Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 23
Текст из файла (страница 23)
П роизводная и ее прилож енияпроходящ ей ч е р ез то ч к и А/о и А/(жо + Дж,/(жо + Аж)), м ож н о за п и са ть в видеУ ^ У о = ^ ( ж - ж 0),(1)гдеА у = / ( ж 0 + А ж ) - / ( ж 0),= tga.Эту прямую называют секущей, а число k = tg а — угловым коэффициентом прямой I; здесь а = а(Дж) — угол, образуемый прямой I иосью Ож (этот угол отсчитывается от положительного направленияоси Ох против часовой стрелки).Пусть Дж —1 0, тогда A y —1 0 в силу непрерывности функции /при ж = Жо, и поэтомуМ М 0 = \ / ( А х )2 + (А у )2 -► 0 .Касательной к кривой, заданной уравнением у = /(ж) в точке А/о,естественно назвать предельное положение секущей I при Дж —1 0.Если существуетlim ^ = k0,(2 )Д н о A®v;то существует предельное положение секущей.
Таким образом, еслипредел (2 ) существует, то прямая, проходящая через точку А/о с угловым коэффициентом ко, является касательной к графику функцииу = /(ж) в точке А/оРассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношенияприращения функции к приращению аргумента, исторически привелик появлению понятия производной — одного из важнейших понятийматематического анализа.2. Определение производной.О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция у = /(ж) определена в некоторой окрестности точки жо, и пусть существует конечный пределf(x о "4" Дж) —,/(жо)отношения —------- ^ — —— - при Дж —¥ 0.
Тогда этот предел называется производной функции / в точке Xq и обозначается / '( жо), f'x (xо)или у'(хо), т. е.№ n)=+(3)Согласно определению производная функции у = /(ж) в точке Жоесть предел отношения приращения функции А у = / ( Xq + А х) —/ ( жо)к приращению аргумента Дж при условии, что Дж —1 0, т. е.(4>Из равенства (4) следует, что^- f ' ( x o ) = е(Д ж ),§ Ц . Производная и диф ференциал1250 при Аж —1 О, откуда получаемА у = / ' ( ж 0) А ж + Д ж е ( Д ж ) .(5)Если Дж —1 0, то A y0, и поэтому из существования / '( жо) следуетнепрерывность функции /(ж) в точке Xq.Операция вычисления производной называется дифференцированием.П р и м е р 1. Доказать, что функции у = С ,у = ж” (те € Л/), у = sin ж,у = cos ж, у = ах имеют производные в каждой точке ж е / ! , и найтиэти производные.Д а) Если у = С, где С — постоянная, то А у = С — С = 0, и поэтомугде е(Дж)lim= 0 , т.
е.Д х-ю ДжС' =Об) Если у = ж” , где те € А/, тоДу = (ж + Дж)” - ж” == ж” + С ^ ж ^ Д ж + (72 ж”_ 2 (Дж)2 + ... + (Дж)” - ж” ,А у = теж”-1 Дж + о(Дж),откудаф*' = теж” - 1 + о( 1 ),Джlimv 75Дж- m Д ж= теж”-1 ,’т. е.(ж” )' = теж”- 1 ,в) Если у = sin ж, то(6 )тееЛ/.Ду = вт(ж + Дж) - 8т ж = 2 cos ^ж +sin ^.откуда/\ у2Ду(, Д ж \ sin ~ ~— - = COS Ж + —---- Т - ^ - .ДжV2 /Дж2/Д X\Так как cos I ж Н— — 1 —1 совж при Дж —У 0 в силу непрерывностиsin ^,Ду.функции cos ж, аУ1 при t —УU, тоу cos ж при Дж —у 0, т.
е./Дж(sin ж)' = cos ж.г) Если у = cos ж, тоДу = сов(ж + Дж) —cos ж =—2 sin ^ж +откуда..Дуlim ——= —sin ж,ж- m Д жт. е.(cos ж)' = —sin ж.sin ^.Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения126д) Если у = ах, тоА у = ах+Ах - ах = ах (аАх - 1),11откудаках 1па при Ажh^= ах^~—— -,Д*Дж0, так как а’1 In а при t —¥ О^(§ 13, (20 )).Таким образом, если а > 0, а ф 1, то(ах)' = ах In а.Из формулы (7) при а = е получаем(ехУ = ех . ▲(7)(8 )З а м е ч а н и е 1. Согласно ф орм уле (8) п р о и зво дн ая п оказательн ойф ун к ц и и с осн ован ием е совпад ает с сам ой ф ун кц и ей .
