Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 21
Текст из файла (страница 21)
III. Предел и непреры вност ь ф ункцииЧmв)X 1 —COS X1,.. .х1 ак какnb/ Ч(х) =sill---------- г-----------, где 1 —cos х = 2 sm —, то, ис1хcos хх12sinxпользуя первый замечательный предел п т=х—^0 Xкосинуса, получаем7sin --1 и непрерывность"lim F(x) = limir-s-oir-s-o x\ - j 2 cos®2’' 2 'г) Преобразуем F(x), умножив и разделив эту функцию на ip(x) == 's/ х 2 + х + 1 + 's/ х 2 —х + 1. Получим F(x) = , , , откуда, разделив(р(х)числитель и знаменатель на х, находим2F(®) =l/l НуX1 X-j + iу / l -----1— jX X -Используя непрерывность функции s/t при t = 1, получаемlim F(x) =X—z+ oo21 + 1 = 1.
▲2. Замена переменного при вычислении предела.Т е о р е м а 1. Если существуютlim ifi(x) = b, lim f (y) = A,x —s-ay —>bпричем для всех x из некоторой проколотой окрестности точки а выполняется условие ip(x) ф Ь, то в точке а существует предел сложнойфункции f((p(x)) и справедливо равенствоlim f(<p(x)) = lim /(у ).(1 )х —¥аy —rbО Согласно определению предела функции ip и / определены соответственно в Ug (а) и Ue(b), где 6 > 0, е > 0, причем для х € Us (а)выполняется условие ip(x) € Ue(b). Поэтому на множестве Us (а) определена сложная функция f(ip(x)).
Пусть {хп} — произвольная последовательность такая, что lim х п = а и х п € Us (а), п € N. Обозначимп —>ооУп= F{xn), тогда по определению предела функции lim уп = Ь, гдеп —to oуп € Ue(b). Так как существует lim f (y) = А, тоу-*ьlim f(ip(xn)) = lim f ( y n) = A.П —¥ OOП —¥ OOЭто означает, что lim f(ip(x)) = А, т. e. справедливо равенство (1). •x —>aП р и м е р 2. Доказать, что:ча)a rc s in xlim----------=хб)-> 0limя->0хX=1- ;1./ЛЧ(2 )(3)§13. В ы числение пределов ф ункций113А а) Пусть у = arcsin®; тогда ж = sin у, и поэтомуarcsin х _ ухsin у ’причем |® —1 0}{у —1 0}. Следовательно,arcsin®хуп т --------- = п тж-»-оу-s-o sin у.Используя первый замечательный предел lim ‘ЕИЛ =получаем соу^о уотношение (2 ).б) Если у = arctg®, то х = tg у, причем {х —¥ 0}{у —¥ 0}.
Так какarctg®уlim ----- 2— = lim - 2—,ж-»-о ®у-*о tg уГД 6lim= lim —— cosy = 1 ,y^otgyj/-s-o smyто справедливо утверждение (3). ▲3. Второй замечательный предел.Т е о р е м а 2. Функция ip(x) = I( 1 Н—1 \1х имеет при х —¥ оо предел,равный е, т. е.,1,хlim ( l + i ) = е.(4)ж—>оо \X/О Докажем сначала теорему 2 для случая, когда х+оо. В § 6 былодоказано, что/ Н—1 \J ” —¥ е при п —¥ оо.ап = ^1(5)Обозначим/Vn={L+1 \ ” +1/У”=(1+п) ’ г”=(1' +'1 \п^ Т г ) -Так какУп — апjzn — an+in _|_ j )5то из (5) и (7) следует, чтоlim уп = lim zn = е,П —¥ ОО(Д(8 )П —¥ ООа из (8), пользуясь определением предела, получаем, чтоVe > 03N e : V n ^ N e - >y n e Ue(e), zn G Ue(e).(9)Пусть x — произвольное вещественное число такое, что х ^ Ne,и пусть п = [ж].
