Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Утверждение (24) доказано. •С л е д с т в и е . Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь], т == inf /(ж), М = sup /(ж), то множество значений, принимаемыххЕ[а,Ь\хЕ[а,Ь\функцией / на отрезке [а, Ь], есть отрезок [т , М].О Для всех ж Е [а, 6] выполняется неравенство т ^ /(ж) ^ М, причемсогласно теореме 4 функция / принимает на отрезке [а, 6] значения,равные т и М . Все значения из отрезка [m, М] функция принимаетпо теореме 6. Отрезок [m, М] вырождается в точку, если /(ж) = constна отрезке [а, Ь\. •г)Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции. Понятие обратной функциибыло введено в § 9 (п.
9). Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.Т е о р е м а 7. Если функция у = /(ж) непрерывна и строго возрастает на отрезке [а, Ь], то на отрезке [/(a), f(b)] определена функциях = д(у), обратная к / , непрерывная и строго возрастающая.О С у щ е с т в о в а н и е о б р а т н о й ф у н к ц и и . Обозначим А = /(а ),В = f{b). Так как / — возрастающая функция, то для всех ж Е [а,Ь\выполняется неравенство А ^ /(ж) ^ Б , где А = inf /(ж), В =жЕ[а,Ь]= sup /(ж), и в силу непрерывности / (следствие из теоремы 6)хЕ[а,Ь\§ 1 1 . Н епрерывност ь ф ункции95множество значений функции E ( f ) = [А, В].Согласно определению обратной функции (§ 9, п. 9) нужно доказать, что для каждого уд € [-4,-В] уравнение/(* ) = Уо(25)имеет единственный корень х = Хд, причем Хд £ [а, Ь].Существование хотя бы одного корня уравнения (25) следует изтеоремы 6.
Докажем, что уравнение (25) имеет на отрезке [а, Ь]единственный корень.Предположим, что наряду с корнем х = Хд уравнение (25) имеетеще один корень х = Хд, где Хд ф Хд; тогда /(So) = уд, х 0 € [а, Ь].Пусть, например, Xq > Xq. Тогда в силу строгого возрастанияфункции / на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство /( S о) > f ( x о). Сдругой стороны, /(S о) = f ( x о) = уд- Отсюда следует, что неравенствох 0 > Хд не может выполняться. Следовательно, Xq = Xq. Существование обратной функции доказано, т. е.
на отрезке [А, В] определенафункция х = / _1(у) = §(у), обратная к / , причем Е(д) = [а, Ь] иg(f(x)) = х,ж е [а, Ъ],f(g(y)) = у,у £ [4, В].(26)М о н о т о н н о с т ь о б р а т н о й ф у н к ц и и . Докажем, что д(у) —строго возрастающая на отрезке [А, В] функция, т. е.V t/i,t /2 е [А, В]:2/1<2/2->■ g( yi ) < д Ш -(27)Предположим противное; тогда условие (27) не выполняется, т. е.32/1 , 2/2 €2/1 < 2/2(28)Обозначим Ж1 = g(yi), х 2 = д(у 2 ), тогда Ж1 ,Ж2 е [a,b], xi ф Х2 в силу (28) и /(S i) = 2/ъ f ( x 2) = 2/2 согласно равенству (26).Так как / — строго возрастающая функция, то из неравенстваSiS2 следует неравенство /(S i) /г /( S 2), т. е. у\ ф у 2 , что невозможно, так как )7i < 2/2 в силу (28).
Таким образом, утверждение(28) не может выполняться, и поэтому д(у) — строго возрастающаяфункция.Н е п р е р ы в н о с т ь о б р а т н о й ф у н к ц и и . Пусть уд — произвольная точка интервала (А, В). Докажем, что функция д непрерывнав точке j/о- Для этого достаточно показать, что справедливы равенствад(Уо - 0) = 0 (2/0), 0 (2/0 + 0) = 0 (2/0),(29)где 0 (2/0 —0) и д(уо + 0) — пределы функции д соответственно слеваи справа в точке уд.По теореме о пределах монотонной функции (§ 10) пределыфункции 0 слева и справа в точке уд существуют и выполняютсянеравенствад(уо^о) ^д(уо) «$0(2/0 + о).(зо)[А, В}:1 g( yi ) Ф д { т ) ■Гл. III.
