Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для любых вещественных чисел а, (3, у справедливо равенствоа + (Р + 7 ) = (а + Р ) + 7-О Обозначим 6 = а + ((3 + у), 6 ' = (а + (3) + у и докажем, что 6 = 6 '.Предположим, что 5 ^ 5 ' . Используя неравенства (4) и неравенствоl n+i ^ 7 ^ 7 „ + i ,(Ю)где Уп+1 и у п+1 — соответственно десятичные приближения (те ++ 1 )-го порядка числа у с недостатком и с избытком, из определениясуммы вещественных чисел получаема п+1 + §_п+1 ^ (х + [3 ^ a n+i + /3n+i,(11)Ип+1 + Р-п+1 ^ ^ + ^ ^ Рп+1 + 7п+1-( 1 2)§ 3 . Операции над вещ ест вен ны м и числам и23Применяя неравенства (10)—(12) и первое из неравенств (4), поопределению суммы находим( « п+ 1 +«п+1 +§_п + 1(^ п + 1) + 7 n+i ^(а + Р ) +7 ^+ 7 п+1) ^ а + (/1 + 7) ^(а п + 1а п+1+++ 7п+ы(13)+ 7n+ l)-(14)P n+ i){Рп+1В силу ассоциативности сложения рациональных чисел левые части неравенств (13) и (14) равны числу гп = а п+1 + Р п+1 + 7 п+1) аправые части равны числу рп = a n+i + [in+i + Tn+i- Поэтому из (13)и (14) с учетом неравенства 5 ф 5' получаемгп ^ б ф б ' ф рп,(15)31где Рп тп ~< Yg^> откуда в силу леммы 2 , § 1 следует, чтоб = б1.
•Аналогично доказывается справедливость других свойств операций сложения и умножения.Отметим, что кроме свойств неравенств, указанных в § 1 (п. 2),для вещественных чисел справедливы следующие свойства:1 ) если а ф0, аЪ = 0, то Ь = 0;2 ) если а >Ь > 0 и с > d > 0, то ас > bd;3) если а >Ь, то а 2п+1 > Ъ2п+1 для любогоп £N;4) если а >Ъ ф 0, то ап > Ъп для любогоп £N.У т в е р ж д е н и е 2. Если а и (3 — вещественные числа, и а ф 0,то их частное (б/а существует и единственно.О Рассмотрим сначала случай, когда а > 0 и /1 = 1. Пусть а п и а п —десятичные приближения числа а с недостатком и с избытком. Таккак а > 0, то найдется такое то £ Л/, что а т > 10-та.
Обозначим через X множество рациональных чисел вида =-----, ri £ А/, а через Y —OLm+nмножество рациональных чисел в и д а. В силу теоремы 2, § 2 су—т + пществует вещественное число х, разделяющее множества X и Y , т. е.=-!—О-п+т'— , п £ N.QLn^iri(16)Так как а п ф а ф а п, то из определения произведения вещественных чисел следует, что при ri £ Nj _ 1 (г » ^ §Wm ^ х а ^ Оп+гп ^ j + 10-„_О^п+тпQLn^iriВ силу леммы 2, § 1 получаем, что х а = 1, т.
е. х = —.аЕсли а < 0, то положим — = —-—а\а\^24Гл. I. В ещ ест венны е числаПусть а и (5 — вещественные числа и q / О . Пользуясь ассоциативностью операции умножения вещественных чисел, нетрудно показать, что число х = Д—— есть решение уравнения ха = (3. Покажем,ачто это решение единственно. Если ха = (3 и уа = /3, то (х —у)а = 0.Так как а ф 0, то х —у = 0, т. е. х = у. •Перечислим те свойства вещественных чисел, в которых используется понятие модуля вещественного числа:| - а | = |а|, \аЪ\ = \а\ ■\Ъ\,(18)\а + Ц ^ |а| + \Ц, \ а - Ъ \ ^ \ \ а \ - \ Ъ \ \ .(19)Докажем неравенства (19). Складывая неравенства —\а\ ^ а ^ \а\ и—\Ц ^ b ^ |Ь|, получаем, что —(|а| + \Ь\) ^ а + Ъ ^ \а\ + |Ь|, т.
е. |а ++ Ь| ^ \а\ + |Ь|. Так как а = (а — b) + b, b = (Ь — а) + а, то |а| ^ \а — Ь\ ++ |Ь| и |Ь| ^ |Ь —а\ + |а| = \а — Ь\ + |а|. Следовательно, \а — Ь\ ^ |а| —|Ь|И |а - b\ ^ |Ь| - |а|, т. е. \ а - Ъ \ ^ ||а| - |Ь||.Пусть a, S — заданные вещественные числа, причем S > 0. Тогданеравенство\х — а\ < S(20)равносильно (рис. 3.1) двойному неравенствуа — S < х < а + S,т. е. множество решений неравенства (20 ) — интервал (а —S, а + S);в частности, неравенство|ж| < S, где S > 0 ,равносильно двойному неравенству- 5 < х < 5.Неравенство\ х - а \ > ё , S > 0,(21)выполняется при х < а — S и при х > а + S (рис. 3.2), т.
