Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 15
Текст из файла (страница 15)
10.4,lim /(ж) = / ( —0) = —1,х —У—Оlim /(ж) = /(+ 0 ) = 1.х—>-+0Отметим еще, что еслиVs03(50: Уж Е Us (а) —у /(+ )^^ З-?т. е. значения функции лежат в правой s-полуокрестности чи\^А___ у = signccУу‘У= l + V x ^у= 1-х\ 2О-11XОРис. 10.4Рис' 10'5пишут lim f ( x) = А + 0. В частности, если А = 0, то пишут lim f ( x) =х—УАх^а= + 0.Аналогично{lim /(ж) = А —0} <£> Vs > 0х—>а3(5 > 0 : Уж еUs(а)—У /(ж)е (А —s, А].Например, для функции1 —ж,2,если ж < 0,если ж = 0,1 + у/х,если ж > 0,{график которой изображен на рис. 10.5, lim /(ж) = 1 + 0.х —)-0§10. Предел ф ункции79Аналогичный смысл имеют записи видаlim /(ж) = А + 0,х — Уci—0Например,{ lim /(ж) = А + 0} Ф+х — Уа—ОФ+ Vs 03(5lim f (x) = А — 0.х—>-а+00: Vx G (о- —(5, а) —у f (ж) G [А, А + s ).У п р а ж н е н и е 2.
З ап и с ат ь с помощ ью л о ги ч ески х сим волов у т в е р ж дение lim f i x ) = А — 0.х —^а +0У п р а ж н е н и е 3. Д о к азать, что ф у н к ц и я / ( ж) и м е е т предел в то ч к е атогда и только тогда, когда в этой то ч к е с у щ е с тв у ю т односторон ни е п ределы ф у н к ц и и / и вы п о л н яется р авен ств о / ( а — 0) = / ( а + 0).б)Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция /(ж), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а,имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут lim /(ж) = оо, еслих—>аVs > 036 > 0: У х е Us (a) -+ |/(ж)| > s.(6)В этом случае функцию /(ж) называют бесконечно большой при ж —у а.Согласно условию (6) график функции у = /(ж) для всех ж е Us(a)лежит вне горизонтальной полосы \у\ < s.
ОбозначимСг(оо) = {у: \у\ > е} = ( - 00, - е ) U (е,+оо)и назовем это множество г-окрестностью бесконечности. Тогда запись lim /(ж) = оо означает, что для любой s-окрестности бесконечх—>айI|Ь-ности U£(оо) найдется такая проколотая (5-окрестность точки а, чтодля всех ж е Us{a) выполняется усло*1вие /(ж) е и £{оо).£lim f i x ) = оо, так как условие (6) вых —)-0полняется при 6 = 1/s (рис. 10.6).Аналогично говорят, что функция /(ж), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а,имеет в этой точке предел, равный+оо, и пишут lim /(ж) = +оо, если-6 МММ|МММ..1о 6^ ----,—х—£х—>аР и с. 10.6Vs > 0 3(5 > 0: Ух е U6 (a) -+ /(ж) > s,т.
е. /(ж) G £/е(+оо), где множество U£(+оо) называют г-окрестностъю символа +оо.ЕслиVe > 0 35 > 0: Ух е Us {a) ->• f ( x) < - е ,т. е. /(ж) G U£{—оо), где U£(—оо) = (—оо,—s), то говорят, что функ-Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции80ция / имеет в точке а предел, равный —оо, и пишут lim /(ж) = —оо,ж —>аа множество U£(—оо) называют е-окрестностью символа —оо.Например, если /(ж) = lgx2 (рис.