Предел и непреры вност ь ф ункции96Пусть хотя бы одно из равенств (29) не выполняется, например,0 ) ф д(уо), тогда9 (Уо ~9(Уо - 0 ) < д(у0).^(31)Так как для всех у £ [А,уо) выполняется неравенство а ф д(у) ф~ 0 ), где д(у 0 - 0 ) = sup д(у), а при всех у £ [у0 ,В] спра-д(УоА£у< у0ведливо неравенство д(уо) ф д(у) ф Ь, то из условия (31) следует, чтоинтервал А = (д(уо —0),д(уо)) не принадлежит множеству значенийфункции д.
Это противоречит тому, что все точки отрезка [а,Ь], втом числе и точки интервала А, принадлежат множеству Е(д). Итак,первое из равенств (29) доказано. Аналогично доказывается справедливость второго из равенств (29).Тем же способом устанавливается, что функция д непрерывнасправа в точке А и непрерывна слева в точке В. •З а м е ч а н и е 6. Если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а и стр о го у б ы вает на о тр езк е [а,Ъ], то о б р ат н ая к ней ф у н к ц и я д н еп р ер ы вн а и стр о го у б ы вает нао тр е зк е [/(Ь ), /(« )]З а м е ч а н и е 7. А налогично ф о р м у л и р у е тся и д о к азы в ае тс я те о р е м а оф ун к ц и и д, о братн ой к ф у н к ц и и / , для сл учаев, к о гд а ф у н к ц и я / зад ан а наи н тер вал е (кон ечн ом либо бескон ечн ом ) и п олуинтервале.Если ф у н к ц и я / определена, стр о го в о зр а с та е т и н еп р еры вн а на и н тер вале (а ,Ь ), то о б р атн ая ф у н к ц и я д определена, стр о го в о зр а ст а ет и непреры вн а на и н тер в ал е {А, В ) , гдеА = lim f { x ) ,В = lim f ( x ) .x -A a + 0х -аЪ—Q§ 12.
Непрерывность элементарных функций1.Многочлены и рациональные функции. Рассмотрим многочлен степени те, т. е. функцию видаРп(х) = апх п ++ ... + а \х + а0,ап ф 0.Эта функция непрерывна на R.О Действительно, функция у = С, где С — постоянная, непрерывнана R, так как А у = 0 при любом х. Функция у = х непрерывна на R,так как А у = Аж —^ 0 при Аж —^ 0. Поэтому функция у = архФ, гдеk £ N, непрерывна на R как произведение непрерывных функций. Таккак многочлен Рп(ж) есть сумма непрерывных функций вида архк(к = 0, те), то он непрерывен на R. •Рациональная функция, т. е.
функция вида /(ж) = туЦ-у-) где Рп,Q m \% )Qm — многочлены степени п и т соответственно, непрерывна во всехточках, которые не являются нулями многочлена Qm(ж).О В самом деле, если Qm(Жц) ф 0, то из непрерывности многочленов Рп и Qm следует непрерывность функции / в точке Xq. •§12. Н епрерывност ь элем ен т а р н ы х ф ункций972.Тригонометрические и обратные тригонометрическиефункции.а) Неравенства для тригонометрических функций.У т в е р ж д е н и е 1. Еслиихsin ж1710.cos ж << 1.(1)О Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиусас центром в точке О (рис. 12.1). Пусть LAOB — ж, где 0 < ж < ^ .Пусть С — проекция точки В на ось О х, D — точка пересечениялуча ОВ и прямой, проведенной черезDУ1точку А перпендикулярно оси Ох.
ТогдаВ С = sin х,ZM = tgж.Пусть Si, S2, S 3 — площади треугольника А О В , сектора АО В и треугольника AOD соответственно. Тогда Si == i (ОA )2 sin ж = i sin ж,S 2 = ^ (ОА)2ж =\Ч\\\\1о= 1 ж,S 3 = i О А • D А = i tg ж. Так какSi < S 2 < S3, то1 in• ж < -1 ж < 1—хtg ж.-s(/042)Если ж G ^0,неравенствум/лхСАхРис. 12.1то sin ж > 0, и поэтому неравенство (2) равносильно1 <<1откуда следует., что при ж G ^0, ^ выполняется неравенство (1). Такхкаки cos жчетные функции, то неравенство ( 1 ) справедливои при х е ( -о) - •З а м е ч а н и е 1. Из н ер авен ства (2) следует, чтоtg x > хпри(3)х G ^0,У т в е р ж д е н и е 2.