ТогдаNe ^ n ^ x < n +Из (10) следует, чтоп +11 < -® О п1.( 10)114Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииi + —J— < i + - ^ i+( и)П+ 1XпИз (10) и (11) в силу монотонности показательной и степенной функций получаем1 хП /1\Ж (1 \ п+11 Н п +—1 ) < (1 Н— ) < ( 1 Н— J j( 12 )а из (12), (6 ) и (9) следует, чтоVe > 03N e : Уж ^ N e -+ е —е < ^1 + —^ < е + е.По определению предела это означает, что теорема справедлива в случае, когда х -> +оо.Докажем, чтоlim( l + I ) * = e.x - t — oo \(13)XJПоложим х = —1 — t, тогда t -> +оо при х -> ^оо иРРРРРЧР)*(Роткуда следует, что справедливо равенство (13), так как^1 +при t -> +оо и 1 + j -+ 1.
Теорема 2 доказана. •С л е д с т в и е . Если а(х) ф 0 для всех х из некоторой проколотойокрестности точки Xq и lim а(х) = 0 , тоХ—±ХоYim {1 + а{х))1/а{х) = е.X—>1Го(14)В частности,lim (l + i P = e .(15)ж-»ОО Для доказательства утверждения (14) достаточно воспользоватьсясоотношением (4) и теоремой 1. •З а м е ч а н и е 1. Если а ( х ) ф 0, /Э(х) ф 0 в н екоторой проколотой о к р е с т н ости т о ч к и хо, lim а ( х ) = lim /3(х) = 0 и с у щ е с тв у е т lim31-+Х 031—>310limX—>310 Р \ Х )= А, то(1 + a { x ) f /fi{x) = е х .(16)(1 + р а ( х ) ) 1/а{х] = е ф(17)X—>310В ч ас тн о сти ,limX—>310если р = co n st, а ( х ) -+ 0 при i - Я о и а ( х ) ф 0 для х € U s ( x о).О Для д о к азат ел ь ст в а у т в е р ж д е н и я (16) сл еду ет в о сп о л ьзо в аться рав ен ств о м (1 + а { х ) ) 1/тх) = [(1 + а ( х ) ) 1/а{х)]а{х)/13{х) и соотн ош ени ем (14).
•-+§13. В ы числение пределов ф ункцийП р и м е р 3. Найти lim f115, ~ _*X —'too Ч З Ж - — 5АТЗ* 2 + 4 \ * 2( 1 + 3^2/----= —----А1 а к к а к( —\3 ж 2 — 5 /5/V1 "/ п »что, используя соотношение (17),V е3 S /находим, что искомый предел равен е4/ 3А - 5/ 3) = е3.П р и м е р 4. Найтиlim (cos ж)1/*8Аж-ЮА Используя равенство cos ж = 1 —2 sin2 —, по формуле (16) находим,что искомый предел равен еА, где—2sin , жА=Sosm \ / ч // .=SoX ч 2-2Ij f e ) ( - 2 ) = “ 2т. е. равен е-1/ 2.
А4. Некоторые важные пределы.П р и м е р 5. Доказать, что если а > 0, а ф 1, то..п т —loga(.^ l+ x )1 = wж-юхе1 = — .“In a,ла.18А Рассмотрим функциюх = 0.Эта функция определена в некоторой окрестности точки х = 0 и непрерывна в точке х = 0 в силу теоремы 2. Поэтому функция loga /(ж)непрерывна в точке ж = 0 как суперпозиция непрерывных функций loga £ и t = /(ж). Следовательно,lim log0 /(ж) = loga (Jim(1+ х)1/х ) = loga е.Так какloga /(ж) = lo^a(1 Х^ при ж ф 0, то искомый предел равен loga е.
