Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Всл учае к огда f ( a + 0) = f ( a — 0), т о ч к у а н а зы в а ю т точкой устранимогоразрыва. П олагая / ( а ) = / ( а + 0) = / ( а — 0) = А , п олучи м ф у н к ц и юf ( x ) , если х ф а,f ( x ) —ч,J'1 л,если х = а,§ 1 1 . Н епрерывност ь ф ункции89непрерывную в точке а и совпадающую с f(x) при х ф а. В этом случаеговорят, что функция доопределена по непрерывности в точке а.Пусть х = а — точка разрыва функции / , не являющаяся точкойразрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции / .
В такой точке хотя бы один из односторонних пределовлибо не существует, либо бесконечен.Например, для функции f ( x ) = ж sin — точка х = 0 — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию1(х) =ж sinх0,еслиеслих Ф 0,ж = 0,непрерывную в точке х = 0, так какlim х sin —= 0.ж-s-OXДля функций sin — и Д- точка х = 0 — точка разрыва второго родаXX1(см. рис. 10.3 и 10.8).Т е о р е м а 1. Если функция / определена на отрезке [а, Ь] и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыватолько первого рода.О Пусть Хо — произвольная точка интервала (а,Ь).
По теореме 2,§ 10 функция / имеет в точке Xq конечные пределы слева и справа.Если, например, / — возрастающая функция, тоf ( x о - 0) ^ f ( x о) ^ f ( x о + 0),где f ( x о —0) и f ( x о + 0) — соответственно пределы функции / слеваи справа в точке Xq.В том случае, когда f ( x о —0) ф f ( x о + 0), точка Xq является точкой разрыва первого рода функции / ; если же f ( x о —0) = f ( x о + 0), тоточка Хо есть точка непрерывности функции / .
Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей функции. •3. Свойства функций, непрерывных в точке.а) Локальные свойства непрерывной функции.С в о й с т в о 1. Если функция / непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, т. е.35 > 0 ЗС > 0: Уж G Us (a) -> |/(ж)| «С С.С в о й с т в о 2. Если функция / непрерывна в точке а, причемf ( a ) ф 0, то в некоторой окрестности точки а знак функции совпадает со знаком числа f(a), т. е.3(5 > 0 : Уж € Us(a) —¥ s ig n / ^ ) = sign f(a).О Эти утверждения следуют из свойств пределов (§ 10, п.
4). •90Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииб) Непрерывность суммы, произведения и частного.Если функции / и g непрерывны в точке а, то функции / + g, fgи / / д (при условии д(а) ф 0) непрерывны в точке а.О Это утверждение следует из определения непрерывности исвойств пределов (§ 10, п. 4). •в) Непрерывность сложной функции. Понятие сложной функциибыло введено в § 9 (п. 2).Т е о р е м а 2. Если функция z = f(y) непрерывна в точке уо, афункция у = ф(х) непрерывна в точке ж0? причем у 0 = ср(хо), то в некоторой окрестности точки ж0 определена сложная функция f(ip(x)),и эта функция непрерывна в точке х$.О Пусть задано произвольное число г > 0. В силу непрерывностифункции / в точке у 0 существует число р = р(е) > 0 такое, чтоUp(y0) С D( f ) иУу е и р(уо) -+ f (y) е Ue(zo),(2)где z 0 = f ( y 0)В силу непрерывности функции tp в точке хо для найденного в (2)числа р > 0 можно указать число <5 == <5(г) > 0 такое, чтоУх G и д(х0) —»• ip(x) G и р(у0).(2')Из условий (2) и (2') следует, что на множестве Us (xq) определенасложная функция f(ip(x)), причемVa; G Us(xо) -»• f (y) = П ф ) ) G Ue(z0),где z 0 = f(<p(xо)) = /(г/о), т.