Для всех ж G /? справедливо неравенство| sinж| ^ |ж|.(4)О Неравенство (4) выполняется при ж = 0. Пусть ж / 0. Тогда если( п 7г\/-.чsin ж.ж G (^0, —J, то из (1) следует неравенство ----- < 1, равносильное неравенству (4). Так как Smx — четная функция, то неравенство (4)справедливо и при ж GИтак, неравенство (4) выполняется,Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции98если |ж| < ~ . Пусть |ж| ^тогда неравенство (4) справедливо, таккак | sin ж | ^ 1 , а ^ - > 1 . *Упражнениевен ств оR1. Д о к азать, ч то для всех .г 62О1 — cos х ^ — .сп равед ли во нераб) Непрерывность тригонометрических функций.У т в е р ж д е н и е 3.
Функции у = sin х и у = cos х непрерывны на R.О Пусть Хо — произвольная точка множества R. Тогда sin ж —х — Хо. X —хо—-—в силуsm Хо = о2 s-m - *0 cos 1 + Ю. т1 ак как smи2t \\2X +Х( ), ^| ..|||неравенства (4), a cos— -— ^ 1, то | sin ж —sm x0| ^ F —Жо|, откудаследует, что функция у = sin ж непрерывна в точке Xq..„ . X + хо . хо - XАналогично имеем cos ж —cos Жо = 2 s in — -— s m —-— , откуда| cos ж —совжо| < |ж —жо |, и поэтому функция cos ж непрерывна в точке Жо- •Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция tgж =_ sinx неПрерЫВНа если cos ж ф 0, т.
е. ж ф — + пп (п £ Z), а функcos х2,COS X,/ция ctgж = ------ непрерывна, если ж Ф жп (п £ Z).sin хв) Первый замечательный предел.,,, „„sm x,У т в е р ж д е н и е 4. Ьсли ж —¥ U, т о -------- У1, т. е.7*с 1Ti д™Hm !Е £ = j.(5 )s-Ю XО Воспользуемся неравенством (1). В силу непрерывности косинусаlim cos ж = cos 0 = 1. Переходя в соотношении (1) к пределу при ж -А 0,ж->0получаем равенство (5). •г) Обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим функцию-7 4у — sin ж,(6)Эта функция, график которой изображен на рис. 12.2, непрерывна истрого возрастает на отрезке А (§ 9, пример 9), множество ее значений — отрезок [—1,1]. По теореме об обратной функции на отрезке [—1 , 1 ] определена функция, обратная к функции (6 ), непрерывнаяи строго возрастающая. Ее обозначаюту = агс8т ж , ж £ [—1 , 1 ].Подчеркнем, что функция агсвтж не является обратной к периодической функции sin ж, которая необратима; агсвтж — функция,обратная по отношению к функции sin ж, заданной на отрезке А ==т- е- обратная к сужению sin ж на отрезок А.
График§12. Н епрерывност ь элем ен т а р н ы х ф ункций99функции у = arcsinx, изображенный на рис 12.3, симметричен графику функции (6 ) относительно прямой у — х. В силу свойств взаимнообратных функций (§ 9, п. 9)sin(arcsinx) = ж,х Е [—1,1],arcsin(sinx) = ж, ж ^ — f ] ’^arcsin(—ж) = —агсятж, ж Е [—1,1],(8 )т. е. агсятж — нечетная функция.П р и м е р 1. Построить график функции у = arcsin(sir^).Д Функция определена на R и является периодической с периодом 27г.Поэтому достаточно построить ее график на отрезке —Рис. 12.4Если —ж ^ |^,то?/ = жв силу равенства (7). Если ^ ^ ж ^то—| - ^ ж —7г ^и согласно формуле (7) получаем arcsin(sin^ —7г)) == ж —7г.
С другой стороны, 8ш(ж —7г) = —sin ж, и поэтомуarcsin(sin^ —7г)) = arcsin(—sin ж) = —arcsin(sir^)в силу равенства (8 ). Таким образом, ж —7г = —arcsin(sinж), еслижЕ |^ ,. Следовательно,ж,если~I2 ’Е<ж<Зтг7г —ж, если2 ^^ 2'Ерафик функции у = arcsin(sir^) изображен на рис. 12.4. Ау = arcsin(sir^) =Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции100ФункцияУ = COSЖ,0 ^ Ж^ 7Г,непрерывна и строго убывает. Обратная к ней функция, которую обозначаюту = arccosx, ж Е [—1,1],непрерывна и строго убывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
