Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Т а к к а к d ( f g ) = (f g ) ' d x , где ( f g ) ' = f g + f g ' , то d ( f g ) = g f d x ++ f g ’d x = g d f + f d g . •Т е о р е м а 2. Если функция у = /(ж) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке А = [жо —S,Xq + 5], 6 > 0 , и если существует f ' ( x о) ф 0 , то функция х = (р(у), обратная к функцииу = f (x), дифференцируема в точке уо = f ( x о), причемЫ = ГШ '(6)О Пусть функция / строго возрастает на отрезке А. Обозначима = f ( x о —б), (3 = f(xo + S).
По теореме об обратной функции наотрезке [а,(3\ определена функция х = (р(у), обратная к / , непрерывная и строго возрастающая, причем yg = f ( x о) € (ск, /3), так кака = f ( x 0 - 6 ) < f ( x о) < f ( x о + 6 ) = (3.Пусть А у — приращение независимой переменной у такое, чтоУо + А у G (а,(3). Обозначим Аж = ip(y0 + А у) — <р(уо)- Нужно дока.\ рзать, что существует предел отношения —— при А у0, рав1Ауный ------- .f'(xo)Заметим, что если А у ф 0, то Аж ф 0, так как в противном случае(р(уо + А у) = ф>(уо) при А у ф 0, т.
е. функция принимает одинаковые значения в двух различных точках, что противоречит свойствустрогого возрастания функции ip. Поэтому при А у ф 0 справедливоравенство— = — -— .(7)ДуАу / АхПусть А у 0, тогда Аж —^ 0, так как функция ж = р(у) непрерывнав точке уо- Но если Аж —¥ 0, то существует lim= / '( жц).Дж-s-O Дж ^Итак, правая часть (7) имеет предел, равный — —-. Поэтому иI (*о)в левой части этого равенства существует предел, который согласноопределению равен р'(уо).
Формула (6 ) доказана. •136Гл. IV . П роизводная и ее прилож енияЗ а м е ч а н и е 2. Заменив в формуле (6) хо на у, а уо на х, запишем этуформулу в видеi^= 7 Ш )-тП р и м е р 2. Доказать формулы(arcsina;)' =1VI —х 2, |ж| < 1,(агссовж)' = — 1, |ж| <VI —X2(a rc tg ж)' =(arcctga;)' =1(9)1,( 10 ), х £ R,1 |х(11)х £ R.(12)А а) Если у = (р(х) = arcsin а;, где |ar| < 1, то обратная функция х == f (y) = sin у, где \у\ < ~ . По формуле (8 ) находимi(arcsin■ X )\< =1(sin у)'1cos уТак как sin у = х и у £ ^( 0 , то cos у = V l —х 2. Следовательно, справедлива формула (9).б) Если у = arctg а:, где х £ R, то х = tg аг, где \у\ < . Применяяформулы (8 ) и (4), получаем( arctg а:)' = .
1 , = cos2 у,V в ;(tg у)у'гдеCOS2уJ=1 -Г1---------+ tg 1у=11 +ж Г.2Формула (11) доказана.в) Аналогично доказываются формулы (10) и (12). Впрочем, этиформулы легко получить, используя равенстваarcsin х + arccos хarctg х + arcctg х^и формулы (9) и (11). ▲З а м е ч а н и е 3. Теорема 2 допускает наглядную геометрическую иочевидную физическую интерпретацию. Если существует f ( x о), то в точкеМо(хо, f(xo)) существует касательная 1о к графику функцииу = f(x), угловой коэффициент которой равен tg a = f ( x о), где а. —угол,образуемыйкасательной с положительным направлением оси Ох. Касательная не параллельна координатным осям, так как производная f ( x о) конечна и отлична§15.
П равила диф ф еренцирования137от н уля. П усть для оп ределен ности /'(ж о ) >7Г> 0, то гда 0 < а < — (рис 15.1).Если р а с см ат р и в ат ь у к а к н езави си м оеперем енное, а х к ак ф ункц ию , то к р и в ая ,зад ан н ая у р ав н ен и ем у = /(ж ), будет граф иком ф у н к ц и и х = р ( у ). П усть Р — угол,образован ны й касател ьн о й /о с п олож и тельны м н аправлени ем оси О у (рис 15.1), то г да t g P = р ( у о ) .
Т а к к а к а + [3 = - ,f ( xо)тохД адимф и зи ч еск у юи н тер п р ет а ц и юРис. 15.1ф орм улы (6). Т а к к ак р'(уо) е сть с к о р о стьи зм ен ен и я перем енного х по отнош ению к и зм ен ен и ю перем енного у , а/'(ж о ) — ск о р о сть и зм ен ен и я у по отнош ению к ж, то ф орм ула (6) в ы р аж ае тто т ф акт, что у к азан н ы е ско р о сти я в л я ю т с я взаим но о бр атн ы м и .2. Дифференцирование сложной функции.Т е о р е м а 3.