10.7), то lim /(ж) = —оо, а если/(ж) = Ду (рис. 10.8), то Игл/(ж) = +оо.х—>-0У п р а ж н е н и е 4. С ф о р м у ли р овать с помощ ью л о ги ч ески х сим волову тв е р ж д е н и я :a) lim /(ж ) = + о о ; б) lim /(ж ) = оо.х —Уа — 0х —)-а+0в) Предел в бесконечности. ЕслиVs > 036 > 0: У х е U5 (+оо) -+ /(ж) <Е Ue(A),то говорят, что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящемсяк плюс бесконечности, и пишут lim /(ж) = А.ж—>-+ооНапример, если /(ж) = -— — (см.
рис. 9.4), то lim /(ж) = —2. ВЖж ++ : 1ж—^Т ооксамом деле, /(ж) = —2 Н— —, и если ж > 0, то ж + 1 > ж > 0. Поэтому55ж 15- < - , откуда следует, что неравенство |/(ж) + 2| < - < s дляX I1 ж^жлюбого £ > 0 выполняется при любом ж > 6 , где 6 = - , т. е. при любом£х е Ud(+оо).Если Vs > О> 0: Vж е Us(-oo) -+ /(ж) Е U£(A), т. е.
неравенство |/(ж) —А| < s выполняется для всех ж Е (—оо,—J), то говорят,что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящемся к минусбесконечности, и пишут lim /(ж) = А. Например, lim -— — = —2ж—>■—оож—>■—оо Ж + 1(см. рис. 9.4).Аналогично, еслиVs > 0 36 > 0: У х е U5 (оо) -+ /(ж) Е Е/е(А),то говорят, что число А есть предел функции /(ж) при ж, стремящемся к бесконечности, и пишут lim /(ж) = А.
Например, если /(ж) =о _ ож >-оо= ----- —, то lim /(ж) = —2.Ж+ 1ж -кх>V '§10. Предел ф ункции81Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности. Например, запись lim /(ж) = —оо означает, что Ve > 0 35 >х —> + о о> 0: Va; € Ug(+оо) —¥ /(ж) € и е(—оо). Аналогично определяются бесконечные пределы при ж Ч о о и ж - 4 ^оо.Уп р а жн е н и е 5. Сформулировать с помощью логических символов иокрестностей (или неравенств) следующие утверждения:a) lim /(ж) = оо; б) lim /(ж) = +оо.х -А — ооX — tO O4.Свойства пределов функций.
В рассматриваемых нижесвойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке.Под точкой понимается либо число а, либо один из символов а —0,а + 0, ^оо, +оо, оо. Предполагается, что функция определена в некоторой окрестности или полуокрестности точки а, не содержащей саму точку а. Для определенности будем формулировать и доказыватьсвойства пределов, предполагая, что а — число, а функция определенав проколотой окрестности точки а.а)Локальные свойства функции, имеющей предел. Покажем, чтофункция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает некоторыми локальными свойствами, т.
е. свойствами, которые справедливы в окрестности этой точки.С в о й с т в о 1. Если функция /(ж) имеет предел в точке а, то существует такая проколотая окрестность точки а, в которой этафункция ограничена.О Пусть lim /(ж) = А. В силу определения предела по заданномух —vaчислу е = 1 можно найти число 6 > 0 такое, что для всех ж € Us (а)выполняется неравенство |/(ж) —А\ < 1 или А — 1 < /(ж) < .4 + 1.Это означает (см.
§ 9, п. 6), что функция / ограничена на множестве Us (а). •С в о й с т в о 2. Если lim /(ж) = А, причем А ф 0, то найдется тах —±акая проколотая окрестность точки а, в которой значения функции /имеют тот же знак, что и число А.\А\О Согласно определению предела по заданному числу е => Оможно найти такое число 6 > 0, что для всех ж G Us (а) выполняется|4|неравенство |/(ж) —А\ <илиА —^< /(ж) < А +(7)Если А > 0, то из левого неравенства (7) следует, что/(ж) > ^ > О Длях G Us(a).Если А < 0, то из правого неравенства (7) следует, чтоАf (x) < у < 0 дляж е Us(a).•82Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииДоказанное свойство называют свойством сохранения знака предела.С в о й с т в о 3. Если lim g(x) = В, причем В ф 0, то существух —±ает число 6 > 0 такое, что функция — — ограничена на множестт' т Iее Us(а).\^О В-п силу определения предела по заданному числу е = у|Я|- можнонайти число 6 > 0 такое, что для всех х £ Us(a) выполняется неравенство|Р(Ж) - В | < 1 | 1 .(8)Из неравенства (8) и известного неравенства\В\ - |р(ж)| «С |р(ж) - В \следует, что \В\ - |р(ж)| < - у , откуда |р(ж)| > - у , и поэтому —^ <2•1< |-^|- для х £ Us (а), т.