Э ти м и о б ъ я сн я ет ся т о т ф ак т, что в м а т е м а т и ч е с к о м ан ализе и его п ри л ож ен и ях в к ач е с т в еосн ован ия степ ени и осн ован ия логариф м ов обы чно и сп ол ьзуется число е.П р и м е р 2. Найти производные функций у = log0 ж (а > 0, а ф 1,ж > 0) и у = х а (a G R, ж > 0).А а) Если у = log0 ж, тоА + ДжЧчж ) ’A y = log0> + Аж) - log0 ж = log0 \1 + — J ,,.откуда limAyАхAy1l og„(l +f)——= —— , так кака1Д * -ю А хж In а ’=log° ( 1 + y ) lАхх'1, * „ /с 10-— при t —¥ 0 (q 13,In ачз>t(18)). Итак, если а > 0, а ф 1, ж > 0, то(iogo ж)' = —i^—-(9)ж In аИз формулы (9) при а = е получаем(1п ж ) ' = 1 .( 10 )б)При а = п, где п € N, производная функции х а вычисляется поформуле (6 ). Покажем, что для любого a € R и при ж > 0 справедливаформула(ха)' = а х а^ 1.( 11)Действительно, если у = х а, тоА у = (ж + Аж)а —жа = жа ^ 1 + ^j- l),откудаАу _Аха- 1 \х }Ах'хТак как ^----- - ->■ а при t —У0 (§ 13, (23)), то ^Аж -А 0, т.
е. имеет место равенство (11). ▲->■ а х 0-1 при§ Ц . Производная и диф ференциал127Т е о р е м а 1. Функция f ( x) имеет производную в точке Xq тогда итолько тогда, когда в некоторой окрестности точки Xq эта функцияпредставима в видеf ( x ) = f ( x 0) + f i ( x)( x - Хо) ,( 12 )где fi(x) — функция, непрерывная в точке Xq и такая, чтоfi(xo) = f ' ( x 0).(13)О Рассмотрим функцию№ ) = т х ~_ГУ-(14)Она определена в некоторой проколотой окрестности точки X q . Еслисуществует f' (x), то существует lim fi(xo) = f ' ( x о).Полагая fi(xo) =Х —± Х о= f ' ( x о), доопределим функцию f i(x) по непрерывности в точке Xq.Функция f i(x), определяемая формулой (14) и условием (13), непрерывна в точке Хо, а из равенства (14) следует формула (12).Обратно: из (12) следует (14), а из непрерывности функции f i(x) вточке Хо следует, что существует lim f i ( x) = fi(xo), т.
е. существуетX —> Х оцтx -* x o(.•£(О = f'(xo) и справедливо равенство (13). •— fL±—Lx — Ж()3.Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л п р о и з в о д н о й . Если функция у == f ( x) имеет производную в точке Хо, т. е. существует конечныйпределто существует предельное положение секущей I (см. рис. 14.1), заданной уравнением (1). Это означает, что в точке M q(xo, f(xo)) существует касательная 1о (см. рис. 14.1) к графику функции у = f(x),причем согласно формуле (2 ) ко = f'(xo), где ко —угловой коэффициент прямой 10. Так как ко = t gaoj гДе — Угол)образуемыйкасательной с положительным направлением оси абсцисс, тоf ' ( x 0) = t g a 0-(15)Таким образом, геометрический смысл производной состоит втом, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке M q(xo, f(xo)).Уравнение касательной к графику функции у = f ( x) в точкеМо{хо, f(xo j), получаемое из уравнения ( 1 ) заменойимеет видУ = f ( x o) + f ' ( x 0)(x — х 0).на f ' ( x о),(16)Гл.
IV . Производная и ее прилож ения128П р и м е р 3. Записать уравнение касательной к графику функции= еж, параллельной прямой у = ж —1 .Д Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой у = ж —1 , т. е. равен единице, то изуравнения f ' (x) = ех = 1 получаем ж0 = 0 , а по формуле (16) прих 0 = 0 , уо = 1 , f ' ( x о) = 1 находим уравнение касательнойу = х + 1.АуП р и м е р 4.
Под каким углом график функции у = sin ж пересекаетось 0 x 1Д Синусоида пересекает ось абсцисс в точке Xk = ктт (к Е Z). Пусть«/г — угол между осью Ох и графиком функции в точке с абсциссой Хк- По формуле (15), где / ( ж ) = sin ж, находимf ( x k) = cos for = (- 1 )к = tg акСледовательно, в точках х'к = 2ктг (к Е Z) синусоида пересекает осьОх под углом ^ , а в точках ж/, = (2fc + 1 )7г — под углом ^Рис. 14.2(рис.
14.2).Рис. 14.3Заметим, что касательная к графику функции у = sin ж в точке Олежит при ж > 0 выше графика функции у = sin ж, а при ж < 0 —ниже этого графика, так как | зтж | < |ж| при ж ф 0. АПусть существует / '( жо). Проведем через точку Мо(жо, /(жо)) прямую гпо, перпендикулярную касательной Iq (рис. 14.3).
Эту прямуюназывают нормалью к графику функции у = f ( ж) в точке М0.Если А, С, В — точки пересечения с осью Ох соответственнокасательной Iq, нормали шо и прямой, проходящей через M q параллельно оси О у, то отрезок А В называют подкасателънощ а отрезокВ С — поднормалью.Уп р а жн е н и е 1. Показать, что если f (жо) ф 0, то:а) уравнение нормали шо можно записать в видеy = f {xo)- f W ) i x - Xo)'б) \АВ\ = /(ж о)Г (х о)\ВС\ = \f(x 0) f ( x 0)\.129§14- Производная и диф ференциал4.Односторонние и бесконечные производные. По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия левой и правойпроизводных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
