Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Д л я любого x i € R и любого Ж2 € R справедливоравенство(аХ1)Х2 = аХ1Х2.(33)О а)ПустьЖ2 = г € <3,Xi G R, и пусть {г„} —последовательностьрациональных чисел такая, что lim г п = Х \ . Тогда, используя рап—>оовенство (14), получаем(аг")г = а гг".(34)Так как lim rrn = rxi, то по определению показательной функциип—>оосуществует lim arr" = arXl.п—>сюГл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции106Обозначим а г" = t n, aXl = tg. Тогда по определению показательнойфункции существует lim t n = to, и в силу непрерывности степеннойп —>оофункции с рациональным показателем в левой части равенства (34)существует lim (аг")г = (аХ1)г.
Отсюда следует, что справедливо рап —>оовенство(аХ1)г = аХ1Г(35)для любого Xi £ R и любого г £ Q.б)Пусть Xi и Х2 — произвольные вещественные числа, и пусть{рп} — любая последовательность рациональных чисел такая, чтоlim р„ = х 2 - Из равенства (35) при г = рп получаемп —>оо(аХл )Рп = аХ1Рп.(36)Так как lim Х\рп = Х\Х2 , то в силу свойства 3 правая часть равенстп —>оова (36) имеет при п -+ о о предел, равный а ХгХ'2 . Покажем, что леваячасть (36) имеет предел, равный (аХ1)х2.
Обозначим аХг = Ь. Тогда по определению показательной функции существует lim (аХг)Рп =п —to o= lim ЪРп = Vх2 = (аХ1)х2. Равенство (33) доказано. •п —>00С в о й с т в о 5. Если а > 1, тоlim ах =(37)+оо,X —> + СЮlim ах = 0.(38)х —> — СЮО Из неравенства х У [ж] в силу свойства 2 получаем ах У а-М. Таккак а > 1, то а = 1 + а, где а > 0.
Применяя неравенство Бернулли,имеема М = (1 + а ) м > а [ж] > а (х - 1 ).Итак, ах > а(х — 1), где а > 0, откуда следует соотношение (37).Если х < 0, то, используя равенство ах =и соотношение (37),а хполучаем утверждение (38). •Итак, показательная функция у = ах , где а > 1, непрерывна навсей числовой оси и строго возрастает; множество ее значений —интервал ( , + o q ) .0З а м е ч а н и е 2.
С во й ства 1, 3, 4 о с т а ю т с я в силе и для п оказательн ойф ун к ц и и у = ах у где 0 < а < 1.О днако в о тл и ч и е от ф у н к ц и и у = ах, а > 1, ко то р ая я в л я е т с я строгов о зрастаю щ ей , ф у н к ц и яу = ах, 0 < а < 1 , стр о гоу бы вает, т а к к а кгде Ь = — > 1. И з (37) и (38) следует, что если 0 < а < 1, тоlim ах = +оо,lim ах = 0.ах = —,§12. Н епрерывность элем ен т а р н ы х ф ункций107На рис. 12.10 и 12.11 изображены графики показательной функцииу = ах для случаев а > 1 и 0 < а < 1 .У11/\1У1>/ / у = а х, а> 11^ ^ у = а х, 0<а<1оX1ОXРис. 12.10Рис. 12.11З а м е ч а н и е 3.
В к а ч е с т в е осн ован ия п о казательн о й ф у н к ц и и часто исп ользу ю т число е, а ф у н к ц и ю у = ех н азы в аю т экспоненциальной иоб о зн ач аю т ехрж .%____ IIП р и м е р 3. Построить график функции у = е1//ж.Д Функция е1//ж определена при х ф 0, принимает положительныезначения при всех ж / 0 , является строго убывающей на интерваyiлах Ei = (—оо,0) и Е 2 — (0,+оо),причем е1//ж < 1 при х Е Е\ иei/x у ^х ^ Учитывая, что1lim е1/х = 1 - 0 , lim е1/х = + 0 ,П р И£х —У—ооlim ег/ х = +оо,х —У—0lim ег/ х =1 + 0,-------------------Xстроим график функции у = е1//жРис.
12.12(рис. 12.12). А5.Логарифмическая функция. По теореме об обратной функции на промежутке (0 , +оо) определена функция, обратная к функцииу = ах, а > 1. Эта функция называется логарифмической и обозначается у = loga х. В силу свойств обратных функций логарифмическаяфункция с основанием а > 1 является непрерывной и строго возрасх —>-+0х —>-+оотающей. Множество ее значений — вся числовая прямая. Графикфункции у = loga x, где а > 1, изображен на рис. 12.13.108Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииАналогично определяется функция у = loga ж, где 0 < а < 1. Этафункция, график которой изображен на рис.