е. множестворешений неравенства (2 1 ) — объединение бесконечных интервалов§ 3 . Операции над вещ ест вен ны м и числам и(^оо,а — 6 ) и (а +25+оо); в частности, неравенство|ж| > 8выполняется при х < ^ 8 и при х > 8 .Если а < Ъ и а, (3 — любые точки отрезка [а, Ь], т. е. а ^ а ^ (3 ^ Ъ(рис.
3.3) или а ^ /3 ^ а ^ Ь, то|а - Д О - а .(22 )Неравенство (22) имеет очевидный геометрический смысл: расстояние междуточками аи (3 не превосходитрасстояниямежточками а и Ь.4. Арифметический корень. Как известно, уравнения видах т = а,(23)где т — натуральное число, не всегда имеют корни на множестверациональных чисел даже в случае, когда а £ N. Введение иррациональных чисел связано, в частности, с потребностью находить корниуравнений вида (23).Предполагая, что а — заданное положительное число (не обязательно рациональное), то £ А/, то 2, будем искать положительноечисло £. удовлетворяющее уравнению (23). Это число £ назовем арифметическим корнем степени то из числа а и обозначим Д/а.У т в е р ж д е н и е 3.
Для любого то £ N и любого а > 0 существуетединственный арифметический корень степени то из числа а.О Если существует число / £ <3 такое, что £т = а, то это число ибудет искомым. Поэтому достаточно ограничиться предположением,что такого рационального числа нет.Пусть X = {х G Q : х > 0, х т < a}, Y = {у G Q : у > 0, у т > а}.Выберем такое число р £ N, чтобы выполнялось неравенство 1/ р < а << р, тогда 1/рт < 1 / р < а < р < р т и поэтому 1/р £ X , р £ Y. Следовательно, X , Y — непустые множества.По определению множеств X и Y для любого х £ X выполняется неравенство х т < а, а для любого у £ Y — неравенство а < у т,откуда следует, что х т < у т. Так как х > 0, у > 0, то неравенствох т < у т равносильно неравенству х < у, откуда согласно теореме оботделимости числовых множеств (§ 2 ) следует, что существует supXи inf У, причемх sup Xinf Yу(24)для всех х £ X и для всех у £ Y .Обозначим £ = supX и докажем, что £ — арифметический кореньстепени то из числа а > 0, т.
е.= а, где £ > 0. Пусть х < £ < у.Очевидно, что х £ X . Если х ^ X , то х т > 0 и, следовательно,х £ Y . Но тогда из (24) следует, что х ^ £, что противоречит условиюх < £. Аналогично получаем, что у £ У. Поэтомух т < а < у т.(25)26Гл.
I. В ещ ест венны е числаТак как х < £ < у, тох т < С < Ут■(26)Чтобы воспользоваться леммой 2, § 1, оценим разность у т —х т.Применяя формулу у т —х т = (у — х)(у т - 1 + х у т + ... + ж™-1 ) иучитывая, что х > 0 , у > 0 , у > х, получаемО < у т - х т < (у - х)т,ут^ 1.(27)Будем в дальнейшем в качестве элементов у £ Y брать все те и толькоте элементы множества Y , которые удовлетворяют условию у ^ р,где р — указанное выше натуральное число (р £ Y). Тогда из (27)следует, что 0 < у т —х т < (у —х)т рта-1.
Выберем далее s £ N так,чтобы выполнялось неравенство тор™- 1 ^ 10 s; тогда0 < у т _ ж™ < (у _ ж)ю*.(28)Пусть С* и Cj, — к-е десятичные приближения числа £ соответственнос избытком и с недостатком. Тогда х п < £ < уп, где х п = £n+s) Уп == C»+s и х п £ Q, уп £ Q для любого п £ N.При х = х п и у = уп неравенство (28) принимает вид0 <Уп ^ х п < { У п ^ х пЩ 3 = ^ ,(29)причем это неравенство выполняется при любом п £ N.По лемме 2, § 1 из (29), а также из неравенств, которые получаютсяиз (25) и (26) заменой х на х п и у на уп, следует, что £т = а, т.
е.£ — арифметический корень то-й степени из числа а > 0 .Единственность числа £ следует из того, что разным положительным числам соответствуют и разные те-е степени их: если 0 < £ < £i,то С” < £?• •5.Метод математической индукции. Суммирование. Бином Ньютона. При вычислении пределов и в других разделахматематического анализа нам потребуются некоторые сведения изкурса элементарной математики. Имеются в виду метод математической индукции и его применение для доказательства тождеств инеравенств, суммирование и бином Ньютона.а)Метод математической индукции.
Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого п £ N (номера те), достаточнодоказать, что:1 ) это утверждение верно при те = 1 ;2 ) из предположения о справедливости утверждения для номерате следует справедливость этого утверждения для следующего номера те + 1 .Такой метод доказательства называют методом математическойиндукции.§ 3 . Операции над вещ ест вен ны м и числам и27Приведем примеры применения этого метода.П р и м е р 1. Доказать равенствоI2 +22 + ... + те2 = »(" + 1 К2" + 1) ,(зо)А При те = 1равенство (30) верно (1= 1).
Нужно доказать, что изпредположения о справедливости формулы (30) следует справедливость равенстваi2 |r>2II2 | / | i\2(п + 1)(п + 2)(2п + 3)+ ... + те + (те+ 1) = -- 2-------—1 +(31)Прибавляя к обеим частям верного равенства (30) слагаемое (те + I)2,получаем1 2 I о2 I(1 \2п ( п + l ) ( 2 n + 1)1\21 + 2J + ... +I те2 +I (те+I 1)= —-----^ -------- + (те+ 11)./о o^(32)Преобразуя правую часть равенства (32), находим^ (2 т е62 + 7те + 6) = (w + 1)(w + 2)(2п + 3).6Таким образом, равенство (31) является верным, и поэтому формула (30) справедлива при любом те £ А/. АУ т в е р ж д е н и е 4.
Если х ^ —1, то для любого те € N выполняетсянеравенство Бернулли(1 + ж)” > 1 + пх.(33)О При те = 1 утверждение (33) верно (1 + х = 1 + х). Нужно доказать,что при х ^ —1 из предположения о справедливости неравенства (33)следует справедливость неравенства(1 + x )n+1 > 1 + (те + 1)х.(34)Если неравенство (33) является верным, то при умножении обеихчастей его на 1 + х, где 1 + х ^ 0 , получим верное неравенство(1 + ж)” +1 > (1 + теж)(1 + х),где (1 + теж)(1 + х) = 1 + ( п + 1 )х + пх 2 ^ 1 + (те + 1 )х, так какпх 2 ^ 0 .Таким образом, при х ^ —1 справедливо неравенство (34), и поэтому неравенство (33) является верным при любом те € N.
•б) Суммирование. Если а±, а2, ..., ап — заданныечисла, то ихсуммуобозначают символомЕ ар, т. е.к=1У"^ ар = а\ + а 2к=1а П1Гл. I. В ещ ест венны е числа28а число к называют индексом суммирования. Аналогично символомт+Ра к обозначают сумму чисел a TO,a TO+i ,...,a TO+p.k=mСумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс суммирования, а операция суммирования обладает свойством линейности,т. е.
для любых чисел А и В справедливо равенствоппп^ 2 ( А а к + ВЪк) = А ^ 2 а к + B ^ 2 b k.к= 1к= 1к= 1Отметим, что равенствоРт+РУ ~d k + m = У О'кк=1к= т + 1называют формулой замены индекса суммирования.АналогичноП2П—П2У ' Qk = У ' а п —к .k=nik=n —niИз курса школьной математики известны формулы для суммарифметической и геометрической прогрессии.Если { а п } — арифметическая прогрессия с разностью d, то сумму S n первых п членов прогрессии можно записать в видеSn = ^ + ^ n n(35)или выразить через п и а рс _ 2ai + d(n —1 ) ^п—2Если {Ь„} — геометрическая прогрессия со знаменателем q ф 1,то сумму S n первых п членов прогрессии можно записать так:1 —q1 —qПЗадачу о нахождении суммы вида S n =а к , где { а п } — заданнаяк= 1числовая последовательность, обычно рассматривают как задачу опредставлении Sn в виде функции от те, удобной для вычислений.В частности, если существует последовательность {Ь*,} такая, чтодля всех к £ N справедливо равенство а к = Ък^ \ —Ък , то*5» — У flk — У ^(bfe+iк 1к 1Ьк) —— &2 —Ъ\ + Ьз —&2 + ••• + Ьп —Ьп- 1 + Ь„+1ъ§ 3 .
Операции над вещ ест вен ны м и числам и29откуда получаем*5» = У ((^fe+i —Ьр) = Ьпц-1 —bi.(37)fc=iП р и м е р 2. Найти формулу для суммы S n, если:1Е, где { а р } — арифметическая прогрессия, все, , а к а к+1к=1члены и разность d которой отличны от нуля;Пб) Sn = ^sin кх;(38)к= 1В)3„ = У > 2.к= 1А а) Так как а *.+ 1 —ар = d для любого fc € Л/, то1ap+1/ dПрименяя формулу (37) для bp = ^-р—, получаемdapп.111= У " “акакJ L +1“ = таа\- - d(a\^ + па)» •к= 1(39)б) Умножая обе части равенства (38) на 2sin^-, находимП2 sin ^ S n = ^ 2 sin ^ sin кх.к=1Используя равенство2 sin ^ sin кх = cos (к —и формулу (37) для bp = —cos (к —п .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
