Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если функция у = /(ж) непрерывна слева в точке жо исуществует предел/\ 7уlim -г-, где A y = f ( x 0 + Ах) - f ( x 0),А х —>— О LAXто этот предел называют левой производной функции / в точке жо иобозначают f'_(xо). Аналогично, если функция у = /(ж) непрерывнасправа в точке жо, то предел lim ^х —ц - оДжназывают правой производнойфункции / в точке жо и обозначают /+(жо).Прямые, проходящие через точку Мо(жо, f(xo)) с угловыми коэффициентами f'_(жо) и /+(жо), называют соответственно левой и правойкасательными к графику функции у = ж) в точке Mq.Из существования производной /'(жо) следует существованиеf'_(xo) и /+(жо) и равенство/ ! ( ж 0) = / | ( жо) = /'(ж о ).(17)В этом случае левая и правая касательные к графику функции у == /(ж) в точке М 0 совпадают с касательной в точке М0.Обратно: если существуют левая и правая производные функции / в точке жо и выполняется условие f'_(жо) = /+(жо), то существует /'(жо) и справедливо равенство (17).П р и м е р 5.
Найти левую и правую производные функции /(ж) == |ж| в точке жо = 0 .Д Здесь А у = |Дж|, и поэтомуf'-(x о) =limД ж — —о Дж=limД ж — —о Дж=-1,/+(ж0) =^lim^Д ж —>-+0 Д ж= 1.Прямые у = —ж и у = ж являются соответственно левой и правойкасательными к графику функции у == |ж| в точке О (рис 14.4). АЗ а м е ч а н и е 2. Так как f'_ (жо) ф /+(жо)для функции /(ж ) = ж|, то непрерывная вточке жо = 0 функция ж| не имеет производной в этой точке. Этот пример показывает,что из непрерывности функции / в точке жоне следует существование ее производной вданной точке.Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пустьфункция у = /(ж) непрерывна в точке жо, и пустьlimж—>-0 Дж= limж—>-0f( x о +Аж) - /(ж о) _ОО.Дж( 18 )Гл.
IV . Производная и ее прилож ения130Тогда прямую ж = жо называют касательной к графику функции у == /(ж) в точке Мо(жо,/(жо)). ^ ТУ ПРЯМУЮ можно рассматривать какпредельное положение (при Аж —у 0) секущей I, если уравнение ( 1 )записать в виде/\ грХ - Х 0 = ~^(у - Уо)/\ гри воспользоваться тем, что — у 0 при Аж —у 0 в силу условия (18).АуЕсли lim ——= +оо, то говорят, что функция имеет в точке жоА ж —>-0 Ажпроизводную, равную +оо, и пишут /'(жо) = +оо. В этом случае однотА г/Аусторонние пределы lim —— и lim —— называют соответственноД ж — о АжА ж —>-+0 Ажлевой и правой производной функции у = /(ж) в точке жо и обозначаютf'_(жо) ижо).
Таким образом, если /'(жо) = +оо, то f'_(жо) = +оо___И /+ ( ж 0) = + 0 0 .\ J /\ /у»Например, если /(ж) = ^ж, то /'(0 ) = +оо, так как ^lim — — =У1у=л/х1-ij У О-11X------------Рис. 14.5= Ажlim—у 1—>-0= + о о . В точке V(0,’ 0)7 касательной к графикуфункцииР Щ У Ч*У 4у = ^Jx является прямая ж = 0 (рис. 14.5).Аналогично, если limАж —>-0 Аж= —оо, то говорят, что функция у = fix)имеет в точке жо производную, равную —оо, и пишут /'(жо) = —оо.В случае когда /'(жо) = + о о или /'(жо) = —оо, говорят, что $г/нкция у = /(ж) имеет в точке жо бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).Обратимся теперь к случаю, когда limД ж —>-0 Ажняется ни одно из условий /'(жо) =случае говорят, что д11т о+00ИЛИ= оо, но не выпол-/'(жо) = —00.
В этомне является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если= + о о , a limД ж — о АжlimАж —^TO А.Х== —оо. Этим свойством обладает функция у = \А х\v131§14- Производная и диф ференциал(рис 14.6) в точке жо = 0, так как /+(0) =Аж —>•—оУпражнениеф у н к ц и яLгI/(*)I X!ч / 1Аж1 = —оо.limАж —>-+0Аж^ = +оо,Аж2. П о казать, чтоеслиж ф О,I О,если ж = О,не и м е ет одн осторон ни х п р о и зводны х при ж = 0.5. Дифференциал функции.О п р е д е л е н и е 2. Если функция у = /(ж) определена в й-окрестности точки жо, а приращение А?/ функции у = /(ж) в точке жо представимо в видеА у = А Аж + Ажг(Аж),(19)где А = А (жо) не зависит от Аж, а е(Дж) —>•0 при Аж —>•0 , то функция /называется дифференцируемой в точке жо, а произведение А Аж называется ее дифференциалом в точке жо и обозначается df(жо) или dy.Таким образом,А+ о(Дж) при Аж —>• 0 ,(20 )гдеdy = А Аж.(2 1 )Отметим, что приращение А?/ = / ( жо + Аж) —/ ( жо)можно рассматривать только для таких Аж, при которых точка жо+ Ажпринадлежит области определения функции / , в то время как дифференциал dyопределен при любых Аж.Т е о р е м а 2.
