Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Число уд, соответствующее значениюХо G D( f ) , называют значением функции при х = Xq (или значениемфункции в точке Жо) и обозначают / ( Жо) или / ( ж)|х=Хо. Совокупностьвсех значений, которые функция принимает на множестве £>(/), называют множеством значений функции и обозначают E( f ) . Заметим, что если уо € E( f ) , то существует по крайней мере одно числоЖо € D( f ) такое, что / ( жо) = УоФункцию часто обозначают только символом ( /, ip, F и т. д.),который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначенияфункции используются также записи вида ж Н- /(ж), / : X —! Y . Подсловом “функция” часто понимают зависимую переменную у, значения которой определяются значениями независимой переменной ж иправилом / , или даже само это правило.
Термин “функция” имеетсинонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция / отображает множество X = D( f ) на множество Y = E( f ) , и называют множество Y образом множества X приотображении / . Если E( f ) С Е\, то говорят, что функция / отображает X в Е+.2.
Равенство функций. Операции над функциями. Функции f u g называют равными или совпадающими, если они имеютодну и ту же область определения X и для каждого ж G X значенияэтих функций совпадают. В этом случае пишут /(ж) = д(ж), ж G Xили / = д.62Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииНапример, если /(ж) = Уж2, х £ R, и g(x)|.r|. х £ R, то / = д,так как при всех х £ R справедливо равенство л/ж2 = |ж|.Если Е' С D( f ) , то функцию д(ж) = /(ж), ж £ Е 1, называют сужением функции / на множество Е ' .
Например, если Е' = [0, +оо),то функция д(ж) = х, х £ Е ', является сужением функции /(ж) = |ж|,ж £ R, на множество Е ' .Если равенство /(ж) = д(ж) верно при всех ж £ Е 1, где Е' С D ( f ) ПП D(g), т. е. сужения функций / и д на множество Е' совпадают, тов этом случае говорят, что функции f u g равны на множестве Е '.Например, функции л/ж2 и ж равны на множестве Е' = [0, +оо).Естественным образом для функций вводятся арифметическиеоперации.
Пусть функции / и д определены на одном и том же множестве Е. Тогда функции, значения которых в каждой точке ж ££ Е равны / (ж) + д{х), /(ж) - д ( ж), f(x)g(x), f ( x) / g( x) (д(ж) ф 0 длявсех ж £ Е), называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций / и д и обозначают / + g, / —д, fg , f /д.Введем понятие сложной функции. Пусть функции у = (р(х) иг = f (y) определены на множествах X и Y соответственно, причеммножество значений функциисодержится в области определенияфункции / .
Тогда функцию, принимающую при каждом х £ X значение F( ж) = /(уфж)), называют сложной функцией или суперпозицией(композицией) функций у и / и обозначают / о ip Например, функцияг = \ / 4 —ж2, ж £ [—2,2], является композицией функций у = 4 —ж2,ж £ [—2,2], и z = уГу, у £ [0,+оо). Эта функция относится к совокупности элементарных функций, т. е. функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числаарифметических операций и композиций. К основным элементарнымфункциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Например, элементарными являются функции:а) линейная у = ах + Ъ, а ф 0;б) квадратичная у = ах 2 + Ьх + с, а ф 0 ;в) многочлен степени п , т. е. функция у = Рп(ж), где Рп(ж) == апх п + а„_ 1 ж” - 1 + ... + оцж + а0, ап ф 0 ;г) рациональная функция, т. е. функция вида у =, где Рп/оQ m {x )и Qm— многочлены степени те и то, то -фL nU.3.Способы задания функции.
Числовые функции чаще всегозадаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции у = ж2, у = |ж|3/ 2, у = sin3 Зж заданына множестве R аналитически.Если числовая функция / задана формулой и не указана область ееопределения D( f ) , то принято считать, что D ( f ) — множество всехтех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещест-§ 9. Числовые ф ункции63венное число.
Например, если /(ж) = л/9 —ж2, то D (/) = [—3, 3], а если/(ж) = yig sin ж, то D( f ) — множество корней уравнения sin ж = 1, т. е.множество чисел ж/, = 7г/2 + 27г&, где к Е Z.Следует отметить, что функция может быть задана различнымиформулами на разных промежутках. Например, функция-ж ,если ж < О,ж2,если 0 ^ ж ^ 1,/О) =2 —д/ж, если ж > 1,задана аналитическим способом на R с помощью трех различныхформул.Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции.
Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.На практике часто соответствие между значениями аргумента изначениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы —кривые, отражающие изменение с течением времени электрическихимпульсов в мышце сердца.
В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика,снимаемого, например, с экрана осциллографа.4.Г раф ик ф ункции. Графиком функции у = /(ж), ж Е D ( f ), в прямоугольной системе координат Оху называют множество всех точекплоскости с координатами (ж,/(ж)), где ж Е D( f ).Для каждого жо Е D( f ) прямая ж = жо, параллельная оси О у, пересекает график функции у = /(ж), ж Е D ( f ), в одной точке М0(жо,т/о),где уо = / ( жо) — значение функции / при ж = жо- Значение ж = а,при котором /(а ) = 0, называют нулем функции /(ж).
Если ж — а —нуль функции / , то график функции у == /(ж) пересекает ось Ож при ж = а, т. е.зв точке М (а, 0).Строго говоря, следует различать гра2+фик функции, точное определение кото1 у = Е ( х )!рого дано выше, и эскиз части графика,-3 -2 - 1 о ^ 4 —I 1 \-^~принимаемый нередко за график.1-1П р и м е р 1. Построить график функции у = Е{ж), где Е{х) = [ж] — целая-2часть числа ж (наибольшее целое число,--3не превосходящее ж).Д Пусть ж Е [n,n + 1), где п Е Z, тогдаЕ(х) = п. График функции у = Е?(ж) изоРис. 9.1бражен на рис. 9.1.