е. функция — у ограничена на множестве Ug(а). •б) Свойства пределов, связанные с неравенствами.С в о й с т в о 1. Если существует число 6 > 0 такое, что длявсех х £ Us (а) выполняются неравенствад(х) «С f ( x ) «С h(x),(9)lim д(х) = lim h(x) = А,(10)и еслих —> ах —> ато существует lim f ( x) = А.X—О Воспользуемся определением предела функции по Гейне.Пусть {хп} — произвольная последовательностьтакая, чтох п £ Us(a)для п £ N и lim х п = а.
Тогда в силу условия (10) lim д(хп) =п —to oп —too= lim h(xn) = А.п —>ООТак как, согласно условию (9), для всех п £ N выполняется неравенствод(хп) ^ f(x„) ^ h(xn),то в силу свойств пределов последовательностей (§ 4, теорема 3)lim f ( x n) = А. Следовательно, существует lim f ( x ) = А. •п —> о ох —>аС в о й с т в о 2. Если существует число 6 > 0 такое, что для всехх £ Us(a) справедливо неравенство f ( x) sC g(x), и если lim f ( x) = А,х —±аlim g(x) = В, то А sC В.§10. Предел ф ункции83О Для доказательства этого свойства достаточно воспользоватьсяопределением предела функции по Гейне и соответствующими свойствами пределов последовательностей (§ 4, теорема 4, следствие 2).
•З а м е ч а н и е 4. Если исходное н ер авен ство я в л я е т с я с т р о ги м , т. е.f ( x ) < у ( х ) , то в сл у чае су щ ес тв о в а н и я пределов ф у н к ц и й / и у в т о ч ке а м ож но у т в е р ж д а т ь только, что lim f ( x )lim y ( x ) , т. e. зн ак стр ого гоx —^ax—н ер а ве н с тва м еж д у ф у н к ц и я м и при переходе к пределу, вообщ е говоря, несох р ан яется.У п р а ж н е н и е 6. Д о к азать, ч то еслиlim f ( x ) = A ,lim у ( х ) = В ,х —* ах —* ап ри ч ем А < В, то су щ е с т в у е т число 8 > 0 так о е, ч то для всехв ы п ол н яется н ер авен ство f (x) < у ( х ) .хеUs (а)в) Бесконечно малые функции.
Если lim а(х) = 0, то функцию а(х)ж—называют бесконечно малой при х —ь а.Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:1) сумма конечного числа бесконечно малых при ха функцийесть бесконечно малая функция при ха;2) произведение бесконечно малой при ха функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки а функцию естьбесконечно малая при ха функция.Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечномалой и ограниченной функции, либо с помощью определения пределафункции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей.Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечномалых при х —Уа функций есть бесконечно малая при ха функция.З а м е ч а н и е 5. И з определен ия предела ф у н к ц и и и оп ределен ия бесконечно малой ф у н к ц и и следует, ч то число А я в л я е т с я пределом ф у н к ц и и f ( x )в т о ч к е а т о гд а и то л ько то гд а, когда э т а ф у н к ц и я п р е д ст ав л я ет ся в виде/(ат) = А + а(х),где а ( х ) — бескон ечн о м ал ая прих—¥ а ф у н к ц и я.У п р а ж н е н и е 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