Для того чтобы функция у = /(ж) была дифференцируемой в точке жо, необходимо и достаточно, чтобы эта функцияимела производную в точке xq. При этом дифференциал и производнаясвязаны равенством(22)dy = f ( x о) А х.О Если функция у = /(ж) дифференцируема в точке жо, то выполА1j= А + е(Дж), где е(Аж) —>• 0 приА?jАж —>• 0 (Аж ф 0), откуда следует, что существует lim ——= А, т. е.няется условие (19), и поэтомуАж —>-0 Ажсуществует /'(жо) = А.Обратно: если существует /'(жо), то справедливо равенство (5),и поэтому выполняется условие (19). Это означает, что функция /дифференцируема в точке ж = жо, причем коэффициент А в формулах (19) и (21) равен /'(жо), и поэтому дифференциал записывается ввиде (22 ).
•132Гл. IV . Производная и ее прилож енияТаким образом, существование производной функции в даннойточке равносильно дифференцируемости функции в этой точке.Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (а, 6),называют дифференцируемой на интервале (а, Ъ).Если функция / дифференцируема на интервале (а, Ъ) и, крометого, существуют /+(а) и f'_(b), то функцию / называют дифференцируемой на отрезке [а, 5].З а м е ч а н и е 3.
Если f (жо) ф 0, то из р ав ен ств (20) и (22) следует, чтоdy ф 0 при Аж ф 0 иА у ~ d y при Аж —»• 0.В этом случае го во р ят, что ди ф ф ерен ц иал е с ть главная л ин е й н а я частьприращения функ ц и и , т а к к а к ди ф ф ерен ц иал е с ть ли н ей н ая ф у н к ц и я от А хи о т л и ч ается от А у на бесконечно м ал у ю более вы сокого поряд ка, чем А х .З а м е ч а н и е 4. П риращ ение А х часто о б о зн ач аю т сим волом d x и назы в а ю т дифференциалом независимого переменного. П оэтом у ф о рм у л у (22)зап и сы в аю т в видеdy = f ' ( x o ) d x .(23)По ф орм уле (23) м ож но н ай ти ди ф ф ерен ц иал ф у н кц и и , зн ая ее п ро и зводную . Н априм ер, d sin ж = cos ж с/ж, d e x = ex dx.
Из ф орм улы (23) п олучаем/'(» ) = %(24)Согласно ф орм уле (24) п р о и зво дн у ю м ож но р а с см а т р и в ат ь к ак отнош ениеди ф ф ер ен ц и ал а ф у н к ц и и к д и ф ф ер ен ц и ал у незави си м ого перем енного.З а м е ч а н и е 5. О тбрасы вая в ф орм уле (20) член о(А ж ), т. е. зам ен яя п риращ ен и е ф у н к ц и и ее ди ф ф ерен ц иалом , п олучаем приближ енное равен ство А у ^ / ' ( жо)Аж, или/ ( Жо + Аж) и /(ж о) + / '( ж 0)Аж.(25)Ф орм улу (25) м ож но и спользовать для в ы ч и сл ен и я приближ енного зн ач ения / ( жо + Аж) при м алы х Аж, если и зв ес т н ы зн ач ен и я / ( жо) и / ' ( жо).П р и м е р 6 . Найти с помощьюформулы (25) приближенное значение функции у = tfx при х = 90.Д Полагая в формуле (25) /(ж) == tfx , хо = 81, Аж = 9 и учитывая,что f ( x о) = \/81 = 3, /'(ж) = |Ж “ 3/ 4,f { x °) = ф р , получаем ^9 0 ки 3+ фт.
е.\/90 и 3,083.А6. Геометрический и физический смысл дифференциала.Выясним геометрический и физический смысл дифференциала. Если функция у = /(ж) дифференцируема при ж = жо, то существует касательная /0 (рис 14.7) к графику этой функции в М 0(жо,/(жо)), задаваемая уравнением (16). Пусть§15. П равила диф ф еренцирования133M(xq + Ах, f(xo + Ах)) — точка графика функции / с абсциссойХо + Ах, Е и F — точки пересечения прямой х = Xq + А х с касательной 10 и прямой у = г/о = /(жо) соответственно. Тогда F( x о+ Ах,уо),Е( х о + Аж, уо + /'(жо)Аж), так как ордината точки Е равна значениюу в уравнении (16) при ж = Жо + Аж.
Разность ординат точек Е и Fравна /'(жо)Аж, т. е. равна дифференциалу dy функции / при ж = жц.Таким образом, дифференциал функции у = /(ж) при ж = Жо равенприращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой Хо при изменении аргумента от Жо до Жо + Аж. Таккак M F = А у, E F = dy, то согласно формуле (20) M E = о(Аж) приАж —1 0.Обратимся теперь к п. 1. Пусть S(t) — путь, пройденный материальной точкой за время t от начала движения.