е.Ve > 0 36 > 0: Va; е Us (x0) -> / ( ф ) ) е и е( ф о )) Это означает, в силу определения непрерывности, что функцияf(ip(x)) непрерывна в точке ж0- •З а м е ч а н и е 2. Соответствие между окрестностями точек жо, уо, zопредставлено на рис. 11.1. По заданному числу е > 0 сначала находим р > 0,а затем для чисел р > 0 находим 8 > 0.Уп р а жн е н и е 1. Сформулировать определение непрерывности с помощью последовательностей (по Гейне) и доказать, исходя из этого определения, теорему 2.4.Свойства функций, непрерывных на отрезке. Функциюf (x) называют непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна вкаждой точке интервала (а, Ъ) и, кроме того, непрерывна справа вточке а и непрерывна слева в точке Ь.§ 1 1 .
Н епрерывност ь ф ункции91а) Ограниченность непрерывной на отрезке функции.Т е о р е м а 3 (Вейерштрасса). Если функция / непрерывна на отрезке [а,Ь], то она ограничена, т. е.3С > 0 : Уж £ [а, Ь] —1 |/(ж)| ^ С.(3)О Предположим противное, тогдаVC > 0Зжс € [а, Ь]: \ f ( x c ) \ > C .Полагая в (4) С = 1, 2получим, что(4)Vn G NЗж„ € [а,Ь}: |/(ж п)| > п.(5)Последовательность { х п} ограничена, так как а ^ х п ^ Ъдля всехri £ N. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделитьсходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследовательность {хПк} и точка С такие, чтоlim х Пк = С,(6)К —¥ ООгде в силу условия (5) для любогок£Nвыполняется неравенствоа ^ х Пк ^ Ь.(7)Из условий (6) и (7) следует (см. § 4, п. 5, замечание 5), что С £ [а, Ь],а из условия (6) в силу непрерывности функции/ в точке С получаемlim f ( x nk) = /(С).(8)к —¥ ооС другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех п £и, в частности, при п = пр ( к = 1,2,...), т.
е.NIf ( x nk)\ > п и,откуда следует, что lim / ( х Пк) = о о , так как пр —Ь + о о при к —1 оо.к —* ооЭто противоречит равенству (8), согласно которому последовательность {/(ж„ь)} имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не можетвыполняться, т. е. справедливо утверждение (3). •З а м е ч а н и е 3. Теорема 3 неверна для промежутков, не являющихсяотрезками. Например, функция f(x) = — непрерывна на интервале (0,1),но не ограничена на этом интервале.
Функция f(x) = х 2 непрерывна на R,но не ограничена на R.б) Достижимость точных граней.Т е о р е м а 4 (Вейерштрасса). Если функция / непрерывна на отрезке [а,Ъ], то она достигает своей точной верхней и нижней грани,т. е.е [а, Ь]: /(£) = sup /(ж),(9)х£[а,Ь]i f £ [а, Ь]: /(£) =inf /(ж).ж€ а , 61(10)92Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииО Так как непрерывная на отрезке функция /(ж) ограничена(теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией /на отрезке [а,Ь], ограничено, то существуют sup /(ж) и inf /(ж),о г>\хф,Ь]хе{а,ь](см. § 2).1 JДокажем утверждение (9).
Обозначим М = sup /(ж). В силух&[а,Ь]определения точной верхней грани выполняются условияVe > 0Уж G [а,Ь] -*■ /(ж) ^ М,(11)Зж(е) € [a,b]: f ( x ( e ) ) > M —£.(12)Полагая е = 1, i , i , ..., —,..., получим в силу условия (12) последовательность { х п}, где х п = ж ( —j , такую, что для всех п € N выполняются условиях п € [а,Ъ\,(13)/(ж„) > М - ±.(14)Из соотношений (11), (13) и (14) следует, чтоVn € Л/ -»• М - i < / ( ж„) «С М,откуда получаемlim f ( x n) = М.х —>оо(15)Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют подпоследовательностьпоследовательностии точка ^ такие,чтоlim х Пк = £, где £ G [а,Ъ].к —¥ ооВ силу непрерывности функции / в точке £lim f ( x nk) = /(£).к —¥ оо(16)С другой стороны, {/(ж„ь)} — подпоследовательность последовательности {/(жп)}, сходящейся, согласно условию (15), к числу М.Поэтомуlim /(ж Пк) = М.(17)к —¥ ооВ силу единственности предела последовательности из (16) и (17)заключаем, что /(£) = М = sup /(ж).