12.14, является непрерывной и строго убывающей на промежутке (0 , +оо).Пусть а > 0, а ф 1. Тогда по свойствам взаимно обратных функцийсправедливы равенстваalog«х = х ,loga ах = х,х > 0,же / ? .(39)Если х > 0, Х\ > 0, Х2 > 0, то из свойства 1 показательной фукциии формулы (39) следует, чтоl o g j a m ) = l° g a Х 1 + 1о§ а ж2,loga — = l o g a a;i — loga ж2 ,Х2loga Х а=aloga х ,OL £ R .Логарифмируя равенство (39) по основанию 5, где Ъ > 0, b ф 1,получаем следующую формулу перехода от одного основания к другому:logх -~ log^ а ’l°ga Xоткуда при х — Ъ находим формулуloga Ь =1 1 ■logft аОтметим, что в качестве основания логарифмов часто используется число е. Логарифм числа ж с основанием е называютнатуральным и обозначают In ж.6.
Гиперболические функциии обратные к ним. Функции, заданные формуламие X е—хе —есйж =sh x =называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.Эти функции определены и непрерывны на /?, причем сйж — четная функция, а shx — нечетная функция.
Графики функций у = сйжи у — яйж изображены на рис. 12.15.Из определения гиперболических функций shx и сйж следует, чтоsh ж + ch ж = ех,сЬ2ж — s h 2x = 1,(40)сЬ 2 ж =sh 2ж = 2 sh ж ch ж.(41)1 + 2 s h 2 x,§12. Н епрерывность элем ен т а р н ы х ф ункций109По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболическиетангенс и котангенс определяются соответственно формуламиch xsh xcth ж =th x =chx’shx*Функция th x определена и непрерывна на /?, а функция cth ж определена и непрерывна на множестве R с выколотой точкой х = 0 ; обе функции нечетные, их графикипредставлены на рис. 12.16 и рис.
12.17.Можно показать (см. § 20, пример 1), что функции у = shx, у == th х и у = chx, х > 0 , строго возрастающие, а функция chx, х ^ 0 ,строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через arshx, arthx,arch+x, arch_x.Рассмотрим функцию, обратную к функции shx, т. е.
функциюarshx (читается ареа-синус от ж). Выразим ее через элементарные.ех - е~хРешая уравнение shx = ---- ----- = у относительно ж, получаем ех =— у -Ь л/ l + у2. Так как ех > 0, то ех = у + д/ l + у 2, откуда ж = In (у ++ д/ l + у2). Заменяя ж на ?/, а у на ж, находим формулу для функции,обратной для гиперболического синуса:arshx = 1п(ж + д /1 + ж2),ж Е /?.З а м е ч а н и е 4. Н азван и е “ги п ер бо л и ческ и е ф у н к ц и и ” о б ъ я с н я ет сятем , что у р ав н ен и я х = c h t, у = s h t м ож но р а с с м а тр и в ат ь к ак п а р а м ет р и ч ески е у р ав н ен и я гиперболы х 2 —у 2 = 1 (см.
ф о р м у л у (40)). П арам етр t ву р ав н ен и я х гиперболы равен у двоен ной площ ади гип ерболи ческого сек то ра (см. [3, т. 2, п. 330]). Это о траж ено в обо зн ач ен и ях и н азван и ях о б р атны х ги п ер б о л и ческ и х ф у н кц и й , где ч асти ц а аг ес ть сокращ ение лати н ско го(и ан гли йского) слова are a — площ адь.У п р а ж н е н и е 4. Д о к азать ф орм улыsh (х + у) = sh х ch у + ch х sh у ,ch (х + у) = ch х ch у + sh х sh у ,,1. 1+ хa r th х = - In ------- ,21 ж, ,х < 1,110Гл.
III. Предел и непреры вност ь ф ункцииarch+* = 1п(х + л/ х 2 —1),хarch_* = 1п(х —л/ х 2 —1 ),х ^ 1.^1,7. Степенная функция с любым вещественным показателем. В п. 3 была рассмотрена степенная функция вида х г, где г £ Q.Степенная функция с любым вещественным показателем а при х > 0выражается формулойх а = е аЫх.(42)Функция х а непрерывна при х > 0 как суперпозиция показательной функции е* и функции t = a In ж, которые являются непрерывными.
