Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.О Пусть последовательность {хп} имеет предел, равный а. По определению предела для е = 1 найдем номер N такой, что при всех п ф Nимеет место неравенство \хп —а\ < 1. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то\хп\ = \хп - а + а\ ф \хп - а\ + |а|.Поэтому при всех ri > N выполняется неравенство\хп\ <1 + |а|.Положим с = max (1 + |а|, |жд |,..., |xjy-i|), тогда \хп\ ф С при всехп £ N, т. е. последовательность {хп} ограничена. •З а м е ч а н и е 2. В си лу тео р ем ы 2 в с я к а я сх одящ аяся последовате л ь н о с ть я в л я е т с я о грани чен н ой. О братное неверно: не в с я к а я о гр ан и ч ен н ая п о следовательн ость я в л я е т с я сходящ ей ся.
Н апри м ер, п оследовательн ость {( —1 )"} огр ан и чен а, но не я в л я е т с я сх одящ ей ся (п ри м ер 5).З а м е ч а н и е 3. Если условие (6) не в ы п о л н яется, т. е.УС > 0 Зпс> € N : \х„с | > С,то го во р ят, что п оследовательн ость {®п } не огран и чен а.П р и м е р 6 . Доказать, что последовательность {1 / у п} являетсяограниченной, если lim уп = Ъ, Ъ ф 0 и уп ф 0, для всех п £ N.п—tooА Так как Ъ ф 0, то |Ь| > 0.
По заданному числу е = |Ь|/2 в силуопределения предела последовательности найдется номер N q такой,чтоУ п ф М о ^ |уп(7)42Гл. II. Предел последоват ельност иИспользуя неравенство для модуля разности\Ц - \уп\ ^ IУп - Ци неравенство (7), получаем \Ь\ —\уп \ < \Ь\/2 , откуда \уп \ > \Ь\/2 , ипоэтому для всех п ^ Nq справедливо неравенство | 1 /^/п| < 2 /|Ь |.Пусть С = max ( —г— -— г,, тогда для всех п Е N выпол42/11IVNo—i I \ь\/няется неравенство \1 / у п\ ^ С, т.
е. { 1 / у п} — ограниченная последовательность. АУ п р а ж н е н и е 2. Д о к азать, что п оследовательн ость { х п } огран и чен а,если:П 11a )x n = y —— ;z ' п+ кк=1\б)2nz.= —, а > 1.апУ п р а ж н е н и е 3. Д о к азать, что п о следовательн ость { х п } не о гр ан и ч ена, если:а)х п = п (-1)";б) ж„ =Пх/гс .Зп + 45.Свойства сходящ ихся последовательностей, связанныес неравенствами.Т е о р е м а 3. Если последовательности {х п}, {^п} 5 {^п} таковы,что%п ^ Уп ^дляп ^ No,lim жп = lim zn = а,n —>•оо(8 )n —>-ооmo последовательность {уп} сходится иlim= а.П—>•ООО По определению предела для любого г > 0 найдутся номера N\ == Ni (г) и TV2 = TV2 (s) такие, что х п Е Ue (а) при всех n ^ N \ и zn £ U e (а)при всех п ^ TV2.
Отсюда и из условия (8) следует (рис. 4.3), что привсехN , где TV= max (7V0,^ 2), выполняется условие уп Е U£(a).Это означает, что существует lim уп = а. •п —>-ооЗ а м е ч а н и е 4. Т ео р е м у 3 н а зы в аю т тео р ем о й о тр е х последовательн остях или тео р ем о й о пределе “за ж а т о й ” п оследовательн ости.П р и м е р 7. Пусть а п ^ —1 при всех п Е А/ и lim а п = 0.
Докап —>-оозать, чтоlim \/1 + а п = 1, к е N.(9)п—Уоо§4■ О пределение предела последоват ельност и43А Докажем сначала, что1 —|®га| ^ \/1 + а п1 + \ап\, п (ЕN ,к (Е N .(Ю)В самом деле, если а п ^ 0, то1 sj \/1 + а п ( \/1 + а п)к = 1 + О-n = 1 + |о!п|,а если —1 ^ а п < 0 , то1 ^ \ / 1 + a n ^ ( \ / 1 + a n ) k = 1 + a n = 1 — | а п |,откуда следуют неравенства (10). Применяя теорему 3, получаемутверждение (9). ▲П р и м е р 8 .