Из равенства (18) при а = е получаемlimя->0Пример111(1 + Ж) = 1. АX(19)6 . Доказать, что если а > 0, а ф 1, тоlim ? lL z± = in a .ж -Ю(20 )XА Функция у = ax —1 непрерывна и строго монотонна на R (возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1). На промежутке (—1,+оо)существует обратная к ней функция ж = loga(l + у), непрерывная иГл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции116строго монотонная. Учитывая, что уа Х—1 0 при х -А 0 и используя фор— ^qjмулу (18), получаем lim= limlin - f= In а.
Отметим важv ’X^o Xу^о loga(l + у)ный частный случай формулыл (2020 ):рХ _ 1П т -1i = 1. а(2 1 )limяж->0 XП р и м е р 7. Доказать, чтоПт ^= 1.(22 )ж-Ю*е2х —1А Так как sh® ==х—, то, применяя формулу (21), получаем,------------еч ч,. sh® ,.е—1 1 ..lim= lim ------------= 1 .
▲ж- mхж- m2®ехех —е ^хПример8 . Доказать, чтоИ т (1 +д 0 аж-m= а(23)хдля любого a € R, а ф 0.А Рассмотрим функцию у = (1 + х ) а —1 = е_ 1 . На множестве ( —1 ,+og) существует обратная к ней функция х = х(у), причем у —1 0 при х —1 0. Из равенства (1 + х)а = 1 + у следует, чтоa ln ( l + х) = 1п(1 + у). Поэтому ^ + х ^----- - = - = — р — «1п(1 + ®)^хх 1п{1 “I- у)Xоткуда, используя равенство (19), получаем соотношение (23).
▲5. Сравнение функций.а)Эквивалентные функции. Если в некоторой проколотой окрестности точки Хо определены функции / , g, h такие, что(24)f ( x) = g(x)h(x),lim h(x) = 1,X —> X oто функции / и g называют эквивалентными (асимптотически равными) при х —1 Хо и пишутf ( x) ~ д(х) при х —¥ Хо,или, короче, / ~ д при х —1 Xq.тт.„. s i n ®,. sin® ,Например, sm х ~ х при х —¥ U, так как sm х = х, a lim= 1;®ж -Щ®4499оJLо JL1•JL—— - ~ х" при х —¥ оо, так как —— - = х"a lim —— - =®2 + 1= lim — Ц - =ж^оо х +X2®2 + 1®2 + 1ж —^оо ®2 + 11.У п р а ж н е н и е 1.
П о казать, что отнош ение эк в и в а л е н т н о с т и ф у н к ц и йобладает сво й ствам и :а) с и м м ет р и ч н о ст и , т. е. если / ~ д при ® —1 ®о, то д ~ / при ® —1 ®о;б) т р а н зи т и в н о с т и , т. е. если / ~ д и д ~ ip при ® —1 ®о, то / ~ ipпри ® —¥ хо-§13. В ы числение пределов ф ункций117У п р а ж н е н и е 2. П о казать, что если / ~ у и / i ~ у\ при х —1 жо,то f f i ~ 55i при х —1 хо-Отметим, что функции / и 5 , не имеющие нулей в проколотойокрестности точки жо, эквивалентны при х -A Xq тогда и только тогда* к о гд аlim/(ж )х ^ х о д(х)= limд{х)х^хо Дж)=л1.Понятие эквивалентности обычно используют в тех случаях, когдаобе функции / и д являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при х -А ХоПределы, найденные в примерах 2, 5-8, позволяют составить следующую таблицу функций, эквивалентных при х -А 0 :sin х ~ хех —1 ~ хtg х ~ хsh х ~ хагсвтж~ж1п(1+ ж ) ~ жarctg ж ~ х(1 + х ) а —1 ~ ахЭтисоотношения остаются в силепри х -A X q, еслизаменитьвних х нафункцию а(х) такую, что а(х) -А 0 при х -A X q .
