — ^ 1 — бесконечно малая последовательLУпЫхпаность, и поэтом уУ — при п —¥ 00 .
•УпПримеръп1 . Найти ПlimS n, если S n = / -------- , где \ а к \ — ариф^ОО^ акак+1метическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны отнуля.А Используя равенствоSJn ———>*—dai1d(ai + nd) ’полученное в § 3 (пример 2 , а)), находим lim Sn = -г—- Ап—>сюda 1П р и м е р 2. Пусть Рк(х) = аохк + а \х к^ г + ... + ак- \ х + ак,Qk(x) = Ь0х к + Ьгх*1^ 1 + ... + Ък- \ х + Ък, где а 0 ф О, Ь0 ф 0. Найти ..lim Рк(п) .п—too Qfc (71)А Разделив числитель и знаменатель дроби на п к, получаема дQk(n)= а° + а1^ + - + а^ь0 + bi —+ ... +п_L§ 5 .
Б есконечно м алы е и бесконечно больш ие последоват ельност и49Отсюда следует, что искомый предел равен ао/Ъо, так как а / п р -Ч Опри ri -Ч оо для любого a € R и любого р € N (§ 4, пример 2, б)). ▲1П р и м е р 3. Наити lim х п, где .г,,..!г.77,П — 'гО Оn sА Воспользуемся формулой'k= 1nк 2 = —------ ^ ---------, полученнойк= 1в § 3 (пример 2, в)). Тогда х п = —(1 Ч— ) (1 Ч), откуда находим3Vп/ \2Ti)1lim х п =▲П —¥ ОООП р и м е р 4. Найти lim х п, х п = 's/ п 2 + 2п + 3 —'s/ п 2 —2п + 5.п —>00А Так как2(п2 + 2п + 3) — (п2 — 2п + 5) _^ ——=Vn 2 + 2п + 3 + Vn 2 - 2п + 5/ 1 + 2 + _ ^ + А _ 2 + _^ ’Vпп-Vпп-то, используя результат примера 7, § 4, получаем lim х п = 2. кп —>ооП р и м е р 5. Доказать, что последовательность {ж„}, где жп ==Н—+...
Н— .сходится, и найти ее предел.V«2 + lV«2 + 2v « 2+ «А В сумме жп каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтомупп< хп <VW TViV n F + l’или11< Хп <1 + пy i + ЛVп-Используя теорему 3, § 4 и результат примера 7, § 4, получаем, чтоlim х п = 1 . ▲п —>ооУп р а жн е н и е 5. Доказать, что если существует lim хп = а, где?г—чооа ф 0, а последовательность {j/n} расходится, то последовательность {хпуп}также расходится.Уп р а жн е н и е 6. Доказать, что если одна из последовательностей{*„}, {уп} сходится, а другая расходится, то последовательность { х„ + у„}расходится.Уп р а жн е н и е 7. Найти lim хп, если:па) хп =™->°°пУ ] к(к + 1 ); б) *n = — ^ f c 3; в) х„ = л/(п + а)(п+ Ь) - п.к=1fe=lУ п р а жн е н и е 8.
Последовательность {хп} задана при п (У 3 рекуррентной формулой хп = {а + 1 ) х п - 1 + а х п - 2 , где \а\ < 1, и условиями x i = а,Х 2 = Ь. Доказать, что она сходится, и найти lim х„.50Гл. II. Предел последоват ельност иУ п р а ж н е н и е 9. П усть {ап} — ар и ф м е т и ч е с к а я п р о гр есси я , все члены которой полож и тельн ы и р а зн о сть d ф 0. Н ай ти lim х п , гдеп1хп =)'1п—*оО-§ 6.
Предел монотонной последовательности1.Монотонная последовательность. Точные грани последовательности. Последовательность {х п} называют возрастающей(неубывающей), если для любого ri G N выполняется неравенство%П-\-1 )? Х п .(1 )Аналогично последовательность {х п} называют убывающей (невозрастающей), если для любого ri G N справедливо неравенствох п+ 1 ^ х„.(2 )Если неравенство (1) можно записать в виде ж„+1 > х п, а неравенство (2 ) — в виде< х п, то последовательность {хп} называютсоответственно строго возрастающей и строго убывающей.Возрастающую или убывающую последовательность называютмонотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — строго монотонной.Если неравенство (1) выполняется при п щ , то последовательность {х п} называют возрастающей, начиная с номера щ (при пПо).
Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающейи строго возрастающей последовательности, начиная с номера щ (прип 0 По)Для доказательства теоремы о пределе монотонной последовательности нам потребуются понятия точной верхней и нижней гранипоследовательности.Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последовательности {хп} называют точной верхней (нижней) гранью последовательности и обозначают соответственно sup{x„} и т£{ж„}.Определение точной верхней грани supX числового множества X,введенное в § 2 , можно записать так:{М = supX }{Vi € X —фх ^ М } Л {Ve > 0 Зже € Х : х > М — }.(3)Аналогично определение точной нижней грани inf X числового множества X можно записать в виде{то = inf Х^} -ФУ{Уж G X —фх > то} Л {Ve > 0 Зже G X: х е < то + е}. (4)Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней последовательности можно записать в виде[а = sup{x„}] -ФУ{Vn G N —фх п ^ а} Л {Ve > 0 3N e: ждг, > а —е}, (5)[b = inf{x„}] -ФУ{Vn £ N —фх п > b} Л {Ve < 0 3N e: хме < Ь + е}.
(6 )§ 6. Предел м онот онной последоват ельност и51Таким образом, число а — точная верхняя грань последовательности {х п}, если выполняются условия:1 ) все члены последовательности не превосходят а, т. е.Vn е N —>• х п ^ а;2 ) для каждого г > 0 (рис.ности, больший а — г, т. е.Уг > О 3N£ :xn£> а —s .(7)6 .1 ) найдется член последователь(8 )Аналогично разъясняется определение (6 ) точной нижней грани последовательности.У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, что если М = s u p X , то су щ е ст в у ет послед ов ател ьн о сть { х п }, где х п G X при всех п Е Л/, т а к а я , что lim х п = М .п —>оо2. Признак сходимости монотонной последовательности.Т е о р е м а 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