Доказать, что если а > 1, тоlim Х/а = 1.(11)п—>ооА Если а > 1, то Х/а > 1. Обозначая 1)/а —1 = а п, получаем Х/а =1 - п„. I де п„ > 0 , откудаа=(1 + а п)п > а пп( 12 )в силу неравенства Бернулли. Так как а п > 0, то из (12) следует, что0 < а п < а/п, т. е. 0 < Х/а —1 < а/п.
Применяя теорему 3 и результат примера 2 , б), получаем соотношение ( 1 1 ). ▲П р и м е р 9. Доказать, чтоlim Х/Ц=1.(13)п—>ооА Заметим, что Х/п — 1 = а п > 0 при ri > 1, откуда ri = (1 + а п)п >> С\с?п (§ 3, п. 5, (53)), где С \ = П^Пп299^4при п > 2. Следова_тельно, п > — at,, или at, < —, и так как а п > 0 , то4s1пт. е.0 < Х/п —1 < -^=.0_ < а п <2у /пу /пИспользуя теорему 3 и результат примера 2, б), получаем утверждение (13). ▲П р и м е р 10.
Пусть а > 1, р € N. Доказать, что„ рlim — = 0.П—¥ОО а п(14)А Если а > 1, то а = 1 + а, где а > 0, откуда ап = (1 + а )п >> С р+1а р+1 при п > р (§ 3, п. 5, (53)).ТТ.ЛЮ+1п ( п - 1 )...(п - р)п(п \рПусть п > 2р, тогда С р+ 1 = — (p + i)|—> (р + 1 )| ( 2 ) ’ так1 ^ п1 /7/Пкак п —~2 ПРИ ^^ Р' ^ тсюДа следует, чтои поэтому справедливо утверждение (14). ▲П ^ пР ^ 2Р(р + 1)!0 < — < ——-----—,44Гл. II. Предел последоват ельност иТеорема4. Еслиlim х п = a,П —¥ ООlim уп = Ь,(15)П —¥ ООпричема < Ь,(16)то3N0 : Vn > N0 х п < уп.(17)О Как и в теореме 1, выберем е > 0 таким, чтобы е-окрестноститочек а и Ъ(рис.
4.2) не пересекались (возьмем,например, е == (Ь — а) / 3> 0).Согласно определению предела по заданному еможнонайти номера Ni и N 2 такие, что х п € Ue(a) при всех ri ^ Ni иуп € Ue(b) при всех п ^ N 2 . Пусть Nq = max (N 1 , N 2 ). Тогда привсех пЗ> N0 выполняются неравенствах п < а + е < Ъ- е < уп,откуда следует утверждение (17).
•С л е д с т в и е 1. Если lim х п = а и а < Ь, тоП —¥ ОО3N0: Vn > N 0 -> х п < Ъ.(18)О Для доказательства утверждения (18) достаточно в теореме 2взять уп = Ь, п € N. •С л е д с т в и е 2. Если lim х п = а, И т уп = Ъ ип —>ооп —to oVn G N ->■ х п > Уп,(19)аЗ>Ь.(20 )тоО Предположим, что неравенство (20) не выполняется. Тогда а < Ъи по теореме 4 справедливо утверждение (17), которое противоречитусловию (19). Поэтому должно выполняться неравенство (20). •З а м е ч а н и е 5. В ч ас тн о сти , если для сх о дящ ей ся п оследовательн ости{ х п } в ы п о л н яется для всех п € N (или для всех п 3} No) н ер авен ство х п ^ а.(хп/3), то lim х п( lim х п/3).
О тсю да следует, что если все члеП—>ОСn-4-oОны сх о дящ ей ся п о следовательн ости { х п } п р и н ад л еж ат о т р е зк у [ а ,Ъ], т. е.ахпЬ для всех и £ IV, то и предел этой п о следовательн ости прин адлеж и т о т р е зк у [а, Ъ], т . е. а S$ lim х п 5$ Ъ.п—*оОЗ а м е ч а н и е 6. В следстви и 2 у т в е р ж д а е т с я , что если со о т в е тс т в у ю щие члены дву х сх о дящ и х ся п о следовательн остей св язан ы зн ак о м н естр о гого н ер авен ства, то та к о е ж е н ер авен ство сп р авед ли во и для пределов э т и хп оследовательн остей.