Тогда S '( t) =,.S(t + At) - S(t)= lim —E— — мгновенная скорость v точки в момент вредноAtмени t, т. е. v = S'(t). По определению дифференциала dS = vA t. Поэтому дифференциал функции S(t) равен расстоянию, которое прошлабы точка за промежуток времени от t до t + At, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в моментвремени t.§ 15. Правила дифференцирования1.Дифференцирование суммы , произведения, частного иобратной функции.Т е о р е м а 1. Если функции f u g дифференцируемы в точке ж, тоfв этой точке дифференцируемы функции / + g, fg , — (при условии,что д(ж) ф 0 ), и при этом(f(x) +д(х)У = /'(ж ) + д'(х),(1 )(f(x)g(x))' = f '(x)g( ж) + f(x)g'(x),/ ( ж ) \ ' _ /'(ж)я(ж) - f{x)g'{x)(,д( х) )(д(х)У’(2). .О Обозначим А / = /(ж + Аж) —/(ж) и Ад = д(ж + Аж) —д(ж).
Тогда/ '( ж),—¥д'(ж) при Аж —¥ 0, так как существуют /'(ж)Xi—±Xи д'(ж). Кроме того, /(ж + Аж) = /(ж) + А /, д (ж + Аж) = д(ж) + Ад,где А / —^ 0,А^ —^ 0, так как функции f и д непрерывныв точке ж.а) Если у = /(ж) + д(ж), тоАу = /(ж + Аж) + д( х + А х) — /(ж) —д( ж) = А / + Ау,откудаАу = А / + Ауд*д*д*Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения134Правая часть этой формулы имеет при Аж -А 0 предел, равныйf ' ( x ) +g ' ( x ) . Поэтому существует предел левой части, который поопределению равен (/(ж) + д(х))1. Формула (1) доказана.б) Если у = f(x)g(x), тоА у = /(ж + Ах)д{х + А х) — f(x)g(x) == (f ( x ) + А / ) ( д ( ж) + Ад) - f(x)g(x) = f ( x ) A g + g ( x ) A f + A /A g,Отсюда следует формула (2), так как1 д'(ж),—¥ / ' ( ж), Ад —1 ОXi—±Xпри Аж -А 0.Д ж ) /( ж )( x ) + A-2f _ f(x)в)ч „Если у = f{x) то AЛy = f / ( ж + —L - IA-A = fALJIAJ.’У(х) ’11у(х + Ах)д(х)д(х) + Адд(х) ’ЛД / д(х) —Ад f(x)или Ау =, \ ,-------- Л . , откуда9 {х)д{х + Ах) ’J^ 1 .= ( ^ 1 .
q(x) - — f i x ) ] ___________ -______ДжчД жДж/ д(х + Ах)д(х)'Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что д(ж + Аж) —1—¥ д(ж) при Аж —¥ 0, где д(ж) 0, получаем формулу (3). •С л е д с т в и е 1. Если функция / дифференцируема в точке ж и С —постоянная, то(С f i x) )' = С f i x ) ,т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.С л е д с т в и е 2. Если функции /*.
{k = 1,п) дифференцируемы вточке х и Ск (к = 1 ,п) — постоянные, то2\ IП'к = 1'к= 1т. е. производная линейной комбинации дифференцируемых функцийравна такой же линейной комбинации производных данных функций.Например, если у = 2ех —Зж2 + 4 cos ж, то у 1 = 2ех —6ж —4 sin ж.П р и м е р 1. Доказать, что17Г(tg х)' = — — , ж ф - + for, к £ Z,(4)c o s2 ж{ctgx)' =sin" ж2,х фк- к,k £ Z.(5)А а) Так как (sin ж)' = cos ж, (cos ж)' = —sin ж, то, применяя правило (3) дифференцирования частного, получаемч,(tg ж) =/япж \'-----ЧCOS ж /(sin жУ cos ж — (co s жУ sin жc o s2 ж + s in 2 жCOS2 жCOS2 ж= 4 ----- 2---------- ^ --- 2-------- =5---,§15.
П равила диф ф еренцированияоткуда следует формула (4).б) Аналогично,, , ч,(cosх )1 sinх —(sin*)' cosж( ct g ж) = ±rV------- =sm- жоткуда получаем формулу (5). ▲Замечаниедует, что135sin2 ж+ cos2 жsin- x------------ — ---------,1. И з ф орм ул (1 )-(3 ) и о п ределен ия ди ф ф ер ен ц и ал а слеd ( f + g ) = d f + dg,d ( f g ) =g d f + fdg,Уdf —f dgLnd \ a ) = — ? ----- ’ 5 / ° ’п редполож ении, ч то в данной т о ч к е х ф у н к ц и и f u g ди ф ф ерен ц и р уем ы .вО О гр ан и ч и м ся д о к азате л ь ств о м ф орм улы для ди ф ф ерен ц и ал а п ро и зведен и я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