Утверждение (9) доказано.х £ [а,Ь]Аналогично доказывается утверждение (10). •З а м е ч а н и е 4. Т ео р е м а 4 н еверн а для и нтервалов: ф у н к ц и я , непреры вн ая на и н тер вал е, м о ж ет не д о с ти г а т ь своих т о ч н ы х граней . Н априм ер,ф у н к ц и я /( ж ) = х~ не д о с т и га е т на и н тер в ал е (0 ,1 ) своей точн ой н иж нейгран и , равной нулю , и точн о й верхней гр ан и , равной единице.§ 1 1 .
Н епрерывност ь ф ункции93в) Промежуточные значения.Т е о р е м а 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Еслифункция / непрерывна на отрезке [а, Ь] и принимает в его концах значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0, то на отрезке [а, Ь] имеетсяхотя бы один нуль функции / , т. е.3с£[а,Ь]: /(с) = 0.(18)О Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Пусть d — середина этого отрезка. Если /(d ) = 0, то теорема доказана, а если /(d ) ф 0, то в концаходного из отрезков [a,d], [d, Ь] функция / принимает значения разныхзнаков.
Обозначим этот отрезок Ai = [ai, bi]. Пусть di — середина отрезка A i. Возможны два случая: 1) /(d i) = 0, тогда теорема доказана;2) /(d i) ф 0, тогда в концах одного из отрезков [ai,di], [di, foi] функция / принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначимА 2 = \fl2 -, Ьф\.Продолжая эти рассуждения, получим:1) либо через конечное число шагов найдется точка с G [а, Ь] такая,что /(с) = 0; тогда справедливо утверждение (18);2) либо существует последовательность отрезков {А„} такая, чтоf ( a n)f(bn) < 0 для всех п € Л/, где Д п = [a„,b„]; эта последовательность отрезков является стягивающейся (§ 6, п. 4), так как Д п С A n_iдля любого ri G N иЪп^ап = Ь- ^ .(19)По теореме Кантора (§ 6) существует точка с, принадлежащая всемотрезкам последовательности {Д„}, т.
е.Зс: Vn G N —^ с € [ап, Ьп] С [а, Ь].(20)Докажем, что/(с) = 0.(21)Предположим, что равенство (21) не выполняется. Тогда либо /(с) > 0,либо /(с) < 0. Пусть, например, /(с) > 0. По свойству сохранениянепрерывной функцией знака (п. 3, а))3d > 0: Уж € Us (c) -► /(ж) > 0.(22)С другой стороны, из неравенства (19) следует, что Ъп —ап -б- 0при п ^ оо, и поэтомуЗпо G А/: ЬПоаПо <С 5.(23)Так как с G Д „0в силу условия (20), то из (23) следует, что Д „0 СС Ug (с) исогласно условию (22) во всех точках отрезка Д „0 функция / принимает положительные значения.
Это противоречит тому,что в концах каждого из отрезков Д п функция / принимает значенияразных знаков.Полученное противоречие доказывает, что должно выполнятьсяусловие (21). •94Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииЗ а м е ч а н и е 5. Теорема 5утверждает, что график функцииу = /(ж), непрерывной на отрезке[а, Ъ] и принимающей в его концахзначения разных знаков, пересекает ось Ох (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка [а, Ь\.Т е о р е м а б (теорема Коши о промежуточных значениях).
Если функция / непрерывнана отрезке [а, Ь] и /(а ) ф f(b ),то для каждого значения С , заключенного между /(а ) и f(b ),найдется точка £ Е [а, Ь] такая, что /(£) = С.О Обозначим /(а ) = А, /(6) = В. По условию А ф В. Пусть, например, А < В. Нужно доказать, чтоУС&[ А, В\е [а, Ъ\: /(£) = С.(24)Если С = А, то утверждение (24) выполняется при £ = а, а еслиС = В, то (24) имеет место при £ = 6. Поэтому достаточно рассмотреть случай А < С < В.Пусть (р{х) = /(ж) —С , тогда <р(а) = А —(7 < 0, <р(Ь) = В — С > О,и по теореме 5 найдется точка £ Е [а, 6] такая, что <р(£) = 0, т. е./(£) = (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