К ороче: п редельн ы й переход со х р ан яет зн ак н естр о гого н ер авен ства. О днако зн а к стр о го го н ер авен ства, вообщ е говоря, не сох р а н я е т с я , т. е. если х п > Уп при п 3} No и п о следовательн ости { х п }, {Уп}сх о д я тся , тоlim х пlim у п . Н апри м ер, если х п = 1 + —,п -4- ооп -4-ооТ1то х п > Уп, п € А/, но lim х п = lim у п = 1.П—¥0ОП—¥0О= 1 — —,ТЬ§ 5 . Б есконечно м алы е и бесконечно больш ие последоват ельност и45§ 5.
Бесконечно малые и бесконечно большиепоследовательности. Арифметические операциинад сходящ имися последовательностями1.Бесконечно малые последовательности.ность { а п} называется бесконечно малой, еслиПоследовательlim а п = 0 .П —¥ ООЭто означает, что для любого е > 0 найдется номер N = N e такой,что \ап —0| = \ап\ < е для всех п ^ N e.Понятие бесконечно малой последовательности используется длядоказательства свойств сходящихся последовательностей. Пусть число а — предел последовательности {хп}.
Обозначим а п = х п —а. Поопределению пределаVe > 0 3Ne: VnNe\xn —a\ = \an\ < e,т. e. {a n} — бесконечно малая последовательность. Обратно: еслих п = а + а п, где {а п} — бесконечно малая последовательность, тоlim х п = а.ООПриведем примеры бесконечно малых последовательностей, используя результаты примеров 2 , 8 - 10 :а) {а/тег}, а £ R, г = — , т о G /V; б) {<?” }, |<?| < 1;П —¥в){ty a — 1 }, а > 1 ; г) { ^J/те —1 }; д) {np/ a nj, p £ N , а > 1 .При изучении свойств сходящихся последовательностей нам потребуется ввести арифметические операции над последовательностями. Назовем суммой, разностью, произведением и частнымдвух последовательностей {х п} и {уп} соответственно последовательности { х п + уп}, {хп - у п}, {хпуп}, {Хп/уп}.
При определениичастного предполагается, что уп ф 0 для всех п £ N.Бесконечно малые последовательности обладают следующимисвойствами:а) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;б) произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.О а) Пусть {а п} и {/Зп} — бесконечно малые последовательности.Тогда для любого е > 0 существуют номера Ni = А/фе) и N 2 = ^ ( е )такие, что |а п| < е /2 при всех ri ^ Ni и \(Зп\ < е /2 при всех п ^ N 2 .Если N = N e = max (N 1 , N 2 ), то, используя неравенства для модулясуммы (разности), получаем для всех ri ^ N неравенство\otn ± Рп\ ^ \otn\ + |Рп\ < g + 2 = £ ’46Гл.
II. Предел последоват ельност иСледовательно, {а п =Ь /Зп} — бесконечно малая последовательность.Доказанное свойство с помощью индукции распространяется налюбое число слагаемых.б)Пусть {<тп} — ограниченная последовательность, {/Зп} — бесконечно малая последовательность. По определению ограниченной последовательностиЗ С > 0 : Vn е N -> \olji| < С,а по определению бесконечно малой последовательностиVe > 03Ne : V n > N e ^ \рп\ <Отсюда следует, чтоVn ^ N e -» \ап(Зп\ = \ап \ ■\(Зп\ < ^ С = е,т.
е. {а п(Зп} — бесконечно малая последовательность. •В частности, если {<тп} — стационарная последовательность, т. е.а п = а для всех п Е Л/, а {/Зп} — бесконечно малая последовательность,то {а п(Зп} — бесконечно малая последовательность.З а м е ч а н и е . Т а к к ак бесконечно м ал ая п оследовательн ость о гр ан и ч ена (§ 4, т е о р ем а 2), то из доказан н ого св о й ств а следует, что п р оизведен и еконечного числа бесконечно м алы х п о следовательн остей ес ть бесконечном ал ая п оследовательн ость.2.Бесконечно большие последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