Стрелка на графикеуказывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику. А64Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииП р и м е р 2. Построить график функции у = sign sin ж, гдееслиж >0,ljеслиж = 0,sign ж = f °,еслиж < 1.1 -1 ,Д Если ж е ( 7г -\- 2&7г, 2&7г), где к е Z, то sin ж < 0, иsign sin ж = —1.Если ж G (2 & 7 г ,7 г + 2 & 7 г), т о sin ж > 0 , и sign sin ж = 1 . Если ж =где k G Z, то у = 0. Ерафик функции изображен на рис. 9.2. А&7Г,Ерафик функции у = /(ж) иногда можно получить (см. таблицу)преобразованием известного графика другой функции у = д(ж).Ф ункция у = f ( x )ууУУуУ======д ( х) + Ад { х - а)0 (-ж )-зО )9 ( кх )П р е о б р а з о в а н и е г р а ф и к а ф у н к ц и и у = д(ж)С д ви г ( п а р а л л е л ь н ы й п еренос) вд оль оси о р д и н а т на АС д ви г вдол ь оси абсци сс на аС и м м е т р и я о т н о с и т е л ь н о оси о р д и н а тС и м м е т р и я о т н о с и т е л ь н о оси аб сциссУ м н о ж е н и е к а ж д о й о р д и н а т ы на В , где В ф 0Д елен ие к а ж д о й аб с ц и сс ы на /с, где к ф 0Приведем примеры применения преобразований, указанных втаблице.П р и м е р 3.
Ерафик квадратичной функцииу = ах 2 + Ъх + с, а ф 0,(2)можно получить сдвигом графика функции у = аж2 вдоль оси ОхнаЬ и вдоль оси пОу на с ——1)2 .2а*4аД Действительно, выделяя полный квадрат, получаем2 J/6 \6аж^ + ож + с = а ж + —+ с — —.V2а /4аПоэтому графиком квадратичной функции (2) является парабола, получаемая сдвигом параболыу = аж2. АНапример, график функции у = ж2 —2ж, изображенный на рис.
9.3, можно получить сдвигомграфика у = X2 вдоль оси Ож на 1 и вдоль оси Оу на —1, так какж2 —2ж — (ж —I)2 - 1.§ 9. Числовые ф ункции65П р и м е р 4. График дробно-линейной функции^_ ах + Ъсх + d ’с ф 0,ad —be ф О,(3)кможно получить преобразованием графика функции вида у =XД В самом деле,“)+6-мЫ)ах + Ъсж + d_ a ^ b e adсх+*'c {x + i )откуда следует, что график функции (3) можно получить сдвигом граСфика гиперболы у =и вдоль оси ординат наВ частности, если3 — 2хгде к =be — addсвдоль оси Ох на —АсУ =_ 5 — 2(ж - ■1)_х+15= -2 +Поэтому грах+1фик этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы у = - вдоль оси ОжXна —1 и вдоль оси Оу на—2 (рис.
9.4). Отсюда следует, что график функции у =3 — 2х= ----- — симметричен относих+1то у =тельно точки ( - 1 ,- 2 ) .П р и м е р 5. Построить график функции у = у/^Х.Д График функции у = у/—х можно получить из графика функцииРис.
9.5Рис. 9.6у = фс с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5). АОтметим еще, что график функции у = |/(ж)| можно получить изграфика функции у = /(ж) следующим образом:а) часть графика функции /(ж), лежащую выше оси Ох и на этойоси, оставить без изменения;Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции66б) часть графика функции /(ж), лежащую ниже оси О х, симметрично отразить относительно оси Ох.П р и м е р 6. Построить график функции у — |ж2 —2ж|.Д Применяя указанный выше прием, строим график этой функции(рис. 9.6) с помощью графика функции у = х 2 —2х (рис. 9.3). А5.Четные и нечетные функции.
Функция / , определенная намножестве X, называется:а) четной, если для любого х Е X выполняются условия —х Е XИ f ( - x ) = f(x);б) нечетной, есл и для л ю б о го х Е X в ы п олн я ю тся усл ови я —х Е XИ /(-ж ) = -f{x).Четными являются, например, следующие функции: у = х 4, у =жi l lsm ж= c o s -, у = lg|x|, у = —— а нечетными — функции у =у = sin5 2ж, 2/ = £2t g ^ , у = arcsin (sinж).График четной функции симметричен относительно оси ординат, ау 111у\. О-2 \-1 / V[у= х 2 —2 \х\2^ ^ 1Рис.
9.7график нечетной функции симметричен относительно начала координат.П р и м е р 7. Построить график функции у = ж2 —2|ж|.Д Если ж ^ 0, то у = ж2 —2ж (см. рис. 9.3).Так как ж2 —2|ж| — четная функция, то дляпостроения части графика этой функции,соответствующей значениям ж ^ 0, следует симметрично отразить график у = ж2 —2ж, ж ^ 0, относительнооси Оу (рис. 9.7). АНа рис. 9.8 изображен график нечетной функции у = ж3.6.Ограниченные и неограниченные функции. Функцию /называют ограниченной снизу на множестве X С D( f ), если существует число Ci такое, что для любого ж Е X выполняется неравенствоf(x)>Ci.Используя символы 3 и V, это определение можно записать так:3Ci: Уж Е X -э /(ж)^ Ci.§ 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