Если функции у = р(х) и z — f (y) дифференцируемысоответственно в точках жо иуо, где уо = р (х о), то сложная функцияz = f (р(х)) дифференцируема в точке ж0? причемz ’(xo) = f(yo)<p'(xo) = f ' i v i x o))v'{xo).(13)О Сложная функция z(x) непрерывна в точке жо, так как из дифференцируемости функций / и ip следует непрерывность этих функцийсоответственно в точках у 0 и ж0- Поэтому функция z(x) определенав Us(xо) при некотором S > 0.Из дифференцируемости функции / в точке у о по теореме 1 следует, что существует 5 > 0 такое, что для всех у £ Us(yo)f(y) = f(Vo) + f i(y)(y ~ Уо),где f\(y) — непрерывная в точке уо функция такая, что/ 1 (2/0) = / ' ( Уо)-(14)(15)Так как функция ip непрерывна в точке жо, то= ^i(^) >0 : Vx £ Us1 (xq) —>р(х) £ Us(yo)-Поэтому, подставляя в равенство (14) ip(x) вместо у , получим равенство(16)^ = f{4>{x)) = / ( 2/0 ) +- ip(x 0 )),справедливое для всех х £ Us1 (жо).
Но<р(х) - <р(ж0) = pi (x)(x - ж0),(17)где ipi — непрерывная в точке жо функция такая, что<Pl{xo) = <р'(хо).(18)138Гл. IV . П роизводная и ее прилож енияИз (16) и (17) следует, чтоz(x) = z(x0) + f 1 (<p(x))<p1 (x)(x - х 0),где z 1 = fi(ip(x))ipi(x) — непрерывная в точке Xq и такая, что(19)z i ( x 0) = fi(<p(x0))<Pi(x0) = fi(yo)<p' (хо) = f ' M x о) W o )(20)в силу (15) и (18).По теореме 1 из (19) и (20) следует, что существует z '(xq) и справедливо равенство (13). •С л е д с т в и е .
Дифференциал функции у = f ( x) имеет один и тотже видdy = f ' ( x)dx(2 1 )как в случае, когда х — независимое переменное, так и в случае, когдах — дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.О Пусть х = ip(t) — дифференцируемая функция переменного t,тогда у == z(t). По правилу дифференцирования сложнойфункцииz'(t) =откуда по определению дифференциалаdy = z'(t)dt = f'(ip(t))ip'(t)dt.Так как Lp'(t)dt = dx, то dy = f'(ip(t))d(p(t) = f' (x)dx, т. e.
формула (21) остается справедливой при замене х на ip(t). Это свойствоназывается инвариантностью формы первого дифференциала. •З а м е ч а н и е 4. П равило ди ф ф ер ен ц и р о в ан и я слож ной ф ун к ц и и f{i p{x))обы чно зап и сы в аетс я в виде(Л Ф ))У = Г(Ф ))Д (х).О пуская а р г у м е н т и и спользуя о бозначени е производн ой , у к а за н н о е в§ 14, правило ди ф ф ер ен ц и р о в ан и я слож ной ф у н к ц и и г = f ( y ) = f ( t p ( x ) )м ож но за п и са ть так :dzd z dyZyVx •d i _ tiydiИ™П равило вы ч и сл ен и я производн ой слож ной ф у н к ц и и р а сп р о с тр а н я е т сяна к ом п озиц и ю лю бого конечного числа ф у н к ц и й . Н апри м ер, если ф ун к ц и иx { t ) , у {х ) , z ( y ) д и ф ф ер ен ц и р у ем ы со о тве тс тв е н н о в т о ч к а х to, хо = x ( t о),уо = у ( х о), то в т о ч к е to слож н ая ф у н к ц и я г = z ( y ) = z ( y ( x ) ) = z ( y ( x ( t ) ) )ди ф ф ер ен ц и р у ем а и и м еет м есто р авен ств оdz _ dz dy dxdtdy dx d t 'П р и м е р 3.
Доказать формулы(sh x )' = chx,(ch x )' = shx,( t h*) ' = ^.(cthar)' = —sh -x(22 )(23)§15. П равила диф ф еренцирования139А Гиперболические функции были определены в § 12. Они задаютсяследующими формулами:,ех — е ^ хsh* = ---- ------,2,ех + е ^ хch* = -------2sh*,,ch*—— , c t h * = —— .,th*=ch *sh *а) Применяя теоремы 1 и 3, получаем( s h ж)' = l- ( e x - е- * ( - 1 )) = di x.Аналогично доказывается, что (ch * )' = sh*.б) Используя правило дифференцирования частного, получаем,,,м( sh * )' ch * — sh * ( c h * )'t h *) = ^c h -*ich * — s h " *= ------ —-------,c h -*откуда следует равенство (22), так как ch2* — s h 2* = 1. Аналогичнодоказывается формула (23). ▲П р и м е р 4.