Например,sin х 2 ~ х 2 при х —У0 ,вЬ(ж —I )3 ~ (х —I )3 при х —У1 .П р и м е р 9. Доказать, что21 —cos .г ~ J' .clix — l ^ ' ^ -2прих —У0 .су су*хА а) Пользуясь тем, что 1 —cos ж = 2 sin" — и sin —~ — при ж -¥ 0,2получаем1 —cos ж ~ J[ при ж —¥ 0 .9б)Так как с Ь ж ^ 1 = 2 в Ь- ' - и sh - ~ - при ж -А 0, то ch ж —1 ~ —при ж —У0 . Аб)З а м е н а фу н к ц и й э к в и в а л е н т н ы м и при в ы ч и сл е н и и пределов.Т е о р е м а 3. Е с ли / ~ /1 и g ~ дг при ж -A X q , т о из с у щ е с т в о в а су*су*су*су* ~ния пр еде ла фу н к ц и и Aji-j- при х —t X q с л е д у е т с у щ е с т в о в а н и е пределафункции Д 49при х —У X q и с п ра в е дл и в о с т ь р а в е н с т в аlim 4 4 = И тЖ-»Жо у ( х )Х -* Х 051 (X)(25)ОПо условию / ~ /1 и 5 ~ 5 i при ж -A Xq.
Это означает, что /(ж) == f i(x)h(x) и д(ж) = gi(x)hi(x), где lim h(ж) = 1 и lim h\(ж) = 1 .X—^XqX—^XqТак как существует lim —4х->хо51 (ж)и h±(x)—1 1 при ж -А жо, то най-дется такая проколотая окрестность точки жо, в которой определеныГл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции118ф ун к ц и и f i , g i , h i , п р и ч ем g i ( x ) ф 0 и h i ( x ) ф О, о т к у д а с л е д у е т ,ч то в эт о й о к р е с т н о с т и о п р ед ел ен а ф у н к ц и я g ( x ) = g i ( x ) h i ( x ) такая,ч то д ( х ) ф 0.Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки Xq./(ж )оп р ед ел ен а ф у н к ц и яиУf i x } = h(x) f a x ) 'д{ х)Ы(х) д ф х ) 'Так как существует lim;, a limX — >1Го g i { % )сущ ествуетттlim 4 4х ^ х 0 д{х)тт „h(x)= 1, limХ —± Х оh\(x)= 1, тоХ —± Х ои сп р а в ед л и в о р а в ен ств о (2 5 ).•1arcsin х ( е х — 1)ж-»-о cos х — cos 3*П р и м е р 10.
Наити lim --------- --------А Так как arcsin ж ~ х , е х — 1 ~ х , совж^совЗж = 2 sin х sin 2ж,sin ж ~ ж, вт2ж ~ 2ж, то arcsin х ( е х —1) ~ ж2, cos ж —совЗж ~ 4ж2 приж —1 0. Отсюда по теореме 3 следует, что искомый предел равен 1/4. ▲в)П о н я ти е б е с ко н е ч н о м а л о й ф у н к ц и и по с р а в н е н и ю с другой. Если в некоторой проколотой окрестности точки X q определены функции / , д, а такие, что/(ж) = д( х ) а ( х ) ,lim а ( х ) = 0 ,(26)Х —¥ Х ото функцию / называютпри х —¥ Хо и пишутб е с к о н е ч н о м а л о й по с р а в не н и ю с ф у н к ц и е й д/(ж) =о ( д ( ж)),ж - 1 ж0,(27)или, короче, / =о ( д ) , ж —¥ X q.Э та за п и сь ч и т а ет ся так: “/ е с т ь о м а л о е от д при ж, с т р е м я щ ем ся к Жо” . В ч а ст н о ст и , за п и сь /( ж ) = о(1), ж -А жо, о зн а ч а ет , что/( ж ) я вл яется б еск о н еч н о м алой ф у н к ц и ей при ж -A X q .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
