Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Найти /'(ж ), g'(x), если:а) /(ж) = Xх ; б) д(х) = Xх*.А а) По формуле (28) получаем f ' ( x ) = X х 1пх + жж®- 1 , т. е./'(ж ) = (жХУ =Xх(In ж + 1).б) Так как д(ж) = х ^ х\ то, снова применяя формулу (28), находимд'( ж) = р(ж) 1пж/ ' (ж) + / ( х )х ^ х'1 ^ 1или(хх*У = жж!В+:г_1 (ж1пж(1пж + 1 ) + 1 ).▲П р и м е р 9. Пусть функция / дифференцируема на интервале(—а, а). Доказать, что если /(ж) — четная функция, то ее производная /'(ж ) — нечетная функция, а если /(ж) — нечетная функция, то/'(ж ) — четная.А Пусть / — четная функция; тогдаf ( ~ x ) = f(x), х £ (—а,а).Дифференцируя это тождество, получаем- f ( - x ) = /'(ж ), ж е ( - а ,а ) .Это означает, что /'(ж ) — нечетная функция.
Аналогично рассматвается случай, когда /(ж) — нечетная функция. ▲Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения1423.Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций.а)Функции, заданные параметрически. Пусть функции x(t) и y(t)определены на отрезке [to —6, to + 5], причем функция x(t) непрерывна и строго монотонна (например, строго возрастает). Тогда на отрезке [а, /3\, где а = x(to — 6 ), (i = x(to + 6 ), определена функция t = t(x),обратная к функции х = x(t), непрерывная и строго возрастающая.Предположим дополнительно, что существуют х '(to) и у' (to), причем x'(to) ф 0 (для сокращения записи вместо x'(to) и у' (to) будемписать соответственно x't , у\).Тогда сложная функция у = y(t) = y(t(x)) дифференцируема по хв точке Хо = x(to), причем^4«X1£/1 m = m(-t’.X1'(29)О Действительно, по правилу дифференцирования сложной функцииу = y(t(x)) получаемdy — v ' - v 't'dx"t xiгде t'x =4 согласно правилу дифференцирования обратной функции.Итак, справедлива формула (29).
•П р и м е р 10. Найти ^4, еслиахх = 1п (1 + е,2 *\),у = arctge2 епе*А Так как х( = ----- 5т, y't =------- 5т, то по формуле (29) находим1+е'1 +еdy _ У± _е* 1 + e2tdy _dxx't1 + e2t 2 e2t ’ ' ' dx2 'б)Функции, заданные неявно. Если дифференцируемая функцияу = f ( x ) задана неявно уравнением F( x, y) = 0 (§ 9), то, дифференцируя тождество F(x, f(x)) = 0 как сложную функцию, можно найти= f'(x). Подробно вопрос о существовании неявной функции и оее дифференцируемости будет рассмотрен в § 28.П р и м е р 11.
Написать уравнение касательной к эллипсу4а2 +4Ъ2 = 1(зо)в некоторой его точке Мо(хо,Уо), где |жц| < а.А Точка Мо однозначно определяет на интервале (—а, а) одну издвух неявных дифференцируемых функций, которые задаются уравнением (30). Обозначим эту функцию f(x). Ее можно записать в явном виде, разрешив уравнение (30) относительно у.§1 6 . Производные и дифференциалы вы сш их порядковДифференцируятождество(30),в котором143у = /(ж), получаемЧ + ‘^ / = 0.а1(31)¥Подставляя в уравнение (31) вместо ж и у соответственно X q иУо, находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке Mq:1и\Ь2 х о« = У (х о) = — т — •а 2 уоСледовательно, уравнение касательной имеет виду - Уо = к(х - х 0),~Это уравнениеможноУУо .