Доказать, что если а > 0, а ф 1, то(log0 |ж|)' = —г!— ,“ 1 1ж In аж ф 0.(24)А Пусть ж > 0, тогда |ж| = ж и log0 |ж| = log0 ж. В § 14 (формула (9))было доказано, что(logo.*)'= —г— ,“жIn ах > °,(25)т. е. формула (24) верна при ж > 0.Пусть ж < 0, тогда - * > 0 и log0 |ж| = log0 (—ж).Применяя формулу (25) и правило дифференцирования сложнойфункции, получаем(loga(—ж))' = -— — ( - 1 ) = —'— ,( —ж) I n аж In ат.
е. формула (24) верна и при ж < 0.Из формулы (24) при а = е получаем(1п|ж|)' =1 , ж # 0. ▲(26)Дадим теперь сводку формул для производных элементарныхфункций (см. § 14 и § 15).1) (С )1 = 0, С = const.2) (*“ )' = а х а, а £ R, ж > 0;(ж")' = теж”- 1 , п G /V, ж е R.3) (ах) = ах In а , а > 0, а ф 1, ж е R;(еху = ех, ж е R.жInа4) (log„ ж)' = —!-— ,а(log„оа |ж|)'! и = —x l^—na ,(In ж)' = - , ж > 0 ;> 0, а ф 1, ж > 0;а> 0, а ф 1, ж Ф 0;(In |ж|)' = —, х ф 0 .Гл. IV .
П роизводная и ее прилож ения1405) (sin ж)' = cos ж, ж е R.6 ) (cos ж)' = —sin ж, ж € R.17Г7) (tgx)' = --- 5—, Ж Ф — + Жп ,co s-ж28) (й^ж )' = ----- — , ж фж п,пsin- жпе Z.е Z.9) (arcsin ж)' =, |ж| < 1.VI —ж210 ) (агссовж)' = —, |ж| < 1 .VI — ж21 1 ) ( arctg ж)' =г, ж е R.1 + ж-1 2 ) (а г а ^ ж ) ' =1+ х1ж е R.13) (вЬж)' = сЬж, ж е R.14) (сЬж)' = вЬж, ж е R.15) ( й ж) ' =А , ж е R.с п 2ж16) ( c th ж)' = — А - » ж ф 0 .в п 2жП р и м е р 5.
Доказать, что еслифункция и ifi(x) ф 0 , то— дифференцируемая в точке ж(Ь | Ф ) | ) ' = ^.(27)А Применяя формулу для производной логарифмической функции итеорему 3, получаем формулу (27). Выражение в правой части этойформулы называют логарифмической производной функции ip. ▲П р и м е р 6 .
Найти /'(ж ), если функция /(ж) задана следующейформулой:а) /(ж) = 2 в т 2ж;б) /(ж) = (Г'1-2 1п (1 + ж3);в) /(ж) = —А 1 , Х с,arcsin(cosж) 0 ^ ж < 1 ;г) /(ж) = arctg ~ Г Т 2tg 3 sh4а^ .А а)б)/ ' ( ж) = ( в т 2 ж) ' = 2сов2ж;/'(ж ) = ^ 2 же-ж21п (1 + ж3) + еГ*2- ^ - ^ ;1 + XsAВ)=arcsin (cos ж) —Vl —ж2 ,1 ---- (—этж)=(а Г С ви ДсОвЖ )) _1 — ж2 — ж а г с в 1 п ( с о 8 ж ) _VI— ж2( а г с в т ( с о 8 ж ) ) 2 ’§15. П равила диф ф еренцированияг)7141/ ' ( ж ) = --------- ---------_ _ ^ o t g 3( s h 4a;)W1 + / ^ j V (« + 1 )2\х + I,+ a r c , g ^ 2 « ’ <-h‘*'3 l „ 2 .6 »(sh 4 x 1 ^ ^==(sh4x1 ( 1, 121n2tg 2(sh4*) сЬ4ж, х —12ntes 3^sh4j:)—— + ---------69; .
, (arctg ——V1 + ® 2cos2( sh 4x)x+ 1П р и м е р 7. Найти производную показательно-степенной функции г = u{x)v^ , где и, v — функции, дифференцируемые в точке х,причем «(ж) > 0 .А Так как г = ev(x'>lnu(x\ то функция г дифференцируема как суперпозиция дифференцируемых функций. Дифференцируя тождествог1и1(In z = v(x) In «(ж), получаем — = и' In и + v —, откуда г' = z{ v' lnu +и\HI vu' \ илиU/(uv)' = uv lnu • v' + vuv~ 1 u'. ▲(28)ZСогласно формуле (28) производная функции uv равна сумме двухслагаемых таких, что первое равно производной показательной функции(основание и рассматривается как постоянная), а второеравно производной степенной функции (u(x))v (показатель v рассматривается как постоянная).П р и м е р 8 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