Из равенства (42) и свойств показательной и логарифмической функций следует, что функция х а строго возрастает при а > 0 истрого убывает при а < 0 на промежутке (0,+оо). Из формулы (42)и равенства In е* = t следует, что\п х а = а \ п х ,a £ R,х > 0.З а м е ч а н и е 5. Если а € 0 , то ф у н к ц и я х а м о ж ет и м е т ь см ы сл и при* < 0.
Н апри м ер, ф у н к ц и и х~, у / х определены на R, а ф у н к ц и и 1 / х ' ' , 1 / 1/хопределены при всех х £ R, к р о м е х = 0.8. Показательно-степенная функция. Пусть функции и(х) иv(x) определены на промежутке А = (а,Ь), причем для всех х £ Авыполняется условие и(х) > 0. Тогда функцию у, определяемую формулойу _e v {x)\n u {x)'будем называть показательно-степенной и обозначатьи(х)<х).Таким образом, по определениюu(x)v^ = ev(x)lnu(x)Если и, v — функции, непрерывные на А, то функция uv непрерывнана А как суперпозиция непрерывных функций е* и t = v(x)lnu(x).§ 13.
Вычисление пределов функций1. Раскрытие неопределенностей. При вычислении пределовячасто встречается случаи, когда требуетсянаити гlim /(*)( , где г/ их —¥а д { х )д — бесконечно малые функции при х —1 а, т. е. lim f ( x) = lim д(х) =х —>ах —±а= 0. В этом случае вычисление предела называют раскрытием§13.
В ы числение пределов ф ункций111неопределенности вида jj. Чтобы найти такой предел, обычно преобе. f ( x ) , выделяя в числителе и знаменателе множительразуют дробьвида (х —а)к. Например, если в некоторой окрестности точки х = афункции f u g представляются в виде f ( x ) = (х —a)kf i (х), д(х) == (х —a)kgi(x), где к € N, а функции Д , и д± непрерывны в точке а,}{х)fi(x),,. f(x)fi(a)то ^фф =; , при х Ф а, откуда следует, что lim , . =. .
, есд(х)gi(x)rJJ ’Х^ад( х )дфа)’ли дг(а) ф 0 .Аналогично, если / и д — бесконечно большие функции при х -+ а,т. е. lim f ( x ) = оо, lim д(х) = оо, то говорят, что их частноех —Фах —Фа9{%)иразность f ( x) —д(х) представляют собой при х -+ а неопределенности00ITвида —и оо —оо соответственно. Дляраскрытия неопределенностей00таких типов обычно преобразуют частное или разность так, чтобык полученной функции были применимы свойства пределов. НаприПмер, если / и д — многочлены степени те, т. е.
f ( x ) =акх к, д(х) =Е= 2_.ЬкХ к , где ап фО, Ъп ф 0 , то, разделив числительк=0и знаменательk=o f(x )дроби ; ' на х п, найдем5(*),1, одап + ап—1 — I-... Н— П т Щ = И т ------------ Ж----------= р .х^оод(х)Ьп + Ь п _ Р + ... + Д 1XхпЬпП р и м е р 1. Найти lim F(x), если:ж—чч2 х 2 + * —3,а) F ( l) = # - 2I + r“ = 1;б ) F { .r) = y E E ^ z M E E l.R-r — s i nв)\ F (х)\ = ,—---т-i /хXsа = 4;0_ ;, а=г) F(x) = фх 2 + х + 1 —фх 2 — х + 1,а = +оо.А а) Разложив числитель и знаменатель на множители, получимev\(2х + 3 ) ( х - 1 )В (х) = т—^v J..ч..2* + 3' ------—г, откуда lim В (х) = lim —--------- - = 5.( х — 1 ) ( х 2 + х — 1)Jх -яу Jх-ЯЖ2+ Ж - 1б) Умножив числитель и знаменатель на функцию ip(x) == ф х + 21 + 5фх —3 и используя формулу х 3 —64 = (х — 4)'ф(х),где 'ф(х) = х 2 + 4х + 16, получим..limх-»4ч..* + 21 - 25(* - 3)x-s-4 (х — 4)ip(x)tp(x)..^24x-s-4 tp(x)ij)(x)24<р{А)-ф{А)120В (х) = lim —----- г—-+——+■ = lim ———— = ---- ——— = ------ .112Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