ххо¥НТ- =а2у - уо =УУ() ,записать так: ^ — Нb,1 , так какилиx i y lа2=¥— (х - х 0).а- уоХХоVnа2Ъ,—= тт Н—а1или в виде1. А§ 16. Производные и дифференциалы высших порядков1. Производная те-го порядка.а)Вторая производная. Пусть функция /(ж) имеет производнуюво всех точках интервала (а, Ь). Если функция /'(ж ) дифференцируемав точке Хо € (а,Ъ), то ее производную называют второй производнойили производной второго порядка функции /(ж) в точке Хо и обозначают /"(жо), / ( 2Цхо),f хх(х о)• Таким образом, по определению/"(*„) = ишJхJ+д * -юАжЗаметим, что функцию /'(ж ) часто называют первой производной или производной первого порядка функции /(ж), а под производной нулевого порядка / ^ ( ж ) подразумевается функция /(ж), т. е./ (0)(ж) = /(ж).П р и м е р 1.
Найти /"(ж), если:а) /(ж) = sin2 ж; б) /(ж) = е- ®2;в) /(ж) = 1п(ж + л/х 2 + 1 ); г) /(ж) = |ж|3.А а) Так как /'(ж ) = 2 sin жcos ж = sin 2ж, то /"(ж) = 2сов2ж.б) / ' ( ж ) = - 2 х е ^ х '2, / " ( ж ) = ^ 2 e - ®2 + ( - 2 х ) 2е ^ х '2 = 2 е ^ х'2 ( 2 х 2 - 1).в) Так как /'(ж ) =1л /х 2 + 1. то /"(ж) = —ж(ж2 + I) -3/ 2.г) Если ж ф 0, то»/ / \Г Зж2/ (ж) = | ^Зж 2при ж > 0 ,при ж < 0 ,W144Гл.
IV . П роизводная и ее прилож енияа если ж = 0 , то по определению производной/ ' ( 0 ) = limж-Ю~X= lim=ж-Ю X0.(2 )Следовательно,/'(ж ) = 3a;2signa;.(3)Из равенства (1) следует, чтоf i ( x \ = / 6ж при ж > 0 ,\1 ^ 6ж при ж < 0 .Покажем, пользуясь определением производной, что /"(0 ) существует и /"(0 ) = 0. Из (2) и (3) находим/ " ( 0 ) = И т / ' ( * ) - /'(°) = limж-»ОXж-» О XТаким образом, /"(ж) = 6 |ж|, т.
е.(|ж|)3)" ==6 |ж|. ▲Дадим физическое истолкование второй производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно, и пусть S = S(t) — путь,пройденный ею за время t от начала движения. Тогда v = S ’(t) —скорость точки в момент времени t.AvS'(t + At) - S'(t)л „Отношение — = — ----- --------- — представляет собой среднееускорение точки на промежутке времени от t до t + At, а предел этогоотношения (если он существует), равный S"(t), называют ускорениемточки в момент t.Таким образом, вторая производная пути по времени есть ускорение точки в момент времени t.Выведем, далее, формулу для второй производной функции в случае когда эта функция задана параметрически. Пусть функции ж == ж(t) и у = y(t) удовлетворяют условиям, указанным в § 15, п.
3,и пусть, кроме того, существуют производные х" (to) и у " (to), которые будем обозначать соответственно x"t , y"t . Тогда функция у = у(ж)имеет в точке жо, где Жо = ж(to), вторую производную ухх = ухх(жо),причемV* * = { ьf ) \ bь(4)„ п _ У и х ь ~ Угх и/ клили_(ж^)3'О Действительно, по правилу дифференцирования сложной функцииу хх = Ю ' А ’§1 6 . Производные и дифференциалы вы сш их порядковгде у'х = Щ- (§ 15, (29)), t'x =145откуда следует формула (4), которуюможно представить в виде (5).
•17ГП р и м е р 2. Найти у " , если х = ----- , у = tg t — t, 0 < t < —.cos t2л m,sin t,1sin2 1iVt■ ,А 1ак как x t = — т—, ul = — г----- 1 = — т—, то у' = - j = sm t,* cos tcos tcos tJxx't’и по формуле (4) получаем,,, 1cos3 1y~~ = cos t —r = —— . ▲xtsintОбратимся к вопросу о вычислении второй производной сложнойи неявной функции.Если функция у = у(х) имеет вторую производную в точке Xq, афункция г = z(y) — вторую производную в точке t/o, где уд = у(хо),то существует вторая производная в точке Xq сложной функции w == z(y(x)), причемw"(xQ) = z ”y(y 'x )2 + z'yy x' x,(6 )где в правой части формулы (6 ) опущены обозначения аргументов.О Заметим сначала, что в некоторой окрестности точки Xq определена сложная функция w = z(y(x)), так как функции у(х) и z(y)непрерывны соответственно в точках Xq и уд, причем уд = у(хо).По правилу дифференцирования сложной функции w'x = z'yy'x , откудаw”x = (z'y)'xy'x + z'yy ”x , где (z'yyx = z ”yy'x .
Формула (6 ) доказана. •Вторую производную неявной функции в простейших случаях часто удается найти с помощью дифференцирования тождества, которое получается при вычислении первой производной (подробнее обэтом — в § 28). Поясним это на примере.П р и м е р 3. Найти ухх, где у = у(х) — неявная функция, определяемая уравнением9 9•г ^1.а2Ь2А В § 15 (пример 11) было показано, чтоIЬ2х._чУх =V)хагуЬ2Ь2хДифференцируя тождество (7) по х, получаем ухх = — -— I— — у'х ,а~у &~У~откуда, используя формулу (7) и равенство а2у 2 + Ъ2х 2 = а2 Ь2, находим„У'хх =Ь4Аб)Производная п-го порядка.
Производную от второй производной функции f ( x) называют третьей производной или производнойтретьего порядка этой функции и обозначают f"' (x) или ф^Цх). Аналогично определяются производные любого порядка.Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения146Пусть функция /(ж) имеет на интервале (а, Ь) производные..., /С ""1) (ж). Если в точке х £ (а,Ъ) существует производнаяфункции f in- ^ ( x ) , то эту производную называют производной п-гопорядка или п-й производной функции f ( x) и обозначают /*”^(ж).Таким образом, если функция /(ж) имеет в точке х производныедо те-го порядка включительно, тоГ(Х),f ( n ) {x) = { f ( n - l ) { x ) y t/(»>(*) = Нш / (^ 1)(^ + А ж ) ^ / (" - 1)(ж)^Jх ’д*-юАхФункцию, имеющую в каждой точке множества Е производныедо те-го порядка включительно, называют те раз дифференцируемой намножестве Е.Пусть функции /(ж) и д(х) имеют в точке х производные те-гопорядка.
Тогда функция A f ( x ) + Вд(х), где А и В — постоянные,также имеет производную те-го порядка в точке х, причемТ 6(8 )( Af ( x) + Вд(х)){п) = A f {n) (ж) + В д {п) (ж).При вычислении производных любого порядка часто используютследующие основные формулы.1)(ха){п) = а ( а ^ 1 ) . . . ( а ^ ( п ^ 1 ) ) х а- п.В частности, если а = тег, где тег £ N, тож'2)В частности,( n ) f m!10’приприте = тег,те > тег.{ах){п) = а х \пп а, а > 0 ,а ф 1.'4);5)(1У " * -\ж + а /(1п|ж + а|)(") =i l l /(^ 1 Г " !’(1 1 )(13)(ж + а ) п+1 ’1'( 14 )к J(х + а)п(ш ж )1" 1 = sin (ж + те(совж )^ = cos ^ж + те •'( 12 ){ех){п) = ех .3)(9)(15).(16)Формулы (9)-(14) легко проверяются с помощью индукции.
Докажем формулу (15). Так как (sin ж)' = cos ж, то из равенства cos ж == sin ^ж + ^ следует справедливость формулы (15) при те = 1. Применив метод индукции, докажем, что формула (15) верна при лю§1 6 . Производные и дифференциалы вы сш их порядков147бом п € N. Аналогично проверяется формула (16). Из равенств (15)и (16) следует, что если а = const, то7Г '(sinа х ) = a ” sin ( а х П ' 9 ,(cos аж) ^ = а ” cos [ ах ■(17)п'2,П р и м е р 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
